2018年北京市高考数学试卷（理科）
选择题8题题5分40分题列出四选项中选出符合题目求项
1．（5分）已知集合A{x||x|＜2}B{﹣2012}A∩B（ ）
A．{01} B．{﹣101} C．{﹣2012} D．{﹣1012}
2．（5分）复面复数轭复数应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）执行图示程序框图输出s值（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音例理发展做出重贡献十二均律纯八度音程分成十二份次十三单音第二单音起单音频率前单音频率等．第单音频率f第八单音频率（ ）
A．f B．f C．f D．f
5．（5分）某四棱锥三视图图示四棱锥侧面中直角三角形数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）设均单位量|﹣3||3+|⊥（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
7．（5分）面直角坐标系中记d点P（cosθsinθ）直线x﹣my﹣20距离．θm变化时d值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）设集合A{（xy）|x﹣y≥1ax+y＞4x﹣ay≤2}（ ）
A．意实数a（21）∈A B．意实数a（21）∉A
C．仅a＜0时（21）∉A D．仅a≤时（21）∉A
二填空题6题题5分30分
9．（5分）设{an}等差数列a13a2+a536{an}通项公式 ．
10．（5分）极坐标系中直线ρcosθ+ρsinθa（a＞0）圆ρ2cosθ相切a ．
11．（5分）设函数f（x）cos（ωx﹣）（ω＞0）f（x）≤f（）意实数x成立ω值 ．
12．（5分）xy满足x+1≤y≤2x2y﹣x值 ．
13．（5分）说明f（x）＞f（0）意x∈（02]成立f（x）[02]增函数假命题函数 ．
14．（5分）已知椭圆M：+1（a＞b＞0）双曲线N：﹣1．双曲线N两条渐线椭圆M四交点椭圆M两焦点恰正六边形顶点椭圆M离心率 双曲线N离心率 ．
三解答题6题80分解答应写出文字说明演算步骤证明程
15．（13分）△ABC中a7b8cosB﹣．
（Ⅰ）求∠A
（Ⅱ）求AC边高．
16．（14分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥面ABCDEFG分AA1ACA1C1BB1中点ABBCACAA12．
（Ⅰ）求证：AC⊥面BEF
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1余弦值
（Ⅲ）证明：直线FG面BCD相交．
17．（12分）电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型
第类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
评率
04
02
015
025
02
01
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值．
假设电影否获评相互独立．
（Ⅰ）电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影概率
（Ⅱ）第四类电影第五类电影中机选取1部估计恰1部获评概率
（Ⅲ）假设类电影喜欢概率表格中该类电影评率相等．ξk1表示第k类电影喜欢．ξk0表示第k类电影没喜欢（k123456）．写出方差Dξ1Dξ2Dξ3Dξ4Dξ5Dξ6关系．
18．（13分）设函数f（x）[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）曲线yf（x）点（1f（1））处切线x轴行求a
（Ⅱ）f（x）x2处取极值求a取值范围．
19．（14分）已知抛物线C：y22px点P（12）点Q（01）直线l抛物线C两交点AB直线PA交y轴M直线PB交y轴N．
（Ⅰ）求直线l斜率取值范围
（Ⅱ）设O原点λμ求证：+定值．
20．（14分）设n正整数集合A{α|α（t1t2…tn）tk∈{01}k12…n}集合A中意元素α（x1x2…xn）β（y1y2…yn）记
M（αβ）[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]
