1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第试
选择题
题8题题出（A）（B）（C）（D）四答案结中正确．请正确结代表字母写题圆括号．
１． 设等式实数范围成立中axy两两实数值
（A）3 （B） （C）2 （D）．
答（ ）
２． 图AB‖EF‖CD已知AB20CD80BC100EF值
（A） 10 （B）12
（C） 16 （D）18．
答（ ）
３． 方程解
（A） （B）
（C） （D）．
答（ ）
４． 已知：（n然数）．值
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）．
答（ ）
５． 中Ｍ然数n等式成立然数Ｍ
（Ａ）２整３整
（Ｂ）３整２整
（Ｃ）４整３整
（Ｄ）３整２整．
答（ ）
６． acd整数b正整数满足
值
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）１．
答（ ）
1
７． 图正方形OPQR接ΔABC．已知ΔAORΔBOPΔCRQ面积分正方形OPQR边长
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）2 （Ｄ）3．
答（ ）
８． 锐角ΔABC中ΔABC外接圆半径≤1
（Ａ）< c < 2 （Ｂ）0< c ≤
答（ ）
（C）c > 2 （D）c 2．
答（ ）
二填空题
１．Ｅ行四边形ABCD中BC边中点AE交角线BDG果ΔBEG面积１行四边形ABCD面积 ．
２．已知关x元二次方程没实数解．甲错二次项系数误求两根２４乙错某项系数符号误求两根－１４ ．
3．设mnpq非负数切x >０恒成立
．
４．四边形ABCD中∠ ABC∠BCDABBC
CD 6AD ．
第二试
x + y x － y x y
四数中三相数值求出具样性质数（x y）．
二ΔABC中AB＜AC＜BCD点BCE点BA延长线
BD＝BE＝ACΔBDE外接圆ΔABC外接圆交F点（图）．
求证：BF＝AF＋CF
三正方形ABCD分割 相等方格（n然数）相顶点AC染成红色BD染成蓝色交点意染成红蓝两色中种颜色．证明：恰三顶点色方格数目必偶数．
1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第试
选择题
题8题题出(A) (B) (C) (D)四结中正确请正确结代表字母写题圆括号
1满足非负整数数
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2元二次方程根判式方式关系
(A)> (B) (C)> (D)确定
3位数字
(A)1 (B)3 (C)5 (D)7
答( )
4半径1圆中接边形边长皆1边形边数必
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
答( )
5图正例函数图反例函数图分相交A点C点面积分S1S2S1S2关系
(A) (B)
(C) (D)确定 答( )
6方格组成边长8正方形棋盘放半径4圆圆周方格圆部分面积记圆周方格圆部分面积记整数部分
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
答( )
7图等腰梯形ABCD中 ABCD AB2CD E底边AB点FEFBAC FAAB
AEEB等
(A)12 (B)13
(C)25 (D)310
答( )
8设均正整数
值时值
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
答( )
二填空题
1等腰三角形底边高等18cm腰中线等15cm等腰三角形面积等________________
2值__________
3中分线相交点点
4正实数
第二试
设等腰三角形腰底边长分方程两根样三角形时求取值范围
二图中底边点线段点
求证：
三某信封两邮政编码MN均012356六数字组成现四编码：
A：320651 B：105263
C：612305 D：316250
已知编码ABCD恰两数字位置MN相D恰三数字位置MN相试求：MN
1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第试
选择题
题8题题出(A) (B) (C) (D)四结中正确请正确结代表字母写题圆括号
1项式余式
(A)1 (B)1 (C) (D)
2命题
Ⅰ角相等圆接五边形正五边形
Ⅱ角相等圆接四边形正四边形四结中正确
(A)ⅠⅡ (B)ⅠⅡ错 (C)Ⅰ错Ⅱ (D)ⅠⅡ错
3设实数列四结
Ⅰ没值
Ⅱ取值
Ⅲ限(止)取值
Ⅳ穷取值
中正确
