2017年北京市高考数学试卷（理科）
选择题（题5分）
1．（5分）集合A{x|﹣2＜x＜1}B{x|x＜﹣1x＞3}A∩B（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
2．（5分）复数（1﹣i）（a+i）复面应点第二象限实数a取值范围（ ）
A．（﹣∞1） B．（﹣∞﹣1） C．（1+∞） D．（﹣1+∞）
3．（5分）执行图示程序框图输出S值（ ）
A．2 B． C． D．
4．（5分）xy满足x+2y值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．（5分）已知函数f（x）3x﹣（）xf（x）（ ）
A．奇函数R增函数 B．偶函数R增函数
C．奇函数R减函数 D．偶函数R减函数
6．（5分）设非零量存负数λλ•＜0（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
7．（5分）某四棱锥三视图图示该四棱锥长棱长度（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
8．（5分）根关资料围棋状态空间复杂度限M约3361观测宇宙中普通物质原子总数N约1080列数中接（ ）
（参考数：lg3≈048）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
二填空题（题5分）
9．（5分）双曲线x2﹣1离心率实数m ．
10．（5分）等差数列{an}等数列{bn}满足a1b1﹣1a4b48 ．
11．（5分）极坐标系中点A圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+40点P坐标（10）|AP|值 ．
12．（5分）面直角坐标系xOy中角α角β均Ox始边终边关y轴称sinαcos（α﹣β） ．
13．（5分）够说明设abc意实数．a＞b＞ca+b＞c假命题组整数abc值次 ．
14．（5分）三名工加工种零件天中工作情况图示中Ai横坐标分第i名工午工作时间加工零件数点Bi横坐标分第i名工午工作时间加工零件数i123．
（1）记Qi第i名工天中加工零件总数Q1Q2Q3中 ．
（2）记pi第i名工天中均时加工零件数p1p2p3中 ．
三解答题
15．（13分）△ABC中∠A60°ca．
（1）求sinC值
（2）a7求△ABC面积．
16．（14分）图四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD正方形面PAD⊥面ABCD点M线段PBPD∥面MACPAPDAB4．
（1）求证：MPB中点
（2）求二面角B﹣PD﹣A
（3）求直线MC面BDP成角正弦值．
17．（13分）研究种新药疗效选100名患者机分成两组组50名组服药组服药．段时间记录两组患者生理指标xy数制成图中*表示服药者+表示未服药者．
（1）服药50名患者中机选出求指标y值60概率
（2）图中ABCD四中机选出两记ξ选出两中指标x值17数求ξ分布列数学期E（ξ）
（3）试判断100名患者中服药者指标y数方差未服药者指标y数方差．（需写出结）
18．（14分）已知抛物线C：y22px点P（11）．点（0）作直线l抛物线C交两点MN点M作x轴垂线分直线OPON交点AB中O原点．
（1）求抛物线C方程求焦点坐标准线方程
（2）求证：A线段BM中点．
19．（13分）已知函数f（x）excosx﹣x．
（1）求曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程
（2）求函数f（x）区间[0]值值．
20．（13分）设{an}{bn}两等差数列记cnmax{b1﹣a1nb2﹣a2n…bn﹣ann}（n123…）中max{x1x2…xs}表示x1x2…xss数中数．
（1）annbn2n﹣1求c1c2c3值证明{cn}等差数列
（2）证明：者意正数M存正整数mn≥m时＞M者存正整数mcmcm+1cm+2…等差数列．
2017年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案试题解析
选择题（题5分）
1．（5分）（2017•北京）集合A{x|﹣2＜x＜1}B{x|x＜﹣1x＞3}A∩B（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11 ：计算题37 ：集合思想5J ：集合．
分析根已知中集合AB结合集合交集定义答案．
解答解：∵集合A{x|﹣2＜x＜1}B{x|x＜﹣1x＞3}
∴A∩B{x|﹣2＜x＜﹣1}
选：A
点评题考查知识点集合交集运算难度属基础题．
2．（5分）（2017•北京）复数（1﹣i）（a+i）复面应点第二象限实数a取值范围（ ）
A．（﹣∞1） B．（﹣∞﹣1） C．（1+∞） D．（﹣1+∞）
考点A1：虚数单位i性质．菁优网版权
专题35 ：转化思想59 ：等式解法应5N ：数系扩充复数．
分析复数（1﹣i）（a+i）a+1+（1﹣a）i复面应点第二象限解a范围．
解答解：复数（1﹣i）（a+i）a+1+（1﹣a）i复面应点第二象限
∴解a＜﹣1．
实数a取值范围（﹣∞﹣1）．
选：B．
点评题考查复数运算法意义等式解法考查推理力计算力属基础题．
3．（5分）（2017•北京）执行图示程序框图输出S值（ ）
A．2 B． C． D．
考点EF：程序框图．菁优网版权
专题5K ：算法程序框图．
分析已知中程序框图知：该程序功利循环结构计算输出变量S值模拟程序运行程分析循环中变量值变化情况答案．
解答解：k0时满足进行循环条件执行完循环体k1S2
k1时满足进行循环条件执行完循环体k2S
k2时满足进行循环条件执行完循环体k3S
k3时满足进行循环条件
输出结果：
选：C．
点评题考查知识点程序框图循环次数规律时常采模拟循环方法解答．
4．（5分）（2017•北京）xy满足x+2y值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题11 ：计算题31 ：数形结合35 ：转化思想5T ：等式．
分析画出约束条件行域利目标函数优解求解目标函数值．
解答解：xy满足行域图：
行域知目标函数zx+2y行域A时取值A（33）
目标函数值：3+2×39．
选：D．
点评题考查线性规划简单应画出行域判断目标函数优解解题关键．
5．（5分）（2017•北京）已知函数f（x）3x﹣（）xf（x）（ ）
A．奇函数R增函数 B．偶函数R增函数
C．奇函数R减函数 D．偶函数R减函数
考点3N：奇偶性单调性综合．菁优网版权
专题2A ：探究型4O：定义法51 ：函数性质应．
分析已知f（﹣x）﹣f（x）函数f（x）奇函数函数y3x增函数y（）x减函数结合增﹣减增答案．
解答解：f（x）3x﹣（）x3x﹣3﹣x
∴f（﹣x）3﹣x﹣3x﹣f（x）
函数f（x）奇函数
函数y3x增函数y（）x减函数
函数f（x）3x﹣（）x增函数
选：A．
点评题考查知识点函数奇偶性函数单调性函数图象性质综合应难度属基础题．
6．（5分）（2017•北京）设非零量存负数λλ•＜0（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
考点2L：必条件充分条件充条件判断．菁优网版权
专题35 ：转化思想5A ：面量应5L ：简易逻辑．
分析非零量存负数λλ量线方相反•＜0．反成立非零量夹角钝角满足•＜0λ成立．判断出结．
解答解：非零量存负数λλ量线方相反•＜0．
反成立非零量夹角钝角满足•＜0λ成立．
∴非零量存负数λλ•＜0充分必条件．
选：A．
点评题考查量线定理量夹角公式简易逻辑判定方法考查推理力计算力属基础题．
7．（5分）（2017•北京）某四棱锥三视图图示该四棱锥长棱长度（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
考点L：三视图求面积体积．菁优网版权
专题11 ：计算题31 ：数形结合44 ：数形结合法5Q ：立体．
分析根三视图物体直观图结合图形长棱PA根勾股定理求出．
解答解：三视图直观图
四棱锥P﹣ABCD中
长棱PA
PA
2
选：B．
点评题考查三视图问题关键画出物体直观图属基础题．
8．（5分）（2017•北京）根关资料围棋状态空间复杂度限M约3361观测宇宙中普通物质原子总数N约1080列数中接（ ）