（Ⅰ）n3时α（110）β（011）求M（αα）M（αβ）值
（Ⅱ）n4时设BA子集满足：B中意元素αβαβ相时M（αβ）奇数αβ时M（αβ）偶数．求集合B中元素数值
（Ⅲ）定2n设BA子集满足：B中意两元素αβM（αβ）0写出集合B元素数说明理．
2018年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案试题解析
选择题8题题5分40分题列出四选项中选出符合题目求项
1．（5分）已知集合A{x||x|＜2}B{﹣2012}A∩B（ ）
A．{01} B．{﹣101} C．{﹣2012} D．{﹣1012}
解答解：A{x||x|＜2}{x|﹣2＜x＜2}B{﹣2012}
A∩B{01}
选：A．
2．（5分）复面复数轭复数应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解答解：复数
轭复数应点坐标（﹣）第四象限．
选：D．
3．（5分）执行图示程序框图输出s值（ ）
A． B． C． D．
解答解：执行第次循环时k1S1．
执行第次循环时S1﹣．
k2≤3
执行次循环．S
k3直接输出S
选：B．
4．（5分）十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音例理发展做出重贡献十二均律纯八度音程分成十二份次十三单音第二单音起单音频率前单音频率等．第单音频率f第八单音频率（ ）
A．f B．f C．f D．f
解答解：第二单音起单音频率前单音频率等．
第单音频率f第八单音频率：．
选：D．
5．（5分）某四棱锥三视图图示四棱锥侧面中直角三角形数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解答解：四棱锥三视图应直观图：PA⊥底面ABCD
ACCD
PC3PD2三角形PCD直角三角形．
侧面中3直角三角形分：△PAB△PBC
△PAD．
选：C．
6．（5分）设均单位量|﹣3||3+|⊥（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
解答解：∵|﹣3||3+|
∴方||2+9||2﹣6•||2+9||2+6•
•0⊥
|﹣3||3+|⊥充条件
选：C．
7．（5分）面直角坐标系中记d点P（cosθsinθ）直线x﹣my﹣20距离．θm变化时d值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解答解：题意dtanα﹣
∴sin（θ+α）﹣1时
dmax1+≤3．
∴d值3．
选：C．
8．（5分）设集合A{（xy）|x﹣y≥1ax+y＞4x﹣ay≤2}（ ）
A．意实数a（21）∈A B．意实数a（21）∉A
C．仅a＜0时（21）∉A D．仅a≤时（21）∉A
解答解：a﹣1时集合A{（xy）|x﹣y≥1ax+y＞4x﹣ay≤2}{（xy）|x﹣y≥1﹣x+y＞4x+y≤2}显然（21）满足﹣x+y＞4x+y≤2AC正确
a4集合A{（xy）|x﹣y≥1ax+y＞4x﹣ay≤2}{（xy）|x﹣y≥14x+y＞4x﹣4y≤2}显然（21）行域满足等式B正确
选：D．
二填空题6题题5分30分
9．（5分）设{an}等差数列a13a2+a536{an}通项公式 an6n﹣3 ．
解答解：∵{an}等差数列a13a2+a536
∴
解a13d6
∴ana1+（n﹣1）d3+（n﹣1）×66n﹣3．
∴{an}通项公式an6n﹣3．
答案：an6n﹣3．
10．（5分）极坐标系中直线ρcosθ+ρsinθa（a＞0）圆ρ2cosθ相切a 1+ ．
解答解：圆ρ2cosθ
转化成：ρ22ρcosθ
进步转化成直角坐标方程：（x﹣1）2+y21
直线ρ（cosθ+sinθ）a方程转化成直角坐标方程：x+y﹣a0．
直线圆相切
：利圆心直线距离等半径．
：1
解：a1±．a＞0
负值舍．
：a1+．
答案：1+．
11．（5分）设函数f（x）cos（ωx﹣）（ω＞0）f（x）≤f（）意实数x成立ω值 ．
解答解：函数f（x）cos（ωx﹣）（ω＞0）f（x）≤f（）意实数x成立
：k∈Z解ωk∈Zω＞0
ω值：．
答案：．
12．（5分）xy满足x+1≤y≤2x2y﹣x值 3 ．
解答解：作出等式组应面区域图：
设z2y﹣xyx+z
移yx+z
图象知直线yx+z点A时
直线截距时z
A（12）
时z2×2﹣13
答案：3
13．（5分）说明f（x）＞f（0）意x∈（02]成立f（x）[02]增函数假命题函数 f（x）sinx ．