(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ
4实数满足方程组
中实常数序
(A) (B)
(C) (D)
5等式整数解解
(A)等4 (B)4 (C)5 (D)等5
6中
值
(A) (B)
(C) (D)
答( )
7锐角三角ABC三边a b c外心三边距离分m n pmnp等
(A) (B)
(C) (D)
答( )
8化简成
(A) (B) (C) (D)
答( )
二填空题
1 x变化时分式值___________
2放球1993盒子左右排成行果左面盒里7球四相邻盒里30球右面盒里__________球
3方程四非零实根数轴应四点等距排列____________
4锐角三角形ABC中BC边直径作圆AB AC分交D E连接DE 三角形ABC分成三角形ADE四边形BDEC设面积分S1 S2S1S2___________
第二试
设H等腰三角形ABC垂心底边BC保持变情况顶点A底边BC距离变时积值变变变证明结
二中 BC5 AC12 AB13 边AB AC分取点D E 线段DE分成面积相等两部分试求样线段DE长度
三已知方程分两整数根
(1)求证
(2)求证≤≤
(3)求值
1994年全国初中数学联赛试题
第试
(4月3日午8：30—9：30)
考生注意：试两道题满分80分
选择题（题满分48分题6分）
题8题出ABCD四结中正确请认正确结代表字母写题答案中圆括号题选6分选选错选出代表字母超（否写圆括号）律0分
〔答〕( )
2．设abc全相等意实数xa2bcyb2cazc2abxyz
A．0 B．0
C．少0 D．少0 〔答〕( )
3．图1示半圆O直径梯形ABCD底边AB余三边BCCDDA相切BC2DA3AB长
A．等4 B．等5
C．等6 D．确定
〔答〕( )
A．1 B．1 C．22001 D．22001 〔答〕( )
5．行直线EFMN相交直线ABCD相交成图2示图形旁角
A．4 B．8
C．12 D．16
〔答〕( )
〔答〕( )
7．设锐角三角形ABC三条高ADBECF相交HBCaACbABcAH·AD+BH·BE+CH·CF值
〔答〕( )
A．1001 B．10013989
C．10011996 D．100119963989 〔答〕( )
二填空题（题满分32分题8分）
题求横线直接填写结果
3．△ABC中设AD高BE角分线BC6CA7AB8DE______
4．两半径5半径8圆形纸片放桌面两两外切圆形纸片三圆形纸片完全盖住圆形纸片半径等______
第二试
(4月3日午10：00—11：30)
考生注意：试三道题满分60分
（题满分20分）
图示△ABC中ABAC意延长CAP延长ABQAPBQ求证：△ABC外心OAPQ四点圆
思路：△OCP≌△OAQ→→∠CPO∠AQO→→OAPQ四点圆（视角定理）
思路二： △PAO≌△QBO→→∠OPA∠AQO→→OAPQ四点圆（视角定理）
连接OBOA
∠OBA∠OAB∠OAC
∴∠PAO∠QBO
PAQB AOBO
∴△PAO≌△QBO
∠OPA∠AQO
OAPQ四点园
二（题满分20分）
周长6面积整数直角三角形否存？存请出证明存请证明？
三（题满分20分）
某次数学竞赛15题表做n(n012……15)题数统计
n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15
做n题数 7 8 10 21 …… 15 6 3 1
果知中做4题4题学生均做6题做10题10题学生均做4题问表少统计少？
1994年全国初中数学联赛参考答案
第试答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B D C B C
二填空题：
第二试提示答案
连结OAOCOPOQ证明△OCP≌△OAQ
∠CPO∠AQOOAPQ四点圆
三表少统计200
1995年全国初中数学联赛试题
第试
选择题
1．已知a＝355b＝444c＝533［ ]
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
A．1 B．2 C．3 D．4
3．果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0三根作三角形三边长实数m取值范围
4．果边长次25395260四边形接圆圆周长 ［ ]
A．62π B．63π C．64π D．65π
5．设AB⊙O条弦CD⊙O直径弦AB相交记M＝｜S△CAB－S△DAB｜N＝2S△OAB [ ]
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．MN关系确定