（参考数：lg3≈048）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
考点4G：指数式数式互化．菁优网版权
专题11 ：计算题．
分析根数性质：T：310lg3≈10048代入MM化10底指数形式进结果．
解答解：题意：M≈3361N≈1080
根数性质：310lg3≈10048
∴M≈3361≈（10048）361≈10173
∴≈1093
题选：D．
点评题解题关键定正数T写成指数形式：T考查指数形式数形式互化属简单题．
二填空题（题5分）
9．（5分）（2017•北京）双曲线x2﹣1离心率实数m 2 ．
考点KC：双曲线简单性质．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想5D ：圆锥曲线定义性质方程．
分析利双曲线离心率列出方程求求解m ．
解答解：双曲线x2﹣1（m＞0）离心率
：
解m2．
答案：2．
点评题考查双曲线简单性质考查计算力．
10．（5分）（2017•北京）等差数列{an}等数列{bn}满足a1b1﹣1a4b48 1 ．
考点8M：等差数列等数列综合．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想54 ：等差数列等数列．
分析利等差数列求出公差等数列求出公然求解第二项结果．
解答解：等差数列{an}等数列{bn}满足a1b1﹣1a4b48
设等差数列公差d等数列公q．
：8﹣1+3dd3a22
8﹣q3解q﹣2∴b22．
1．
答案：1．
点评题考查等差数列等数列通项公式应考查计算力．
11．（5分）（2017•北京）极坐标系中点A圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+40点P坐标（10）|AP|值 1 ．
考点Q4：简单曲线极坐标方程．菁优网版权
专题31 ：数形结合44 ：数形结合法．
分析先圆极坐标方程化标准方程运数形结合方法求出圆点点P距离值．
解答解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+40圆C圆C极坐标方程化：x2+y2﹣2x﹣4y+40
化标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）21
图ACP⊙C交点Q处时|AP|：
|AP|min|CP|﹣rC2﹣11
答案：1．
点评题考查曲线极坐标方程圆外点圆点距离值难度．
12．（5分）（2017•北京）面直角坐标系xOy中角α角β均Ox始边终边关y轴称sinαcos（α﹣β） ﹣ ．
考点GP：两角差余弦函数．菁优网版权
专题11 ：计算题33 ：函数思想4R：转化法56 ：三角函数求值．
分析方法：根教称sinαsinβcosα﹣cosβ两角差余弦公式求出
方法二：分α第象限第二象限根角三角函数关系两角差余弦公式求出
解答解：方法：∵角α角β均Ox始边终边关y轴称
∴sinαsinβcosα﹣cosβ
∴cos（α﹣β）cosαcosβ+sinαsinβ﹣cos2α+sin2α2sin2α﹣1﹣1﹣
方法二：∵sinα
α第象限时cosα
∵αβ角终边关y轴称
∴β第二象限时sinβsinαcosβ﹣cosα﹣
∴cos（α﹣β）cosαcosβ+sinαsinβ﹣×+×﹣
：∵sinα
α第二象限时cosα﹣
∵αβ角终边关y轴称
∴β第象限时sinβsinαcosβ﹣cosα
∴cos（α﹣β）cosαcosβ+sinαsinβ﹣×+×﹣
综述cos（α﹣β）﹣
答案：﹣
点评题考查两角差余弦公式角三角函数关系需分类讨属基础题
13．（5分）（2017•北京）够说明设abc意实数．a＞b＞ca+b＞c假命题组整数abc值次 ﹣1﹣2﹣3 ．
考点FC：反证法．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想4O：定义法5L ：简易逻辑．
分析设abc意实数．a＞b＞ca+b＞c假命题a＞b＞ca+b≤c真命题举例题答案唯
解答解：设abc意实数．a＞b＞ca+b＞c假命题
a＞b＞ca+b≤c真命题
设abc值次﹣1﹣2﹣3（答案唯）
答案：﹣1﹣2﹣3
点评题考查命题真假举例说明属基础题．
14．（5分）（2017•北京）三名工加工种零件天中工作情况图示中Ai横坐标分第i名工午工作时间加工零件数点Bi横坐标分第i名工午工作时间加工零件数i123．
（1）记Qi第i名工天中加工零件总数Q1Q2Q3中 Q1 ．
（2）记pi第i名工天中均时加工零件数p1p2p3中 p2 ．
考点35：函数图象图象变化．菁优网版权
专题11 ：计算题27 ：图表型35 ：转化思想51 ：函数性质应．
分析（1）Qi第i名工天中加工零件总数QiAi综坐标+Bi坐标进答案．
（2）pi第i名工天中均时加工零件数piAiBi中点原点连线斜率进答案．
解答解：（1）Qi第i名工天中加工零件总数
Q1A1坐标+B1坐标
Q2A2坐标+B2坐标
Q3A3坐标+B3坐标
已知中图象：Q1Q2Q3中Q1
（2）pi第i名工天中均时加工零件数
piAiBi中点原点连线斜率
p1p2p3中p2
答案：Q1p2
点评题考查知识点函数图象分析出Qipi意义解答关键．
三解答题
15．（13分）（2017•北京）△ABC中∠A60°ca．
（1）求sinC值
（2）a7求△ABC面积．
考点HP：正弦定理．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想4O：定义法58 ：解三角形．
分析（1）根正弦定理求出答案
（2）根角三角函数关系求出cosC根两角正弦公式求出sinB根面积公式计算．
解答解：（1）∠A60°ca
正弦定理sinCsinA×
（2）a7c3
∴C＜A
（1）cosC
∴sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC×+×
∴S△ABCacsinB×7×3×6．
点评题考查正弦定理两角正弦公式三角形面积公式属基础题
16．（14分）（2017•北京）图四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD正方形面PAD⊥面ABCD点M线段PBPD∥面MACPAPDAB4．
（1）求证：MPB中点
（2）求二面角B﹣PD﹣A
（3）求直线MC面BDP成角正弦值．
考点MT：二面角面角求法MI：直线面成角．菁优网版权
专题15 ：综合题31 ：数形结合41 ：量法5G ：空间角．
分析（1）设AC∩BDOOBD中点连接OM利线面行性质证明OM∥PD行线截线段成例MPB中点
（2）取AD中点GPG⊥AD面面垂直性质PG⊥面ABCDPG⊥AD连接OGPG⊥OG证明OG⊥AD．G坐标原点分GDGOGP直线xyz轴距离空间直角坐标系求出面PBD面PAD法量两法量成角二面角B﹣PD﹣A
（3）求出坐标面PBD法量成角余弦值绝值直线MC面BDP成角正弦值．
解答（1）证明：图设AC∩BDO
∵ABCD正方形∴OBD中点连接OM
∵PD∥面MACPD⊂面PBD面PBD∩面AMCOM
∴PD∥OMMPB中点
（2）解：取AD中点G
∵PAPD∴PG⊥AD
∵面PAD⊥面ABCD面PAD∩面ABCDAD
∴PG⊥面ABCDPG⊥AD连接OGPG⊥OG
GAD中点OAC中点OG∥DCOG⊥AD．
G坐标原点分GDGOGP直线xyz轴距离空间直角坐标系
PAPDAB4D（200）A（﹣200）P（00）C（240）B（﹣240）M（﹣12）
．
设面PBD法量
取z．
取面PAD法量．
∴cos＜＞．
∴二面角B﹣PD﹣A60°
（3）解：面PAD法量．
∴直线MC面BDP成角正弦值|cos＜＞|||||．
点评题考查线面角面面角求法训练利空间量求空间角属中档题．
17．（13分）（2017•北京）研究种新药疗效选100名患者机分成两组组50名组服药组服药．段时间记录两组患者生理指标xy数制成图中*表示服药者+表示未服药者．
（1）服药50名患者中机选出求指标y值60概率
（2）图中ABCD四中机选出两记ξ选出两中指标x值17数求ξ分布列数学期E（ξ）
（3）试判断100名患者中服药者指标y数方差未服药者指标y数方差．（需写出结）