解答解：例f（x）sinx
f（x）＞f（0）意x∈（02]成立
x∈[0）增函数（2]减函数
答案：f（x）sinx．
14．（5分）已知椭圆M：+1（a＞b＞0）双曲线N：﹣1．双曲线N两条渐线椭圆M四交点椭圆M两焦点恰正六边形顶点椭圆M离心率 双曲线N离心率 2 ．
解答解：椭圆M：+1（a＞b＞0）双曲线N：﹣1．双曲线N两条渐线椭圆M四交点椭圆M两焦点恰正六边形顶点
椭圆焦点坐标（c0）正六边形顶点（）：e4﹣8e2+40e∈（01）
解e．
时双曲线渐线斜率
：
双曲线离心率e2．
答案：2．
三解答题6题80分解答应写出文字说明演算步骤证明程
15．（13分）△ABC中a7b8cosB﹣．
（Ⅰ）求∠A
（Ⅱ）求AC边高．
解答解：（Ⅰ）∵a＜b∴A＜BA锐角
∵cosB﹣∴sinB
正弦定理sinA
A．
（Ⅱ）余弦定理b2a2+c2﹣2accosB
6449+c2+2×7×c×
c2+2c﹣150
（c﹣3）（c+5）0
c3c﹣5（舍）
AC边高hcsinA3×．
16．（14分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥面ABCDEFG分AA1ACA1C1BB1中点ABBCACAA12．
（Ⅰ）求证：AC⊥面BEF
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1余弦值
（Ⅲ）证明：直线FG面BCD相交．
解答（I）证明：∵EF分ACA1C1中点∴EF∥CC1
∵CC1⊥面ABC∴EF⊥面ABC
AC⊂面ABC∴EF⊥AC
∵ABBCEAC中点
∴BE⊥AC
BE∩EFEBE⊂面BEFEF⊂面BEF
∴AC⊥面BEF．
（II）解：E原点EBECEF坐标轴建立空间直角坐标系图示：
B（200）C（010）D（0﹣11）
∴（﹣210）（0﹣21）
设面BCD法量（xyz）
令y2（124）EB⊥面ACC1A1
∴（200）面CD﹣C1法量
∴cos＜＞．
图形知二面角B﹣CD﹣C1钝二面角
∴二面角B﹣CD﹣C1余弦值﹣．
（III）证明：F（002）（201）∴（20﹣1）
∴•2+0﹣4﹣2≠0
∴垂直
∴FG面BCD行FG⊄面BCD
∴FG面BCD相交．
17．（12分）电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型
第类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
评率
04
02
015
025
02
01
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值．
假设电影否获评相互独立．
（Ⅰ）电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影概率
（Ⅱ）第四类电影第五类电影中机选取1部估计恰1部获评概率
（Ⅲ）假设类电影喜欢概率表格中该类电影评率相等．ξk1表示第k类电影喜欢．ξk0表示第k类电影没喜欢（k123456）．写出方差Dξ1Dξ2Dξ3Dξ4Dξ5Dξ6关系．
解答解：（Ⅰ）设事件A表示电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影
总电影部数140+50+300+200+800+5102000部
第四类电影中获评电影：200×02550部
∴电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影频率：
P（A）0025．
（Ⅱ）设事件B表示第四类电影第五类电影中机选取1部恰1部获评
第四类获评：200×02550部
第五类获评：800×02160部
第四类电影第五类电影中机选取1部估计恰1部获评概率：
P（B）035．
（Ⅲ）题意知定义机变量：
ξk
ξk服两点分布六类电影分布列方差计算：
第类电影：
ξ1
1
0
P
04
06
E（ξ1）1×04+0×0604
D（ξ1）（1﹣04）2×04+（0﹣04）2×06024．
第二类电影：
ξ2
1
0
P
02
08
E（ξ2）1×02+0×0802
D（ξ2）（1﹣02）2×02+（0﹣02）2×08016．
第三类电影：
ξ3
1
0
P
015
085
E（ξ3）1×015+0×085015
D（ξ3）（1﹣015）2×015+（0﹣085）2×08501275．
第四类电影：
ξ4
1
0
P
025
075