6．设实数ab满足等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜[ ]
A．a＞0b＞0 B．a＜0b＞0
C．a＞0b＜0 D．a＜0b＜0
二填空题
1．122232…95295数中十位数字奇数数____
4．线段AB直径作半圆圆心OC半圆周点OC2＝AC·BC∠CAB＝______．
第二试
已知∠ACE＝∠CDE＝90°点BCECA＝CB＝CDACD三点圆交ABF（图）求证F△CDE心
二坐标面坐标横坐标整数
理
三试证：6然数n表示两1互质然数
２００１年全国初中数学联合竞赛试题答案
２００２年全国初中数学联合竞赛试题答案
２００３年全国初中数学联合竞赛试题答案
２００５年全国初中数学联合竞赛试题答案
２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题答案
２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题答案
答案：
２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题答案
答案：
２００８年全国初中数学联合竞赛试试题答案
答案：
２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题答案
答案：
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第试
选择题（题满分42分题7分）
1 设 （ A
A24 B 25 C D
2．△ABC中角∠A角∠C两倍AB＝7AC＝8BC＝ （ C ）
A B C D
3．表示整数方程解数 （ C ）
A1 B 2 C 3 D 4
4．设正方形ABCD中心点O五点ABCDO顶点构成三角形中意取出两面积相等概率 （ B
A B C D
5．图矩形ABCD中AB＝3BC＝2BC直径矩形作半圆点A作半圆切线AECBE＝ （ D ）
A B C D
6．设1909正整数完全方数数 （ B ）
A3 B 4 C 5 D 6
二填空题（题满分28分题7分）
1．已知实数关元二次方程两非负实根值____________
2． 设D△ABC边AB点作DEBC交AC点E作DFAC交BC点F已知△ADE△DBF面积分四边形DECF面积______
3．果实数满足条件______
4．已知正整数满足整数样序数___7__
第二试
．（题满分20分）已知二次函数图象轴交点分AB轴交点C设△ABC外接圆圆心点P
（1）证明：⊙P轴交点定点
（2）果AB恰⊙P直径求值
解 （1）易求点坐标设
设⊙P轴交点DABCD⊙P两条相交弦交点点OOA×OB＝OC×OD
点轴负半轴点D轴正半轴点D定点坐标(01)
（2）AB⊥CD果AB恰⊙P直径CD关点O称点坐标
解
二． （题满分25分） 已知△ABC中∠ACB＝90°AB边高线CH△ABC两条角分线 AMBN分交PQ两点PMQN中点分EF求证：EF∥AB
解 BN∠ABC分线
CH⊥AB
FQN中点CF⊥QNCFHB四点圆
FC＝FH点FCH中垂线
理证点ECH中垂线
EF⊥CH
AB⊥CHEF∥AB
三．（题满分25分）已知正数满足两条件：
①
②
否存三边长三角形？果存求出三角形角
解法1 ①②两式相
三边长构成直角三角形角90°
解法2 结合①式②式
变形 ③
①式
代入③式
结合①式
三边长构成直角三角形角90°
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第试
选择题：（题满分42分题7分）
1 均整数满足 （ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．实数满足等式取值 （ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．两正数 （ C ）
A． B． C． D．
4．方程两根方程根值 （ A ）
A．－13 B．－9 C．6 D． 0
5．△中已知DE分边ABAC点 ( B )
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．然数位数字记 （ D ）
A．28062 B．28065 C．28067 D．28068
二填空题：（题满分28分题7分）
1．已知实数满足方程组 13
2．二次函数图象轴正方交AB两点轴正方交点C．已知 ．
3．等腰直角△ABC中AB＝BC＝5P△ABC点PA＝PC＝5PB＝______．
4．干红黑两种颜色球摆成行求两种颜色球出现意中间夹510球两球必种颜色球种求摆放摆放____15___球
第二试 （A）