考点CH：离散型机变量期方差CG：离散型机变量分布列．菁优网版权
专题11 ：计算题34 ：方程思想49 ：综合法5I ：概率统计．
分析（1）图求出50名服药患者中15名患者指标y值60求出服药50名患者中机选出指标60概率．
（2）图知：AC两指标x值17BD两17知四中机选项出2中指标x值17数ξ取值012分求出相应概率求出ξ分布列E（ξ）．
（3）图知100名患者中服药者指标y数方差未服药者指标y数方差．
解答解：（1）图知：50名服药患者中15名患者指标y值60
服药50名患者中机选出指标60概率：
p．
（2）图知：AC两指标x值17BD两17
知四中机选项出2中指标x值17数ξ取值012
P（ξ0）
P（ξ1）
P（ξ2）
∴ξ分布列：
ξ
0
1
2
P
E（ξ）1．
（3）图知100名患者中服药者指标y数方差未服药者指标y数方差．
点评题考查概率求法考查离散型机变量分布列数学期方差等基础知识考查推理证力运算求解力空间想象力考查数形结合思想化转化思想中档题．
18．（14分）（2017•北京）已知抛物线C：y22px点P（11）．点（0）作直线l抛物线C交两点MN点M作x轴垂线分直线OPON交点AB中O原点．
（1）求抛物线C方程求焦点坐标准线方程
（2）求证：A线段BM中点．
考点K8：抛物线简单性质KN：直线抛物线位置关系．菁优网版权
专题11 ：计算题34 ：方程思想44 ：数形结合法5D ：圆锥曲线定义性质方程．
分析（1）根抛物线点P（11）．代值求出p求出抛物线C方程焦点坐标准线方程
（2）设点（0）直线方程ykx+M（x1y1）N（x2y2）根韦达定理x1+x2x1x2根中点定义证明．
解答解：（1）∵y22px点P（11）
∴12p
解p
∴y2x
∴焦点坐标（0）准线x﹣
（2）证明：设点（0）直线方程
ykx+M（x1y1）N（x2y2）
∴直线OPyx直线ON：yx
题意知A（x1x1）B（x1）
k2x2+（k﹣1）x+0
∴x1+x2x1x2
∴y1+kx1++2kx1+2kx1+2kx1+（1﹣k）•2x12x1
∴A线段BM中点．
点评题考查抛物线简单性质直线抛物线关系灵活利韦达定理中点定义属中档题．
19．（13分）（2017•北京）已知函数f（x）excosx﹣x．
（1）求曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程
（2）求函数f（x）区间[0]值值．
考点6E：利导数求闭区间函数值6H：利导数研究曲线某点切线方程．菁优网版权
专题34 ：方程思想48 ：分析法53 ：导数综合应．
分析（1）求出f（x）导数切线斜率切点点斜式方程求方程
（2）求出f（x）导数令g（x）f′（x）求出g（x）导数g（x）区间[0]单调性f（x）单调性进f（x）值．
解答解：（1）函数f（x）excosx﹣x导数f′（x）ex（cosx﹣sinx）﹣1
曲线yf（x）点（0f（0））处切线斜率ke0（cos0﹣sin0）﹣10
切点（0e0cos0﹣0）（01）
曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程y1
（2）函数f（x）excosx﹣x导数f′（x）ex（cosx﹣sinx）﹣1
令g（x）ex（cosx﹣sinx）﹣1
g（x）导数g′（x）ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）﹣2ex•sinx
x∈[0]g′（x）﹣2ex•sinx≤0
g（x）[0]递减g（x）≤g（0）0
f（x）[0]递减
函数f（x）区间[0]值f（0）e0cos0﹣01
值f（）ecos﹣﹣．
点评题考查导数运：求切线方程单调区间值考查化简整理运算力正确求导运二次求导解题关键属中档题．
20．（13分）（2017•北京）设{an}{bn}两等差数列记cnmax{b1﹣a1nb2﹣a2n…bn﹣ann}（n123…）中max{x1x2…xs}表示x1x2…xss数中数．
（1）annbn2n﹣1求c1c2c3值证明{cn}等差数列
（2）证明：者意正数M存正整数mn≥m时＞M者存正整数mcmcm+1cm+2…等差数列．
考点8B：数列应8C：等差关系确定．菁优网版权
专题32 ：分类讨4R：转化法54 ：等差数列等数列．
分析（1）分求a11a22a33b11b23b35代入求c1c2c3（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0b1﹣na1≥bk﹣nakcnb1﹣na11﹣ncn+1﹣cn﹣1∀n∈N*均成立
（2）bi﹣ain[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n）分类讨d10d1＞0d1＜0三种情况进行讨根等差数列性质求cmcm+1cm+2…等差数列设An+B+意正整数M存正整数mn≥m＞M分类讨采放缩法求意正数M存正整数mn≥m时＞M．
解答解：（1）a11a22a33b11b23b35
n1时c1max{b1﹣a1}max{0}0
n2时c2max{b1﹣2a1b2﹣2a2}max{﹣1﹣1}﹣1
n3时c3max{b1﹣3a1b2﹣3a2b3﹣3a3}max{﹣2﹣3﹣4}﹣2
面证明：∀n∈N*n≥2cnb1﹣na1
n∈N*2≤k≤n时
（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）
[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n
（2k﹣2）﹣n（k﹣1）
（k﹣1）（2﹣n）k﹣1＞02﹣n≤0
（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0b1﹣na1≥bk﹣nak
∀n∈N*n≥2cnb1﹣na11﹣n
cn+1﹣cn﹣1
∴c2﹣c1﹣1
∴cn+1﹣cn﹣1∀n∈N*均成立
∴数列{cn}等差数列
（2）证明：设数列{an}{bn}公差分d1d2面考虑cn取值
b1﹣a1nb2﹣a2n…bn﹣ann
考虑中意bi﹣ain（i∈N*1≤i≤n）
bi﹣ain[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n
（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n）
面分d10d1＞0d1＜0三种情况进行讨
①d10bi﹣ain═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2
d2≤0（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）（i﹣1）d2≤0
定正整数n言cnb1﹣a1n时cn+1﹣cn﹣a1
∴数列{cn}等差数列
d2＞0（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）（i﹣n）d2＞0
定正整数n言cnbn﹣annbn﹣a1n
时cn+1﹣cnd2﹣a1
∴数列{cn}等差数列
时取m1c1c2…等差数列命题成立
②d1＞0时﹣d1n+d2关n次项系数负数次函数
必存m∈N*n≥m时﹣d1n+d2＜0
n≥m时（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0（i∈N*1≤i≤n）
n≥m时cnb1﹣a1n
时cn+1﹣cn﹣a1数列{cn}第m项开始等差数列命题成立
③d1＜0时﹣d1n+d2关n次项系数正数次函数
必存s∈N*n≥s时﹣d1n+d2＞0
n≥s时（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0（i∈N*1≤i≤n）
n≥s时cnbn﹣ann
时﹣an+
﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+
令﹣d1A＞0d1﹣a1+d2Bb1﹣d2C
面证明：An+B+意正整数M存正整数mn≥m＞M
C≥0取m[+1][x]表示x整数
n≥m时≥An+B≥Am+BA[+1]+B＞A•+BM
时命题成立
C＜0取m[]+1
n≥m时
≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+CM