E（ξ4）1×025+0×075015
D（ξ4）（1﹣025）2×025+（0﹣075）2×07501875．
第五类电影：
ξ5
1
0
P
02
08
E（ξ5）1×02+0×0802
D（ξ5）（1﹣02）2×02+（0﹣02）2×08016．
第六类电影：
ξ6
1
0
P
01
09
E（ξ6）1×01+0×0901
D（ξ5）（1﹣01）2×01+（0﹣01）2×09009．
∴方差Dξ1Dξ2Dξ3Dξ4Dξ5Dξ6关系：
Dξ6＜Dξ3＜Dξ2Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．
18．（13分）设函数f（x）[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）曲线yf（x）点（1f（1））处切线x轴行求a
（Ⅱ）f（x）x2处取极值求a取值范围．
解答解：（Ⅰ）函数f（x）[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex导数
f′（x）[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．
题意曲线yf（x）点（1f（1））处切线斜率0
（a﹣2a﹣1+2）e0
解a1
（Ⅱ）f（x）导数f′（x）[ax2﹣（2a+1）x+2]ex（x﹣2）（ax﹣1）ex
a0x＜2时f′（x）＞0f（x）递增x＞2f′（x）＜0f（x）递减．
x2处f（x）取极值符题意
a＞0af′（x）（x﹣2）2ex≥0f（x）递增极值
a＞＜2f（x）（2）递减（2+∞）（﹣∞）递增
f（x）x2处取极值
0＜a＜＞2f（x）（2）递减（+∞）（﹣∞2）递增
f（x）x2处取极值符题意
a＜0＜2f（x）（2）递增（2+∞）（﹣∞）递减
f（x）x2处取极值符题意．
综a范围（+∞）．
19．（14分）已知抛物线C：y22px点P（12）点Q（01）直线l抛物线C两交点AB直线PA交y轴M直线PB交y轴N．
（Ⅰ）求直线l斜率取值范围
（Ⅱ）设O原点λμ求证：+定值．
解答解：（Ⅰ）∵抛物线C：y22px点
P（12）∴42p解p2
设点（01）直线方程ykx+1
设A（x1y1）B（x2y2）
联立方程组
消yk2x2+（2k﹣4）x+10
∴△（2k﹣4）2﹣4k2＞0k≠0解k＜1
k≠0x1+x2﹣x1x2
直线l斜率取值范围（﹣∞0）∪（01）
（Ⅱ）证明：设点M（0yM）N（0yN）
（0yM﹣1）（0﹣1）
λyM﹣1﹣yM﹣1λ1﹣yM理μ1﹣yN
直线PA方程y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1）
令x0yM理yN
+++
2
∴+2∴+定值．
20．（14分）设n正整数集合A{α|α（t1t2…tn）tk∈{01}k12…n}集合A中意元素α（x1x2…xn）β（y1y2…yn）记
M（αβ）[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]
（Ⅰ）n3时α（110）β（011）求M（αα）M（αβ）值
（Ⅱ）n4时设BA子集满足：B中意元素αβαβ相时M（αβ）奇数αβ时M（αβ）偶数．求集合B中元素数值
（Ⅲ）定2n设BA子集满足：B中意两元素αβM（αβ）0写出集合B元素数说明理．
解答解：（I ） M（aa）2M（aβ）1．
（II）考虑数（xkyk）四种情况：（00）（01）（10）（11）相应分0001
B中元素应奇数1
B中元素（应两元素称互补元素）：
（1000 ）（0100）（0010）（0001）
（0111）（1011）（1101）（1110）
意两11元素αβ满足M（αβ）偶数
四元集合B{（1000）（0100）（0010）（0001）}满足 题意
假设B中元素数等4少互补元素
互补元素外少1含31元素α
互补元素中含11元素β满足M（αβ）1合题意
B中元素数值4．
（Il） B{（000…0）（100…0）（010…0）（001…0）…
（000…1）}
时B中n+1元素证．
意两元素αβ满足M（αβ）0αβ中相位置数字时1
假设存Bn+1元素α（000…0）意元素βM（αβ）0
（000…0）外少n+1元素含1
根元素互异性少存αβ满足xiyil时M（αβ）≥1满足题意
B中n+1元素．
— END —
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选择题8题题5分40分题列出四选项中选出符合题目求项