．（题满分20分）设整数（）三角形三边长满足求符合条件周长超30三角形数
解 已知等式
①
令中均然数
等式①变
②
均然数判断易知等式②成立两组：
（1）时三角形三边长解三角形周长超30解取值45678应5符合条件三角形
（2）时三角形三边长解三角形周长超30解取值234567应6符合条件三角形
综合知：符合条件周长超30三角形数5＋6＝11
二．（题满分25分）已知等腰三角形△ABC中AB＝AC∠C分线AB边交点PM△ABC切圆⊙IBC边切点作MDAC交⊙I点D证明：PD⊙I切线
证明 点P作⊙I切线PQ（切点Q）延长交BC点N
CP∠ACB分线∠ACP＝∠BCP
PAPQ均⊙I切线∠APC＝∠NPC
CP公△ACP≌△NCP∠PAC＝∠PNC
NM＝QNBA＝BC△QNM∽△BAC∠NMQ＝∠ACBMQAC
MDACMDMQ条直线
点QD均⊙I点Q点D重合PD⊙I切线
三．（题满分25分）已知二次函数图象两点PQ
（1）果整数求值
（2）设二次函数图象轴交点AB轴交点C果关方程两根整数求△ABC面积
解 点PQ二次函数图象
解
（1）知解
整数
(2) 设方程两整数根
根系数关系消
两边时9分解式
解
整数面三组解舍
二次函数解析式
易求点AB坐标（10）（20）点C坐标（02）△ABC面积
第二试 （B）
．（题满分20分）设整数三角形三边长满足求符合条件周长超30三角形数（全等三角形计算1次）
解 妨设已知等式
①
令中均然数
等式①变
②
均然数判断易知等式②成立两组：
（1）时三角形三边长解三角形周长超30解取值45678应5符合条件三角形
（2）时三角形三边长解三角形周长超30解取值234567应6符合条件三角形
综合知：符合条件周长超30三角形数5＋6＝11
二．（题满分25分）题目解答（A）卷第二题相
三．（题满分25分）题目解答（A）卷第三题相
第二试 （C）
．（题满分20分）题目解答（B）卷第题相
二．（题满分25分）题目解答（A）卷第二题相
三．（题满分25分）设2质数k正整数．函数图象x轴两交点横坐标少整数求k值．
解 题意知方程两根中少整数．
根系数关系
①
（1）方程两整数根．
（2）
整数果中少整数整数
质数①式知．
妨设设（中m非零整数）①式
．
②
果m正整数②式矛盾
果m负整数②式矛盾
时方程整数根．
综述．
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第试
选择题
题8题题出（A）（B）（C）（D）四答案结中正确．请正确结代表字母写题圆括号．
１． 设等式实数范围成立中axy两两实数值
（A）3 （B） （C）2 （D）．
答（ ）
２． 图AB‖EF‖CD已知AB20CD80BC100EF值
（A） 10 （B）12
（C） 16 （D）18．
答（ ）
３． 方程解
（A） （B）
（C） （D）．
答（ ）
４． 已知：（n然数）．值
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）．
答（ ）
５． 中Ｍ然数n等式成立然数Ｍ
（Ａ）２整３整
（Ｂ）３整２整
（Ｃ）４整３整
（Ｄ）３整２整．
答（ ）
６． acd整数b正整数满足
值
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）１．
答（ ）
1
７． 图正方形OPQR接ΔABC．已知ΔAORΔBOPΔCRQ面积分正方形OPQR边长
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）2 （Ｄ）3．
答（ ）
８． 锐角ΔABC中ΔABC外接圆半径≤1
（Ａ）< c < 2 （Ｂ）0< c ≤
答（ ）
（C）c > 2 （D）c 2．
答（ ）
二填空题
１．Ｅ行四边形ABCD中BC边中点AE交角线BDG果ΔBEG面积１行四边形ABCD面积 ．
２．已知关x元二次方程没实数解．甲错二次项系数误求两根２４乙错某项系数符号误求两根－１４ ．
3．设mnpq非负数切x >０恒成立
．
４．四边形ABCD中∠ ABC∠BCDABBC
CD 6AD ．
第二试
x + y x － y x y
四数中三相数值求出具样性质数（x y）．
二ΔABC中AB＜AC＜BCD点BCE点BA延长线
BD＝BE＝ACΔBDE外接圆ΔABC外接圆交F点（图）．
求证：BF＝AF＋CF
三正方形ABCD分割 相等方格（n然数）相顶点AC染成红色BD染成蓝色交点意染成红蓝两色中种颜色．证明：恰三顶点色方格数目必偶数．
1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第试
选择题
题8题题出(A) (B) (C) (D)四结中正确请正确结代表字母写题圆括号