时命题成立
意正数M存正整数mn≥m时＞M
综合三种情况命题证．
点评题考查数列综合应等差数列性质考查等式综合应考查放缩法应考查学生分析问题解决问题力考查分类讨转化思想考查计算力属难题．
考点卡片
1．交集运算
知识点认识
属集合A属集合B元素组成集合做AB交集记作A∩B．
符号语言：A∩B{x|x∈Ax∈B}．
A∩B实际理解：xAB中相元素．
两集合没公元素时两集合交集空集说两集合没交集．
运算形状：
①A∩BB∩A．②A∩∅∅．③A∩AA．④A∩B⊆AA∩B⊆B．⑤A∩BA⇔A⊆B．⑥A∩B∅两集合没相元素．⑦A∩（∁UA）∅．⑧∁U（A∩B）（∁UA）∪（∁UB）．
解题方法点拨解答交集问题需注意交集中：理解．混求交集方法：①限集找相②限集数轴韦恩图．
命题方掌握交集表示法会求两集合交集．
命题通常选择题填空题函数定义域值域函数单调性复合函数单调性等联合命题．
2．必条件充分条件充条件判断
知识点认识
正确理解判断充分条件必条件充条件非充分非必原命题逆命题否命题逆否命题概念节重点掌握逻辑推理力语言互译力充条件概念质握节难点．
1．充分条件：命题pq真时果p成立q定成立记作p⇒q称pq充分条件．意义说条件p充分保证结q成立换句话说结q成立具备条件p够然q成立充分条件．p：x≥6q：x＞2pq成立充分条件r：x＞3q成立充分条件．
必条件：果q成立p成立q⇒p者果p成立q定成立非p非q记作￢p⇒￢q说条件pq必条件意思说条件pq成立必须具备条件．
充条件：果p⇒qq⇒p称条件pq成立充条件称条件qp成立充条件记作p⇔q．
2．集合角度概念：
果条件p结q结果分集合PQ 表示
①p⇒q相P⊆Q．：x∈Q成立x∈P足够﹣﹣行．
②q⇒p相P⊇Q：x∈Q成立必须x∈P﹣﹣缺行．
③p⇔q相PQ：互充两条件刻画事物．
3．命题pq真时表示称pq充分条件qp必条件．里出pq充分条件容易理解．什说qp必条件呢？事实等价逆否命题．意义：q成立p定成立．说qp必少说qp必条件．
4．充条件含义实际初中学等价含义完全相．说果命题p等价命题q说命题p成立充条件命题q成立时命题q成立充条件命题p成立．
解题方法点拨
1．助集合知识加判断P⊆QPQ充分条件QP必条件PQPQ互充条件．
2．等价法：P⇒Q⇔￢Q⇒￢P原命题逆否命题等价原命题逆命题原命题否命题等价．
3．充条件证明般两种方法：分类思想充分性必性两种情况分加证明二逐步找出成立充条件⇔连接．
命题方
充条件研究命题条件结间逻辑关系中学数学重数学概念高中学数学推理学基础．年高考中会考查类问题．
3．函数图象图象变化
知识点认识
函数图象函数表示方法够直观反映出函数定义域函数值域应关系函数单调性变化规律．研究记忆函数性质直观工具利直观性解题起化繁简化难易作．
函数图象变化函数作图函数性质应．包括图象左右移移称变换函数图象伸缩．
解题方法点拨
绘制函数图象般方法利描点法二利基初等函数图象通函数图象变换方法作图．
掌握函数图象变化般规律利函数图象研究函数性质．
利函数解析式函数图象识图力图形组合等．
命题方函数图象图象变换函数图象性质高考考查重点容．
1．作出函数图象．
2．利函数图象求出函数解析式已解析式中关物理量．
3．函数函数图象应关系题目．
4．函数图象变换题目．
4．奇偶性单调性综合
知识点认识
奇偶函数综合实谈真正综合般情况列起说关键掌握奇函数偶函数性质做题时融会贯通灵活运．重复性质 ①奇函数f（x）定义域关原点称定义域意xf（﹣x）﹣f（x）图象特点关（00）称．②偶函数f（x）定义域关原点称定义域意xf（﹣x）f（x）图象特点关y轴称．
解题方法点拨
参奇偶函数性质考点：
①奇函数：果函数定义域包括原点运f（0）0解相关未知量
②奇函数：定义域包括原点运f（x）﹣f（﹣x）解相关参数
③偶函数：定义域般f（x）f（﹣x）求解
④奇函数定义域关原点称部分单调性致偶函数单调性相反
例题：果f（x）奇函数a ．
解：题意知f（x）定义域R
奇函数性质知f（x）﹣f（﹣x）⇒a1
命题方奇偶性单调性综合．
出什样题理解运奇偶函数性质基前提外做题时候总结定重视知识点．
5．指数式数式互化
知识点纳
abN⇔logaNb
alogaNNlogaaNN
指数方程数方程种类型：
（1）af（x）b⇔f（x）logablogaf（x）b⇔f（x）ab（定义法）
（2）af（x）ag（x）⇔f（x）g（x）logaf（x）logag（x）⇔f（x）g（x）＞0（底法）
（3）af（x）bg（x）⇔f（x）logmag（x）logmb（两边取数法）
（4）logaf（x）logbg（x）⇔logaf（x）（换底法）
（5）Alogx+Blogax+C0（A（ax）2+Bax+C0）（设tlogaxtax）（换元法）
6．利导数求闭区间函数值
知识点知识
利导数求函数极值
1极值
般设函数f（x）点x0附定义果x0附点f（x）＜f（x0）说f（x0）函数极值记作y极值f（x0）极值点．
2极值
般设函数f（x）x0附定义果x0附点f（x）＞f（x0）说f（x0）函数f（x）极值记作y极值f（x0）极值点．
3极值极值统称极值
定义中取极值点称极值点极值点变量值极值指函数值．请注意点：
（ⅰ）极值局部概念 定义极值某点函数值附点函数值较．意味着函数整定义域．
（ⅱ）函数极值唯 函数某区间定义域极值极值止．
（ⅲ）极值极值间确定关系 函数极值未必极值图示x1极值点x4极值点f（x4）＞f（x1）．
（ⅳ）函数极值点定出现区间部区间端点成极值点 函数取值值点区间部区间端点
4判f（x0）式极值极值方法：
x0满足f′（x0）0x0两侧f（x）导数异号x0f（x）极值点f（x0）极值果f′（x）x0两侧满足左正右负x0f（x）极值点f（x0）极值果f′（x）x0两侧满足左负右正x0f（x）极值点f（x0）极值．
5求导函数f（x）极值步骤：
（1）确定函数定义区间求导数f′（x）
（2）求方程f′（x）0根
（3）函数导数0点次函数定义区间分成干开区间列成表格．检查f′（x）方程根左右值符号果左正右负f（x）根处取极值果左负右正f（x）根处取极值果左右改变符号f（x）根处极值．
二利导数求函数值值
1函数值值
观察图中定义闭区间[ab]函数f（x）图象．图中f（x1）f（x3）极值f（x2）极值．函数f（x）[ab]值f（b）值f（x1）．
般闭区间[ab]连续函数f（x）[ab]必值值．
说明：（1）开区间（ab）连续函数f（x）定值值．函数f（x）（0+∞）连续没值值
（2）函数值较整定义域函数值出函数极值较极值点附函数值出．
（3）函数f（x）闭区间[ab]连续f（x）闭区间[ab]值值充分条件非必条件．
（4）函数定义区间值值函数极值止没
2导数求函数值步骤：
面函数f（x）图象出连续函数极值定义区间端点函数值进行较出函数值．
设函数f（x）[ab]连续（ab）导求f（x）[ab]值值步骤：
（1）求f（x）（ab）极值
（2）f（x）极值f（a）f（b）较出函数f（x）[ab]值．
解题方法点拨
理解极值概念时注意点：
（1）定义极值点x0区间[ab]部点会端点ab（端点导）．
（2）极值局部性概念领域成立．注意极值必须区间连续点取．函数定义域许极值极值某点极值点极值说极值极值没必然关系极值定极值极值定极值．
（3）f（x）（ab）极值f（x）（ab）绝单调函数区间单调函数没极值．
（4）函数f（x）[ab]极值连续极值点分布规律相邻两极值点间必极值点样相邻两极值点间必极值点般函数f（x）[ab]连续限极值点时函数f（x）[ab]极值点极值点交出现
（5）导函数极值点必须导数0点导数0点定极值点导点极值点极值点．
7．利导数研究曲线某点切线方程
考点描述
利导数求曲线某点切线方程高考中常考点考查学生求导力考察学生导数意义理解考察直线方程求法包含较重基点高考出题时备受青睐．解答类题时候关键找两点第找切线斜率第二告诉点实直线点知道斜率情况点斜式直线方程求出．
实例解析
例：已知函数yxlnx求函数图象点x1处切线方程．
解：ky＇|x1ln1+11
x1时y0切点（10）
∴切线方程y﹣01×（x﹣1）
yx﹣1．
通例题发现第步确定切点第二步求斜率求曲线该点导数第三步利点斜式求出直线方程．种题原基样希家灵活应认真总结．
8．简单线性规划
概念
线性规划解决生活生产中资源利力调配生产安排等问题种重数学模型．简单线性规划指目标函数含两变量线性规划优解数形结合方法求出．高中阶段接触三二元次等式组限制行域然行域面求某函数值者斜率值．