1．（5分）已知集合A{x||x|＜2}B{﹣2012}A∩B（ ）
A．{01} B．{﹣101} C．{﹣2012} D．{﹣1012}
2．（5分）复面复数轭复数应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）执行图示程序框图输出s值（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音例理发展做出重贡献十二均律纯八度音程分成十二份次十三单音第二单音起单音频率前单音频率等．第单音频率f第八单音频率（ ）
A．f B．f C．f D．f
5．（5分）某四棱锥三视图图示四棱锥侧面中直角三角形数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）设均单位量|﹣3||3+|⊥（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
7．（5分）面直角坐标系中记d点P（cosθsinθ）直线x﹣my﹣20距离．θm变化时d值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）设集合A{（xy）|x﹣y≥1ax+y＞4x﹣ay≤2}（ ）
A．意实数a（21）∈A B．意实数a（21）∉A
C．仅a＜0时（21）∉A D．仅a≤时（21）∉A
二填空题6题题5分30分
9．（5分）设{an}等差数列a13a2+a536{an}通项公式 ．
10．（5分）极坐标系中直线ρcosθ+ρsinθa（a＞0）圆ρ2cosθ相切a ．
11．（5分）设函数f（x）cos（ωx﹣）（ω＞0）f（x）≤f（）意实数x成立ω值 ．
12．（5分）xy满足x+1≤y≤2x2y﹣x值 ．
13．（5分）说明f（x）＞f（0）意x∈（02]成立f（x）[02]增函数假命题函数 ．
14．（5分）已知椭圆M：+1（a＞b＞0）双曲线N：﹣1．双曲线N两条渐线椭圆M四交点椭圆M两焦点恰正六边形顶点椭圆M离心率 双曲线N离心率 ．
三解答题6题80分解答应写出文字说明演算步骤证明程
15．（13分）△ABC中a7b8cosB﹣．
（Ⅰ）求∠A
（Ⅱ）求AC边高．
16．（14分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥面ABCDEFG分AA1ACA1C1BB1中点ABBCACAA12．
（Ⅰ）求证：AC⊥面BEF
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1余弦值
（Ⅲ）证明：直线FG面BCD相交．
17．（12分）电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型
第类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
评率
04
02
015
025
02
01
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值．
假设电影否获评相互独立．
（Ⅰ）电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影概率
（Ⅱ）第四类电影第五类电影中机选取1部估计恰1部获评概率
（Ⅲ）假设类电影喜欢概率表格中该类电影评率相等．ξk1表示第k类电影喜欢．ξk0表示第k类电影没喜欢（k123456）．写出方差Dξ1Dξ2Dξ3Dξ4Dξ5Dξ6关系．
18．（13分）设函数f（x）[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）曲线yf（x）点（1f（1））处切线x轴行求a
（Ⅱ）f（x）x2处取极值求a取值范围．
19．（14分）已知抛物线C：y22px点P（12）点Q（01）直线l抛物线C两交点AB直线PA交y轴M直线PB交y轴N．
（Ⅰ）求直线l斜率取值范围
（Ⅱ）设O原点λμ求证：+定值．
20．（14分）设n正整数集合A{α|α（t1t2…tn）tk∈{01}k12…n}集合A中意元素α（x1x2…xn）β（y1y2…yn）记
M（αβ）[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]
（Ⅰ）n3时α（110）β（011）求M（αα）M（αβ）值