1满足非负整数数
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2元二次方程根判式方式关系
(A)> (B) (C)> (D)确定
3位数字
(A)1 (B)3 (C)5 (D)7
答( )
4半径1圆中接边形边长皆1边形边数必
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
答( )
5图正例函数图反例函数图分相交A点C点面积分S1S2S1S2关系
(A) (B)
(C) (D)确定 答( )
6方格组成边长8正方形棋盘放半径4圆圆周方格圆部分面积记圆周方格圆部分面积记整数部分
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
答( )
7图等腰梯形ABCD中 ABCD AB2CD E底边AB点FEFBAC FAAB
AEEB等
(A)12 (B)13
(C)25 (D)310
答( )
8设均正整数
值时值
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
答( )
二填空题
1等腰三角形底边高等18cm腰中线等15cm等腰三角形面积等________________
2值__________
3中分线相交点点
4正实数
第二试
设等腰三角形腰底边长分方程两根样三角形时求取值范围
二图中底边点线段点
求证：
三某信封两邮政编码MN均012356六数字组成现四编码：
A：320651 B：105263
C：612305 D：316250
已知编码ABCD恰两数字位置MN相D恰三数字位置MN相试求：MN
1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第试
选择题
题8题题出(A) (B) (C) (D)四结中正确请正确结代表字母写题圆括号
1项式余式
(A)1 (B)1 (C) (D)
2命题
Ⅰ角相等圆接五边形正五边形
Ⅱ角相等圆接四边形正四边形四结中正确
(A)ⅠⅡ (B)ⅠⅡ错 (C)Ⅰ错Ⅱ (D)ⅠⅡ错
3设实数列四结
Ⅰ没值
Ⅱ取值
Ⅲ限(止)取值
Ⅳ穷取值
中正确
(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ
4实数满足方程组
中实常数序
(A) (B)
(C) (D)
5等式整数解解
(A)等4 (B)4 (C)5 (D)等5
6中
值
(A) (B)
(C) (D)
答( )
7锐角三角ABC三边a b c外心三边距离分m n pmnp等
(A) (B)
(C) (D)
答( )
8化简成
(A) (B) (C) (D)
答( )
二填空题
1 x变化时分式值___________
2放球1993盒子左右排成行果左面盒里7球四相邻盒里30球右面盒里__________球
3方程四非零实根数轴应四点等距排列____________
4锐角三角形ABC中BC边直径作圆AB AC分交D E连接DE 三角形ABC分成三角形ADE四边形BDEC设面积分S1 S2S1S2___________
第二试
设H等腰三角形ABC垂心底边BC保持变情况顶点A底边BC距离变时积值变变变证明结
二中 BC5 AC12 AB13 边AB AC分取点D E 线段DE分成面积相等两部分试求样线段DE长度
三已知方程分两整数根
(1)求证
(2)求证≤≤
(3)求值
1994年全国初中数学联赛试题
第试
(4月3日午8：30—9：30)
考生注意：试两道题满分80分
选择题（题满分48分题6分）
题8题出ABCD四结中正确请认正确结代表字母写题答案中圆括号题选6分选选错选出代表字母超（否写圆括号）律0分
〔答〕( )
2．设abc全相等意实数xa2bcyb2cazc2abxyz
A．0 B．0
C．少0 D．少0 〔答〕( )
3．图1示半圆O直径梯形ABCD底边AB余三边BCCDDA相切BC2DA3AB长
A．等4 B．等5
C．等6 D．确定
〔答〕( )
A．1 B．1 C．22001 D．22001 〔答〕( )
5．行直线EFMN相交直线ABCD相交成图2示图形旁角
A．4 B．8
C．12 D．16
〔答〕( )
〔答〕( )
7．设锐角三角形ABC三条高ADBECF相交HBCaACbABcAH·AD+BH·BE+CH·CF值
〔答〕( )
A．1001 B．10013989
C．10011996 D．100119963989 〔答〕( )
二填空题（题满分32分题8分）
题求横线直接填写结果
3．△ABC中设AD高BE角分线BC6CA7AB8DE______