例题解析
例：目标函数zx+y中变量xy满足约束条件．
（1）试确定行域面积
（2）求出该线性规划问题中优解．
解：（1）作出行域图：应区域直角三角形ABC
中B（43）A（23）C（42）
行域面积S．
（2）zx+yy﹣x+z移直线y﹣x+z
图象知直线点A（23）时直线y﹣x+z截距
时zz2+35
直线点B（43）时直线y﹣x+z截距
时zz4+37
该线性规划问题中优解（43）（23）
高中阶段接触关线性规划题型解种题律先画图条直线坐标系中表示出然确定表示行域范围通目标函数移找值．
考点预测
线性规划实际中应广泛具高实价值成高考热点．家备考时候需学会准确画出行域然会移目标曲线．
9．数列应
知识点知识
1数列函数综合
2等差数列等数列综合
3数列实际应
数列银行利率产品利润口增长等实际问题结合．
10．等差关系确定
知识点知识
等差数列判定方法：
（1）定义法：an+1﹣and（常数）（n∈N+）⇔{an}等差数列．
（2）递推法：2an+1an+an+2 （n∈N+）⇔{an}等差数列．
（3）性质法：利性质判断．
（4）通项法：anpn+q（pq常数）⇔{an}等差数列．
（5）求法：SnAn2+Bn（AB常数Sn{an}前n项）⇔{an}等差数列．
中45两种方法应选择填空题中解答题中判断数列否等差数列般123三种方法方法3常12混合运．面举例说明判断数列等差数列．
11．等差数列等数列综合
知识点知识
1等差数列性质
（1）公差d＞0递增等差数列公差d＜0递减等差数列公差d0常数列
（2）穷等差数列中首末两端等距离两项相等等首末两项
（3）mn∈N+aman+（m﹣n）d
（4）stpq∈N*s+tp+qas+atap+aq中asatapaq数列中项特s+t2p时
as+at2ap
（5）数列{an}{bn}均等差数列数列{man+kbn}等差数列中mk均常数．
（6）anan﹣1an﹣2…a2a1等差数列公差﹣d．
（7）第二项开始起项相邻两项等差中项等距离前两项等差中项2an+1an+an+2
2anan﹣m+an+m（n≥m+1nm∈N+）
（8）amam+kam+2kam+3k…等差数列公差kd（首项定选a1）．
2等数列性质．
（1）通项公式推广：anam•qn﹣m（nm∈N*）．
（2）{an}等数列k+lm+n（klmn∈N*） ak•alam•an
（3）{an}{bn}（项数相）等数列{λan}（λ≠0）{a}{an•bn}等数列．
（4）单调性：⇔{an}递增数列⇔{an}递减数列q1⇔{an}常数列q＜0⇔{an}摆动数列．
12．虚数单位i性质
虚数单位i概念
i数学中虚数单位i2﹣1i﹣1方根．a+bi数做复数a0b≠0数做纯虚数a≠0b0做实数．复数模．
复数运算
①复数加法Ma+biNc+diM+N（a+c）+（b+d）i实部实部相加虚部虚部相加．
②复数法Ma+biNc+diM•N（ac﹣bd）+（ad+bc）i项式法类似加i．
例题解析
例：定义运算符合条件复数z．
解：根定义知1×zi﹣（﹣1）×z4+2iz（1+i）4+2i∴z3﹣i．
题反应复数般考法考查复数运算力中常常复数复数相．题第步先复数做整体进行运算第二部相思路分母变成实数方法轭复数（虚数前面符号变相反）．处理种方法外时候需设出复数形式a+bi然求出ab种类型题般定系数法．
考点分析
复数考查较基础需掌握会运算特复数分母变成实数二学会定系数法三会求模．
13．离散型机变量分布列
考点纳
1相关概念
（1）机变量：果机试验结果变量表示样变量做机变量机变量常希腊字母ξη等表示．
（2）离散型机变量：机变量取值定次序列出样机变量做离散型机变量．ξ机变量ηaξ+b中ab常数η机变量．
（3）连续型机变量：机变量取值取某区间切值样变量做连续型机变量
（4）离散型机变量连续型机变量区联系：离散型机变量连续型机变量变量表示机试验结果离散型机变量结果定次序列出连续性机变量结果列出．
2离散型机变量
（1）机变量：机试验中试验出现结果变量X表示X着试验结果变化样变量X做机变量．机变量常写字母XY…表示希腊字母ξη…表示．
（2）离散型机变量：果机变量X取值列举出称X离散型机变量．
3离散型机变量分布列．
（1）定义：般设离散型机变量X值x1x2…xnX取应值概率分p1p2…pn表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
该表机变量X概率分布称离散型机变量X分布列．
（2）性质：①pi≥0i123…n②p1+p2+…+pn1．
14．离散型机变量期方差
知识点知识
1离散型机变量期
数学期：般离散型机变量ξ概率分布
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
称Eξx1p1+x2p2+…+xnpn+…ξ数学期简称期．
数学期意义：数学期离散型机变量特征数反映离散型机变量取值均水．
均数均值：般限取值离散型机变量ξ概率分布中令p1p2…pnp1p2…pnEξ（x1+x2+…+xn）×ξ数学期称均数均值．
期性质：ηaξ+bE（aξ+b）aEξ+b．
2离散型机变量方差
方差：离散型机变量ξ果取值x1x2…xn…取值概率分p1p2…pn…
称机变量ξ均方差简称方差式中Eξ机变量ξ期．
标准差：Dξ算术方根做机变量ξ标准差记作．
方差性质：．
方差意义：
（1）机变量 方差定义组数方差定义式相
（2）机变量 方差标准差机变量 特征数反映机变量取值稳定波动集中离散程度
（3）标准差机变量身相单位实际问题中应更广泛．
15．程序框图
知识点知识
1．程序框图
（1）程序框图概念：程序框图称流程图种规定图形指线文字说明准确直观表示算法图形
（2）构成程序框图形符号作
程序框
名称
功
起止框
表示算法起始结束算法程序框图缺少．
输入输出框
表示算法输入输出信息算法中需输入输出位置．
处理框
赋值计算．算法中处理数需算式公式等分写处理数处理框．
判断框
判断某条件否成立成立时出口处标明Y成立时出口处标明标明否N．
流程线
算法进行前进方先序
连结点
连接页部分框图
注释框
帮助编者阅读者理解框图
（3）程序框图构成．
程序框图包括部分：实现算法功相应程序框带箭头流程线程序框必说明文字．
16．反证法
知识点认识
反证法：假设结反面成立已知条件否定结新条件通逻辑推理出公理定理题设时假设相矛盾结相矛盾断定结反面成立证明命题结定正确种证明方法反证法．
解题思路点拨
反证法证题时首先搞清反证法证题方法次注意反证法条件较少易入手时常方法尤否定词含少等词问题中常．反证法进行证明关键正确推理出矛盾矛盾已知矛盾假设矛盾定义公理定理事实矛盾等．
1．证明思路：肯定条件否定结→推出矛盾→推翻假设肯定结
2．反证法般步骤：
（1）分清命题条件结
（2）作出命题结相矛盾假设
（3）假设出发应正确推理方法推出矛盾结果
（4）断定产生矛盾原开始作假设真原结成立间接证明命题真．
17．两角差余弦函数
知识点认识
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）cosαcosβ+sinαsinβ
（2）C（α+β）：cos（α+β）cosαcosβ﹣sinαsinβ
（3）S（α+β）：sin（α+β）sinαcosβ+cosαsinβ
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）sinαcosβ﹣cosαsinβ
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
18．正弦定理
知识点知识
1．正弦定理余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
容
2R
（ R△ABC外接圆半径）
a2b2+c2﹣2bccos A
b2a2+c2﹣2accos B
c2a2+b2﹣2abcos C
变形
形式
①a2Rsin Ab2Rsin Bc2Rsin C
②sin Asin Bsin C
③a：b：csinA：sinB：sinC
④asin Bbsin Absin Ccsin Basin Ccsin A
cos A
cos B
cos C
解决
三角
形
问题
①已知两角边求角两条边
②已知两边中边角求边两角
①已知三边求角
②已知两边夹角求第三边两角
△ABC中已知ab角A时解情况
A锐角
A钝角直角
图形
关系式