（Ⅱ）n4时设BA子集满足：B中意元素αβαβ相时M（αβ）奇数αβ时M（αβ）偶数．求集合B中元素数值
（Ⅲ）定2n设BA子集满足：B中意两元素αβM（αβ）0写出集合B元素数说明理．
2018年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案试题解析
选择题8题题5分40分题列出四选项中选出符合题目求项
1．（5分）已知集合A{x||x|＜2}B{﹣2012}A∩B（ ）
A．{01} B．{﹣101} C．{﹣2012} D．{﹣1012}
解答解：A{x||x|＜2}{x|﹣2＜x＜2}B{﹣2012}
A∩B{01}
选：A．
2．（5分）复面复数轭复数应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解答解：复数
轭复数应点坐标（﹣）第四象限．
选：D．
3．（5分）执行图示程序框图输出s值（ ）
A． B． C． D．
解答解：执行第次循环时k1S1．
执行第次循环时S1﹣．
k2≤3
执行次循环．S
k3直接输出S
选：B．
4．（5分）十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音例理发展做出重贡献十二均律纯八度音程分成十二份次十三单音第二单音起单音频率前单音频率等．第单音频率f第八单音频率（ ）
A．f B．f C．f D．f
解答解：第二单音起单音频率前单音频率等．
第单音频率f第八单音频率：．
选：D．
5．（5分）某四棱锥三视图图示四棱锥侧面中直角三角形数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解答解：四棱锥三视图应直观图：PA⊥底面ABCD
ACCD
PC3PD2三角形PCD直角三角形．
侧面中3直角三角形分：△PAB△PBC
△PAD．
选：C．
6．（5分）设均单位量|﹣3||3+|⊥（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
解答解：∵|﹣3||3+|
∴方||2+9||2﹣6•||2+9||2+6•
•0⊥
|﹣3||3+|⊥充条件
选：C．
7．（5分）面直角坐标系中记d点P（cosθsinθ）直线x﹣my﹣20距离．θm变化时d值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解答解：题意dtanα﹣
∴sin（θ+α）﹣1时
dmax1+≤3．
∴d值3．
选：C．
8．（5分）设集合A{（xy）|x﹣y≥1ax+y＞4x﹣ay≤2}（ ）
A．意实数a（21）∈A B．意实数a（21）∉A
C．仅a＜0时（21）∉A D．仅a≤时（21）∉A
解答解：a﹣1时集合A{（xy）|x﹣y≥1ax+y＞4x﹣ay≤2}{（xy）|x﹣y≥1﹣x+y＞4x+y≤2}显然（21）满足﹣x+y＞4x+y≤2AC正确
a4集合A{（xy）|x﹣y≥1ax+y＞4x﹣ay≤2}{（xy）|x﹣y≥14x+y＞4x﹣4y≤2}显然（21）行域满足等式B正确
选：D．
二填空题6题题5分30分
9．（5分）设{an}等差数列a13a2+a536{an}通项公式 an6n﹣3 ．
解答解：∵{an}等差数列a13a2+a536
∴
解a13d6
∴ana1+（n﹣1）d3+（n﹣1）×66n﹣3．
∴{an}通项公式an6n﹣3．
答案：an6n﹣3．
10．（5分）极坐标系中直线ρcosθ+ρsinθa（a＞0）圆ρ2cosθ相切a 1+ ．
解答解：圆ρ2cosθ
转化成：ρ22ρcosθ
进步转化成直角坐标方程：（x﹣1）2+y21
直线ρ（cosθ+sinθ）a方程转化成直角坐标方程：x+y﹣a0．
直线圆相切
：利圆心直线距离等半径．
：1
解：a1±．a＞0
负值舍．
：a1+．
答案：1+．
11．（5分）设函数f（x）cos（ωx﹣）（ω＞0）f（x）≤f（）意实数x成立ω值 ．
解答解：函数f（x）cos（ωx﹣）（ω＞0）f（x）≤f（）意实数x成立
：k∈Z解ωk∈Zω＞0
ω值：．
答案：．
12．（5分）xy满足x+1≤y≤2x2y﹣x值 3 ．
解答解：作出等式组应面区域图：
设z2y﹣xyx+z
移yx+z
图象知直线yx+z点A时
直线截距时z
A（12）
时z2×2﹣13
答案：3
13．（5分）说明f（x）＞f（0）意x∈（02]成立f（x）[02]增函数假命题函数 f（x）sinx ．