4．两半径5半径8圆形纸片放桌面两两外切圆形纸片三圆形纸片完全盖住圆形纸片半径等______
第二试
(4月3日午10：00—11：30)
考生注意：试三道题满分60分
（题满分20分）
图示△ABC中ABAC意延长CAP延长ABQAPBQ求证：△ABC外心OAPQ四点圆
思路：△OCP≌△OAQ→→∠CPO∠AQO→→OAPQ四点圆（视角定理）
思路二： △PAO≌△QBO→→∠OPA∠AQO→→OAPQ四点圆（视角定理）
连接OBOA
∠OBA∠OAB∠OAC
∴∠PAO∠QBO
PAQB AOBO
∴△PAO≌△QBO
∠OPA∠AQO
OAPQ四点园
二（题满分20分）
周长6面积整数直角三角形否存？存请出证明存请证明？
三（题满分20分）
某次数学竞赛15题表做n(n012……15)题数统计
n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15
做n题数 7 8 10 21 …… 15 6 3 1
果知中做4题4题学生均做6题做10题10题学生均做4题问表少统计少？
1994年全国初中数学联赛参考答案
第试答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B D C B C
二填空题：
第二试提示答案
连结OAOCOPOQ证明△OCP≌△OAQ
∠CPO∠AQOOAPQ四点圆
三表少统计200
1995年全国初中数学联赛试题
第试
选择题
1．已知a＝355b＝444c＝533［ ]
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
A．1 B．2 C．3 D．4
3．果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0三根作三角形三边长实数m取值范围
4．果边长次25395260四边形接圆圆周长 ［ ]
A．62π B．63π C．64π D．65π
5．设AB⊙O条弦CD⊙O直径弦AB相交记M＝｜S△CAB－S△DAB｜N＝2S△OAB [ ]
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．MN关系确定
6．设实数ab满足等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜[ ]
A．a＞0b＞0 B．a＜0b＞0
C．a＞0b＜0 D．a＜0b＜0
二填空题
1．122232…95295数中十位数字奇数数____
4．线段AB直径作半圆圆心OC半圆周点OC2＝AC·BC∠CAB＝______．
第二试
已知∠ACE＝∠CDE＝90°点BCECA＝CB＝CDACD三点圆交ABF（图）求证F△CDE心
二坐标面坐标横坐标整数
理
三试证：6然数n表示两1互质然数
２００１年全国初中数学联合竞赛试题答案
２００２年全国初中数学联合竞赛试题答案
２００３年全国初中数学联合竞赛试题答案
２００５年全国初中数学联合竞赛试题答案
２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题答案
２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题答案
答案：
２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题答案
答案：
２００８年全国初中数学联合竞赛试试题答案
答案：
２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题答案
答案：
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第试
选择题（题满分42分题7分）
1 设 （ A
A24 B 25 C D
2．△ABC中角∠A角∠C两倍AB＝7AC＝8BC＝ （ C ）
A B C D
3．表示整数方程解数 （ C ）
A1 B 2 C 3 D 4
4．设正方形ABCD中心点O五点ABCDO顶点构成三角形中意取出两面积相等概率 （ B
A B C D
5．图矩形ABCD中AB＝3BC＝2BC直径矩形作半圆点A作半圆切线AECBE＝ （ D ）
A B C D
6．设1909正整数完全方数数 （ B ）
A3 B 4 C 5 D 6
二填空题（题满分28分题7分）
1．已知实数关元二次方程两非负实根值____________
2． 设D△ABC边AB点作DEBC交AC点E作DFAC交BC点F已知△ADE△DBF面积分四边形DECF面积______
3．果实数满足条件______
4．已知正整数满足整数样序数___7__