absin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解数
解
两解
解
解
表知A锐角时a＜bsin A解．A钝角直角时a≤b解．
2三角形常面积公式
1．Sa•ha（ha表示边a高）
2．Sabsin Cacsin Bbcsin A．
3．Sr（a+b+c）（r切圆半径）．
19．抛物线简单性质
知识点知识
抛物线简单性质：
20．双曲线简单性质
知识点知识
双曲线标准方程性质
标准方程
（a＞0b＞0）
（a＞0b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c0）F2（ c0）
F1（0﹣c）F2（0c）
焦距
|F1F2|2c
a2+b2c2
范围
|x|≥ay∈R
|y|≥ax∈R
称
关x轴y轴原点称
顶点
（﹣a0）．（a0）
（0﹣a）（0a）
轴
实轴长2a虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x±
y±
渐线
±0
±0
21．直线抛物线位置关系
22．三视图求面积体积
知识点认识
1．三视图：观测者位置观察体画出空间体图形包括：
（1）视图：物体前方投影投影图反映物体高度长度
（2）左视图：物体左右方投影投影图反映物体高度宽度
（3）俯视图：物体方投影投影图反映物体长度宽度．
2．三视图画图规：
（1）高齐：视图左视图高保持齐
（2）长正：视图俯视图长相应
（3）宽相等：俯视图左视图宽度相等．
3．常见空间体表面积体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
解题思路点拨
1．解题步骤：
（1）三视图定应体形状（柱锥球）
（2）选应公式
（3）定公式中基量（般俯视图定底面积左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积体积常思想方法：
（1）截面法：尤关旋转体旋转体关组合体问题常轴截面进行分析求解
（2）割补法：求规图形面积体体积时常割补法
（3）等体积转化：充分利三棱锥意面作底面特点灵活求解三棱锥体积
（4）台锥思想：处理台体时常思想方法．
命题方三视图新课标新增容新课程高考重点考查容．解答类问题必须熟练掌握三视图概念弄清视图间数量关系：正视图俯视图间长相等左视图俯视图间宽相等正视图左视图间高相等（正俯长正正左高齐左俯宽相等）善三视图原成空间体熟记类体表面积体积公式正确选准确计算．
例：某体三视图图示该体体积（ ）
A8﹣2π B8﹣π C8﹣ D8﹣
分析：体正方体切两圆柱根三视图判断正方体棱长切圆柱底面半径高数代入正方体圆柱体积公式计算．
解答：三视图知：体正方体切两圆柱
正方体棱长2切圆柱底面半径1高2
∴体体积V23﹣2××π×12×28﹣π．
选：B．
点评：题考查三视图求体体积根三视图判断体形状数应量解题关键．
23．直线面成角
知识点知识
1直线面成角应分三种情况：
（1）直线面斜交时直线面成角指直线面射影成锐角
（2）直线面垂直时直线面成角90°
（3）直线面行面时直线面成角0°．
显然斜线面成角范围（0）直线面成角范围[0]．
2条直线面斜交成角度量问题（空间问题）通斜线面射影转化两条相交直线度量问题（面问题）解决．具体解题步骤求异面直线成角类似环节：
（1）作﹣﹣作出斜线射影成角
（2）证﹣﹣证作（找）角求角
（3）算﹣﹣常解三角形方法（通常解垂线段斜线段斜线段射影组成直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
求直线面成角时垂线段中重元素起联系线段纽带作．直线面成角定义中体现等价转化分类整合数学思想．
3斜线面成角性：
斜线面成角两条相交直线成锐角定义中条直线斜线身条直线斜线面射影．面斜足直线数条斜线组成相交两条直线什选中射影斜线两条相交直线成锐角定义斜线面成角呢？原斜线面斜足直线成切角中角．已知斜线说角唯确定反映斜线关面倾斜程度．根线面成角定义结：斜线面成角条斜线面直线成切角中角．
24．二面角面角求法
知识点知识
1二面角定义：
条直线出发两半面组成图形做二面角．条直线做二面角棱两半面做二面角面．棱AB面分αβ二面角记作二面角α﹣AB﹣β．时方便αβ（棱外半面部分）分取点PQ二面角记作P﹣AB﹣Q．果棱记作l二面角记作二面角α﹣l﹣βP﹣l﹣Q．
2二面角面角
二面角α﹣l﹣β棱l取点O点O垂足半面αβ分作垂直棱l射线OAOB射线OAOB构成∠AOB做二面角面角．二面角面角度量二面角面角少度说二面角少度．面角直角二面角做直二面角．二面角面角∠AOB点O位置关说根需选择棱l点O．
3二面角面角求法：
（1）定义
（2）三垂线定理逆定理
①定理容：面条直线果面条斜线射影垂直条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：二面角面斜线（射影）二面角棱垂直推位二面角面射影（斜线）二面角棱垂直确定二面角面角．
（3）找（作）公垂面法：二面角面角定义知两面公垂面棱垂直公垂面两面交线成角二面角面角．
（4）移延长（展）线（面）法
（5）射影公式
（6）化分垂直二面角两面两条直线成角
（7）量法：两面成角分垂直面两量成角（补角）相等．
25．简单曲线极坐标方程
知识点认识
曲线极坐标方程
定义：果曲线C点方程f（ρθ）0关系
（1）曲线C点坐标（坐标中少）符合方程f（ρθ）0
（2）方程f（ρθ）0解坐标点曲线C．
曲线C方程f（ρθ）0．
二求曲线极坐标方程步骤：
直角坐标系里情况样
①建系 （适极坐标系）
②设点 （设M（ ρθ）求方程曲线意点）
③列等式（构造△利三角形边角关系定理列关M等式）
④等式坐标化
⑤化简 （方程f（ρθ）0曲线方程）
三圆极坐标方程
（1）圆心极点半径rρr．
（2）中心C（ρ0θ0）半径r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）r2．
四直线极坐标方程
（1）极点θθ0（ρ∈R）
（2）某定点垂直极轴ρcosθa
（3）某定点行极轴rsinθa
（4）某定点（ρ1θ1）极轴成角度αρsin（α﹣θ）ρ1sin（α﹣θ1）
五直线极坐标方程步骤
1题意画出草图2设点M（ρθ）直线意点
3连接MO4根条件建立关ρθ方程化简
5检验确认方程求．
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选择题（题5分）
1．（5分）集合A{x|﹣2＜x＜1}B{x|x＜﹣1x＞3}A∩B（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
2．（5分）复数（1﹣i）（a+i）复面应点第二象限实数a取值范围（ ）
A．（﹣∞1） B．（﹣∞﹣1） C．（1+∞） D．（﹣1+∞）
3．（5分）执行图示程序框图输出S值（ ）
A．2 B． C． D．
4．（5分）xy满足x+2y值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．（5分）已知函数f（x）3x﹣（）xf（x）（ ）
A．奇函数R增函数 B．偶函数R增函数
C．奇函数R减函数 D．偶函数R减函数
6．（5分）设非零量存负数λλ•＜0（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
7．（5分）某四棱锥三视图图示该四棱锥长棱长度（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
8．（5分）根关资料围棋状态空间复杂度限M约3361观测宇宙中普通物质原子总数N约1080列数中接（ ）
（参考数：lg3≈048）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
二填空题（题5分）
9．（5分）双曲线x2﹣1离心率实数m ．
10．（5分）等差数列{an}等数列{bn}满足a1b1﹣1a4b48 ．
11．（5分）极坐标系中点A圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+40点P坐标（10）|AP|值 ．
12．（5分）面直角坐标系xOy中角α角β均Ox始边终边关y轴称sinαcos（α﹣β） ．
13．（5分）够说明设abc意实数．a＞b＞ca+b＞c假命题组整数abc值次 ．