解答解：例f（x）sinx
f（x）＞f（0）意x∈（02]成立
x∈[0）增函数（2]减函数
答案：f（x）sinx．
14．（5分）已知椭圆M：+1（a＞b＞0）双曲线N：﹣1．双曲线N两条渐线椭圆M四交点椭圆M两焦点恰正六边形顶点椭圆M离心率 双曲线N离心率 2 ．
解答解：椭圆M：+1（a＞b＞0）双曲线N：﹣1．双曲线N两条渐线椭圆M四交点椭圆M两焦点恰正六边形顶点
椭圆焦点坐标（c0）正六边形顶点（）：e4﹣8e2+40e∈（01）
解e．
时双曲线渐线斜率
：
双曲线离心率e2．
答案：2．
三解答题6题80分解答应写出文字说明演算步骤证明程
15．（13分）△ABC中a7b8cosB﹣．
（Ⅰ）求∠A
（Ⅱ）求AC边高．
解答解：（Ⅰ）∵a＜b∴A＜BA锐角
∵cosB﹣∴sinB
正弦定理sinA
A．
（Ⅱ）余弦定理b2a2+c2﹣2accosB
6449+c2+2×7×c×
c2+2c﹣150
（c﹣3）（c+5）0
c3c﹣5（舍）
AC边高hcsinA3×．
16．（14分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥面ABCDEFG分AA1ACA1C1BB1中点ABBCACAA12．
（Ⅰ）求证：AC⊥面BEF
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1余弦值
（Ⅲ）证明：直线FG面BCD相交．
解答（I）证明：∵EF分ACA1C1中点∴EF∥CC1
∵CC1⊥面ABC∴EF⊥面ABC
AC⊂面ABC∴EF⊥AC
∵ABBCEAC中点
∴BE⊥AC
BE∩EFEBE⊂面BEFEF⊂面BEF
∴AC⊥面BEF．
（II）解：E原点EBECEF坐标轴建立空间直角坐标系图示：
B（200）C（010）D（0﹣11）
∴（﹣210）（0﹣21）
设面BCD法量（xyz）
令y2（124）EB⊥面ACC1A1
∴（200）面CD﹣C1法量
∴cos＜＞．
图形知二面角B﹣CD﹣C1钝二面角
∴二面角B﹣CD﹣C1余弦值﹣．
（III）证明：F（002）（201）∴（20﹣1）
∴•2+0﹣4﹣2≠0
∴垂直
∴FG面BCD行FG⊄面BCD
∴FG面BCD相交．
17．（12分）电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型
第类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
评率
04
02
015
025
02
01
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值．
假设电影否获评相互独立．
（Ⅰ）电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影概率
（Ⅱ）第四类电影第五类电影中机选取1部估计恰1部获评概率
（Ⅲ）假设类电影喜欢概率表格中该类电影评率相等．ξk1表示第k类电影喜欢．ξk0表示第k类电影没喜欢（k123456）．写出方差Dξ1Dξ2Dξ3Dξ4Dξ5Dξ6关系．
解答解：（Ⅰ）设事件A表示电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影
总电影部数140+50+300+200+800+5102000部
第四类电影中获评电影：200×02550部
∴电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影频率：
P（A）0025．
（Ⅱ）设事件B表示第四类电影第五类电影中机选取1部恰1部获评
第四类获评：200×02550部
第五类获评：800×02160部
第四类电影第五类电影中机选取1部估计恰1部获评概率：
P（B）035．
（Ⅲ）题意知定义机变量：
ξk
ξk服两点分布六类电影分布列方差计算：
第类电影：
ξ1
1
0
P
04
06
E（ξ1）1×04+0×0604
D（ξ1）（1﹣04）2×04+（0﹣04）2×06024．
第二类电影：
ξ2
1
0
P
02
08
E（ξ2）1×02+0×0802
D（ξ2）（1﹣02）2×02+（0﹣02）2×08016．
第三类电影：
ξ3
1
0
P
015
085
E（ξ3）1×015+0×085015
D（ξ3）（1﹣015）2×015+（0﹣085）2×08501275．
第四类电影：
ξ4
1
0
P
025
075