第二试
．（题满分20分）已知二次函数图象轴交点分AB轴交点C设△ABC外接圆圆心点P
（1）证明：⊙P轴交点定点
（2）果AB恰⊙P直径求值
解 （1）易求点坐标设
设⊙P轴交点DABCD⊙P两条相交弦交点点OOA×OB＝OC×OD
点轴负半轴点D轴正半轴点D定点坐标(01)
（2）AB⊥CD果AB恰⊙P直径CD关点O称点坐标
解
二． （题满分25分） 已知△ABC中∠ACB＝90°AB边高线CH△ABC两条角分线 AMBN分交PQ两点PMQN中点分EF求证：EF∥AB
解 BN∠ABC分线
CH⊥AB
FQN中点CF⊥QNCFHB四点圆
FC＝FH点FCH中垂线
理证点ECH中垂线
EF⊥CH
AB⊥CHEF∥AB
三．（题满分25分）已知正数满足两条件：
①
②
否存三边长三角形？果存求出三角形角
解法1 ①②两式相
三边长构成直角三角形角90°
解法2 结合①式②式
变形 ③
①式
代入③式
结合①式
三边长构成直角三角形角90°
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第试
选择题：（题满分42分题7分）
1 均整数满足 （ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．实数满足等式取值 （ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．两正数 （ C ）
A． B． C． D．
4．方程两根方程根值 （ A ）
A．－13 B．－9 C．6 D． 0
5．△中已知DE分边ABAC点 ( B )
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．然数位数字记 （ D ）
A．28062 B．28065 C．28067 D．28068
二填空题：（题满分28分题7分）
1．已知实数满足方程组 13
2．二次函数图象轴正方交AB两点轴正方交点C．已知 ．
3．等腰直角△ABC中AB＝BC＝5P△ABC点PA＝PC＝5PB＝______．
4．干红黑两种颜色球摆成行求两种颜色球出现意中间夹510球两球必种颜色球种求摆放摆放____15___球
第二试 （A）
．（题满分20分）设整数（）三角形三边长满足求符合条件周长超30三角形数
解 已知等式
①
令中均然数
等式①变
②
均然数判断易知等式②成立两组：
（1）时三角形三边长解三角形周长超30解取值45678应5符合条件三角形
（2）时三角形三边长解三角形周长超30解取值234567应6符合条件三角形
综合知：符合条件周长超30三角形数5＋6＝11
二．（题满分25分）已知等腰三角形△ABC中AB＝AC∠C分线AB边交点PM△ABC切圆⊙IBC边切点作MDAC交⊙I点D证明：PD⊙I切线
证明 点P作⊙I切线PQ（切点Q）延长交BC点N
CP∠ACB分线∠ACP＝∠BCP
PAPQ均⊙I切线∠APC＝∠NPC
CP公△ACP≌△NCP∠PAC＝∠PNC
NM＝QNBA＝BC△QNM∽△BAC∠NMQ＝∠ACBMQAC
MDACMDMQ条直线
点QD均⊙I点Q点D重合PD⊙I切线
三．（题满分25分）已知二次函数图象两点PQ
（1）果整数求值
（2）设二次函数图象轴交点AB轴交点C果关方程两根整数求△ABC面积
解 点PQ二次函数图象
解
（1）知解
整数
(2) 设方程两整数根
根系数关系消
两边时9分解式
解
整数面三组解舍
二次函数解析式
易求点AB坐标（10）（20）点C坐标（02）△ABC面积
第二试 （B）
．（题满分20分）设整数三角形三边长满足求符合条件周长超30三角形数（全等三角形计算1次）
解 妨设已知等式
①
令中均然数
等式①变
②
均然数判断易知等式②成立两组：
（1）时三角形三边长解三角形周长超30解取值45678应5符合条件三角形
（2）时三角形三边长解三角形周长超30解取值234567应6符合条件三角形
综合知：符合条件周长超30三角形数5＋6＝11
二．（题满分25分）题目解答（A）卷第二题相
三．（题满分25分）题目解答（A）卷第三题相
第二试 （C）
．（题满分20分）题目解答（B）卷第题相
二．（题满分25分）题目解答（A）卷第二题相
三．（题满分25分）设2质数k正整数．函数图象x轴两交点横坐标少整数求k值．
解 题意知方程两根中少整数．
根系数关系
①
（1）方程两整数根．
（2）
整数果中少整数整数
质数①式知．
妨设设（中m非零整数）①式
．
②
果m正整数②式矛盾
果m负整数②式矛盾
时方程整数根．
综述．
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