14．（5分）三名工加工种零件天中工作情况图示中Ai横坐标分第i名工午工作时间加工零件数点Bi横坐标分第i名工午工作时间加工零件数i123．
（1）记Qi第i名工天中加工零件总数Q1Q2Q3中 ．
（2）记pi第i名工天中均时加工零件数p1p2p3中 ．
三解答题
15．（13分）△ABC中∠A60°ca．
（1）求sinC值
（2）a7求△ABC面积．
16．（14分）图四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD正方形面PAD⊥面ABCD点M线段PBPD∥面MACPAPDAB4．
（1）求证：MPB中点
（2）求二面角B﹣PD﹣A
（3）求直线MC面BDP成角正弦值．
17．（13分）研究种新药疗效选100名患者机分成两组组50名组服药组服药．段时间记录两组患者生理指标xy数制成图中*表示服药者+表示未服药者．
（1）服药50名患者中机选出求指标y值60概率
（2）图中ABCD四中机选出两记ξ选出两中指标x值17数求ξ分布列数学期E（ξ）
（3）试判断100名患者中服药者指标y数方差未服药者指标y数方差．（需写出结）
18．（14分）已知抛物线C：y22px点P（11）．点（0）作直线l抛物线C交两点MN点M作x轴垂线分直线OPON交点AB中O原点．
（1）求抛物线C方程求焦点坐标准线方程
（2）求证：A线段BM中点．
19．（13分）已知函数f（x）excosx﹣x．
（1）求曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程
（2）求函数f（x）区间[0]值值．
20．（13分）设{an}{bn}两等差数列记cnmax{b1﹣a1nb2﹣a2n…bn﹣ann}（n123…）中max{x1x2…xs}表示x1x2…xss数中数．
（1）annbn2n﹣1求c1c2c3值证明{cn}等差数列
（2）证明：者意正数M存正整数mn≥m时＞M者存正整数mcmcm+1cm+2…等差数列．
2017年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案试题解析
选择题（题5分）
1．（5分）（2017•北京）集合A{x|﹣2＜x＜1}B{x|x＜﹣1x＞3}A∩B（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11 ：计算题37 ：集合思想5J ：集合．
分析根已知中集合AB结合集合交集定义答案．
解答解：∵集合A{x|﹣2＜x＜1}B{x|x＜﹣1x＞3}
∴A∩B{x|﹣2＜x＜﹣1}
选：A
点评题考查知识点集合交集运算难度属基础题．
2．（5分）（2017•北京）复数（1﹣i）（a+i）复面应点第二象限实数a取值范围（ ）
A．（﹣∞1） B．（﹣∞﹣1） C．（1+∞） D．（﹣1+∞）
考点A1：虚数单位i性质．菁优网版权
专题35 ：转化思想59 ：等式解法应5N ：数系扩充复数．
分析复数（1﹣i）（a+i）a+1+（1﹣a）i复面应点第二象限解a范围．
解答解：复数（1﹣i）（a+i）a+1+（1﹣a）i复面应点第二象限
∴解a＜﹣1．
实数a取值范围（﹣∞﹣1）．
选：B．
点评题考查复数运算法意义等式解法考查推理力计算力属基础题．
3．（5分）（2017•北京）执行图示程序框图输出S值（ ）
A．2 B． C． D．
考点EF：程序框图．菁优网版权
专题5K ：算法程序框图．
分析已知中程序框图知：该程序功利循环结构计算输出变量S值模拟程序运行程分析循环中变量值变化情况答案．
解答解：k0时满足进行循环条件执行完循环体k1S2
k1时满足进行循环条件执行完循环体k2S
k2时满足进行循环条件执行完循环体k3S
k3时满足进行循环条件
输出结果：
选：C．
点评题考查知识点程序框图循环次数规律时常采模拟循环方法解答．
4．（5分）（2017•北京）xy满足x+2y值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题11 ：计算题31 ：数形结合35 ：转化思想5T ：等式．
分析画出约束条件行域利目标函数优解求解目标函数值．
解答解：xy满足行域图：
行域知目标函数zx+2y行域A时取值A（33）
目标函数值：3+2×39．
选：D．
点评题考查线性规划简单应画出行域判断目标函数优解解题关键．
5．（5分）（2017•北京）已知函数f（x）3x﹣（）xf（x）（ ）
A．奇函数R增函数 B．偶函数R增函数
C．奇函数R减函数 D．偶函数R减函数
考点3N：奇偶性单调性综合．菁优网版权
专题2A ：探究型4O：定义法51 ：函数性质应．
分析已知f（﹣x）﹣f（x）函数f（x）奇函数函数y3x增函数y（）x减函数结合增﹣减增答案．
解答解：f（x）3x﹣（）x3x﹣3﹣x
∴f（﹣x）3﹣x﹣3x﹣f（x）
函数f（x）奇函数
函数y3x增函数y（）x减函数
函数f（x）3x﹣（）x增函数
选：A．
点评题考查知识点函数奇偶性函数单调性函数图象性质综合应难度属基础题．
6．（5分）（2017•北京）设非零量存负数λλ•＜0（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
考点2L：必条件充分条件充条件判断．菁优网版权
专题35 ：转化思想5A ：面量应5L ：简易逻辑．
分析非零量存负数λλ量线方相反•＜0．反成立非零量夹角钝角满足•＜0λ成立．判断出结．
解答解：非零量存负数λλ量线方相反•＜0．
反成立非零量夹角钝角满足•＜0λ成立．
∴非零量存负数λλ•＜0充分必条件．
选：A．
点评题考查量线定理量夹角公式简易逻辑判定方法考查推理力计算力属基础题．
7．（5分）（2017•北京）某四棱锥三视图图示该四棱锥长棱长度（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
考点L：三视图求面积体积．菁优网版权
专题11 ：计算题31 ：数形结合44 ：数形结合法5Q ：立体．
分析根三视图物体直观图结合图形长棱PA根勾股定理求出．
解答解：三视图直观图
四棱锥P﹣ABCD中
长棱PA
PA
2
选：B．
点评题考查三视图问题关键画出物体直观图属基础题．
8．（5分）（2017•北京）根关资料围棋状态空间复杂度限M约3361观测宇宙中普通物质原子总数N约1080列数中接（ ）
（参考数：lg3≈048）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
考点4G：指数式数式互化．菁优网版权
专题11 ：计算题．
分析根数性质：T：310lg3≈10048代入MM化10底指数形式进结果．
解答解：题意：M≈3361N≈1080
根数性质：310lg3≈10048
∴M≈3361≈（10048）361≈10173
∴≈1093
题选：D．
点评题解题关键定正数T写成指数形式：T考查指数形式数形式互化属简单题．
二填空题（题5分）
9．（5分）（2017•北京）双曲线x2﹣1离心率实数m 2 ．
考点KC：双曲线简单性质．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想5D ：圆锥曲线定义性质方程．
分析利双曲线离心率列出方程求求解m ．
解答解：双曲线x2﹣1（m＞0）离心率
：
解m2．
答案：2．
点评题考查双曲线简单性质考查计算力．
10．（5分）（2017•北京）等差数列{an}等数列{bn}满足a1b1﹣1a4b48 1 ．
考点8M：等差数列等数列综合．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想54 ：等差数列等数列．
分析利等差数列求出公差等数列求出公然求解第二项结果．
解答解：等差数列{an}等数列{bn}满足a1b1﹣1a4b48
设等差数列公差d等数列公q．
：8﹣1+3dd3a22
8﹣q3解q﹣2∴b22．
1．
答案：1．
点评题考查等差数列等数列通项公式应考查计算力．
11．（5分）（2017•北京）极坐标系中点A圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+40点P坐标（10）|AP|值 1 ．
考点Q4：简单曲线极坐标方程．菁优网版权
专题31 ：数形结合44 ：数形结合法．