E（ξ4）1×025+0×075015
D（ξ4）（1﹣025）2×025+（0﹣075）2×07501875．
第五类电影：
ξ5
1
0
P
02
08
E（ξ5）1×02+0×0802
D（ξ5）（1﹣02）2×02+（0﹣02）2×08016．
第六类电影：
ξ6
1
0
P
01
09
E（ξ6）1×01+0×0901
D（ξ5）（1﹣01）2×01+（0﹣01）2×09009．
∴方差Dξ1Dξ2Dξ3Dξ4Dξ5Dξ6关系：
Dξ6＜Dξ3＜Dξ2Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．
18．（13分）设函数f（x）[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）曲线yf（x）点（1f（1））处切线x轴行求a
（Ⅱ）f（x）x2处取极值求a取值范围．
解答解：（Ⅰ）函数f（x）[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex导数
f′（x）[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．
题意曲线yf（x）点（1f（1））处切线斜率0
（a﹣2a﹣1+2）e0
解a1
（Ⅱ）f（x）导数f′（x）[ax2﹣（2a+1）x+2]ex（x﹣2）（ax﹣1）ex
a0x＜2时f′（x）＞0f（x）递增x＞2f′（x）＜0f（x）递减．
x2处f（x）取极值符题意
a＞0af′（x）（x﹣2）2ex≥0f（x）递增极值
a＞＜2f（x）（2）递减（2+∞）（﹣∞）递增
f（x）x2处取极值
0＜a＜＞2f（x）（2）递减（+∞）（﹣∞2）递增
f（x）x2处取极值符题意
a＜0＜2f（x）（2）递增（2+∞）（﹣∞）递减
f（x）x2处取极值符题意．
综a范围（+∞）．
19．（14分）已知抛物线C：y22px点P（12）点Q（01）直线l抛物线C两交点AB直线PA交y轴M直线PB交y轴N．
（Ⅰ）求直线l斜率取值范围
（Ⅱ）设O原点λμ求证：+定值．
解答解：（Ⅰ）∵抛物线C：y22px点
P（12）∴42p解p2
设点（01）直线方程ykx+1
设A（x1y1）B（x2y2）
联立方程组
消yk2x2+（2k﹣4）x+10
∴△（2k﹣4）2﹣4k2＞0k≠0解k＜1
k≠0x1+x2﹣x1x2
直线l斜率取值范围（﹣∞0）∪（01）
（Ⅱ）证明：设点M（0yM）N（0yN）
（0yM﹣1）（0﹣1）
λyM﹣1﹣yM﹣1λ1﹣yM理μ1﹣yN
直线PA方程y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1）
令x0yM理yN
+++
2
∴+2∴+定值．
20．（14分）设n正整数集合A{α|α（t1t2…tn）tk∈{01}k12…n}集合A中意元素α（x1x2…xn）β（y1y2…yn）记
M（αβ）[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]
（Ⅰ）n3时α（110）β（011）求M（αα）M（αβ）值
（Ⅱ）n4时设BA子集满足：B中意元素αβαβ相时M（αβ）奇数αβ时M（αβ）偶数．求集合B中元素数值
（Ⅲ）定2n设BA子集满足：B中意两元素αβM（αβ）0写出集合B元素数说明理．
解答解：（I ） M（aa）2M（aβ）1．
（II）考虑数（xkyk）四种情况：（00）（01）（10）（11）相应分0001
B中元素应奇数1
B中元素（应两元素称互补元素）：
（1000 ）（0100）（0010）（0001）
（0111）（1011）（1101）（1110）
意两11元素αβ满足M（αβ）偶数
四元集合B{（1000）（0100）（0010）（0001）}满足 题意
假设B中元素数等4少互补元素
互补元素外少1含31元素α
互补元素中含11元素β满足M（αβ）1合题意
B中元素数值4．
（Il） B{（000…0）（100…0）（010…0）（001…0）…
（000…1）}
时B中n+1元素证．
意两元素αβ满足M（αβ）0αβ中相位置数字时1
假设存Bn+1元素α（000…0）意元素βM（αβ）0
（000…0）外少n+1元素含1
根元素互异性少存αβ满足xiyil时M（αβ）≥1满足题意
B中n+1元素．
— END —
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