分析先圆极坐标方程化标准方程运数形结合方法求出圆点点P距离值．
解答解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+40圆C圆C极坐标方程化：x2+y2﹣2x﹣4y+40
化标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）21
图ACP⊙C交点Q处时|AP|：
|AP|min|CP|﹣rC2﹣11
答案：1．
点评题考查曲线极坐标方程圆外点圆点距离值难度．
12．（5分）（2017•北京）面直角坐标系xOy中角α角β均Ox始边终边关y轴称sinαcos（α﹣β） ﹣ ．
考点GP：两角差余弦函数．菁优网版权
专题11 ：计算题33 ：函数思想4R：转化法56 ：三角函数求值．
分析方法：根教称sinαsinβcosα﹣cosβ两角差余弦公式求出
方法二：分α第象限第二象限根角三角函数关系两角差余弦公式求出
解答解：方法：∵角α角β均Ox始边终边关y轴称
∴sinαsinβcosα﹣cosβ
∴cos（α﹣β）cosαcosβ+sinαsinβ﹣cos2α+sin2α2sin2α﹣1﹣1﹣
方法二：∵sinα
α第象限时cosα
∵αβ角终边关y轴称
∴β第二象限时sinβsinαcosβ﹣cosα﹣
∴cos（α﹣β）cosαcosβ+sinαsinβ﹣×+×﹣
：∵sinα
α第二象限时cosα﹣
∵αβ角终边关y轴称
∴β第象限时sinβsinαcosβ﹣cosα
∴cos（α﹣β）cosαcosβ+sinαsinβ﹣×+×﹣
综述cos（α﹣β）﹣
答案：﹣
点评题考查两角差余弦公式角三角函数关系需分类讨属基础题
13．（5分）（2017•北京）够说明设abc意实数．a＞b＞ca+b＞c假命题组整数abc值次 ﹣1﹣2﹣3 ．
考点FC：反证法．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想4O：定义法5L ：简易逻辑．
分析设abc意实数．a＞b＞ca+b＞c假命题a＞b＞ca+b≤c真命题举例题答案唯
解答解：设abc意实数．a＞b＞ca+b＞c假命题
a＞b＞ca+b≤c真命题
设abc值次﹣1﹣2﹣3（答案唯）
答案：﹣1﹣2﹣3
点评题考查命题真假举例说明属基础题．
14．（5分）（2017•北京）三名工加工种零件天中工作情况图示中Ai横坐标分第i名工午工作时间加工零件数点Bi横坐标分第i名工午工作时间加工零件数i123．
（1）记Qi第i名工天中加工零件总数Q1Q2Q3中 Q1 ．
（2）记pi第i名工天中均时加工零件数p1p2p3中 p2 ．
考点35：函数图象图象变化．菁优网版权
专题11 ：计算题27 ：图表型35 ：转化思想51 ：函数性质应．
分析（1）Qi第i名工天中加工零件总数QiAi综坐标+Bi坐标进答案．
（2）pi第i名工天中均时加工零件数piAiBi中点原点连线斜率进答案．
解答解：（1）Qi第i名工天中加工零件总数
Q1A1坐标+B1坐标
Q2A2坐标+B2坐标
Q3A3坐标+B3坐标
已知中图象：Q1Q2Q3中Q1
（2）pi第i名工天中均时加工零件数
piAiBi中点原点连线斜率
p1p2p3中p2
答案：Q1p2
点评题考查知识点函数图象分析出Qipi意义解答关键．
三解答题
15．（13分）（2017•北京）△ABC中∠A60°ca．
（1）求sinC值
（2）a7求△ABC面积．
考点HP：正弦定理．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想4O：定义法58 ：解三角形．
分析（1）根正弦定理求出答案
（2）根角三角函数关系求出cosC根两角正弦公式求出sinB根面积公式计算．
解答解：（1）∠A60°ca
正弦定理sinCsinA×
（2）a7c3
∴C＜A
（1）cosC
∴sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC×+×
∴S△ABCacsinB×7×3×6．
点评题考查正弦定理两角正弦公式三角形面积公式属基础题
16．（14分）（2017•北京）图四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD正方形面PAD⊥面ABCD点M线段PBPD∥面MACPAPDAB4．
（1）求证：MPB中点
（2）求二面角B﹣PD﹣A
（3）求直线MC面BDP成角正弦值．
考点MT：二面角面角求法MI：直线面成角．菁优网版权
专题15 ：综合题31 ：数形结合41 ：量法5G ：空间角．
分析（1）设AC∩BDOOBD中点连接OM利线面行性质证明OM∥PD行线截线段成例MPB中点
（2）取AD中点GPG⊥AD面面垂直性质PG⊥面ABCDPG⊥AD连接OGPG⊥OG证明OG⊥AD．G坐标原点分GDGOGP直线xyz轴距离空间直角坐标系求出面PBD面PAD法量两法量成角二面角B﹣PD﹣A
（3）求出坐标面PBD法量成角余弦值绝值直线MC面BDP成角正弦值．
解答（1）证明：图设AC∩BDO
∵ABCD正方形∴OBD中点连接OM
∵PD∥面MACPD⊂面PBD面PBD∩面AMCOM
∴PD∥OMMPB中点
（2）解：取AD中点G
∵PAPD∴PG⊥AD
∵面PAD⊥面ABCD面PAD∩面ABCDAD
∴PG⊥面ABCDPG⊥AD连接OGPG⊥OG
GAD中点OAC中点OG∥DCOG⊥AD．
G坐标原点分GDGOGP直线xyz轴距离空间直角坐标系
PAPDAB4D（200）A（﹣200）P（00）C（240）B（﹣240）M（﹣12）
．
设面PBD法量
取z．
取面PAD法量．
∴cos＜＞．
∴二面角B﹣PD﹣A60°
（3）解：面PAD法量．
∴直线MC面BDP成角正弦值|cos＜＞|||||．
点评题考查线面角面面角求法训练利空间量求空间角属中档题．
17．（13分）（2017•北京）研究种新药疗效选100名患者机分成两组组50名组服药组服药．段时间记录两组患者生理指标xy数制成图中*表示服药者+表示未服药者．
（1）服药50名患者中机选出求指标y值60概率
（2）图中ABCD四中机选出两记ξ选出两中指标x值17数求ξ分布列数学期E（ξ）
（3）试判断100名患者中服药者指标y数方差未服药者指标y数方差．（需写出结）
考点CH：离散型机变量期方差CG：离散型机变量分布列．菁优网版权
专题11 ：计算题34 ：方程思想49 ：综合法5I ：概率统计．
分析（1）图求出50名服药患者中15名患者指标y值60求出服药50名患者中机选出指标60概率．
（2）图知：AC两指标x值17BD两17知四中机选项出2中指标x值17数ξ取值012分求出相应概率求出ξ分布列E（ξ）．
（3）图知100名患者中服药者指标y数方差未服药者指标y数方差．
解答解：（1）图知：50名服药患者中15名患者指标y值60
服药50名患者中机选出指标60概率：
p．
（2）图知：AC两指标x值17BD两17
知四中机选项出2中指标x值17数ξ取值012
P（ξ0）
P（ξ1）
P（ξ2）
∴ξ分布列：
ξ
0
1
2
P
E（ξ）1．
（3）图知100名患者中服药者指标y数方差未服药者指标y数方差．
点评题考查概率求法考查离散型机变量分布列数学期方差等基础知识考查推理证力运算求解力空间想象力考查数形结合思想化转化思想中档题．
18．（14分）（2017•北京）已知抛物线C：y22px点P（11）．点（0）作直线l抛物线C交两点MN点M作x轴垂线分直线OPON交点AB中O原点．
（1）求抛物线C方程求焦点坐标准线方程
（2）求证：A线段BM中点．
考点K8：抛物线简单性质KN：直线抛物线位置关系．菁优网版权
专题11 ：计算题34 ：方程思想44 ：数形结合法5D ：圆锥曲线定义性质方程．
分析（1）根抛物线点P（11）．代值求出p求出抛物线C方程焦点坐标准线方程
（2）设点（0）直线方程ykx+M（x1y1）N（x2y2）根韦达定理x1+x2x1x2根中点定义证明．
解答解：（1）∵y22px点P（11）
∴12p
解p
∴y2x
∴焦点坐标（0）准线x﹣
（2）证明：设点（0）直线方程
ykx+M（x1y1）N（x2y2）
∴直线OPyx直线ON：yx
题意知A（x1x1）B（x1）
k2x2+（k﹣1）x+0
∴x1+x2x1x2
∴y1+kx1++2kx1+2kx1+2kx1+（1﹣k）•2x12x1
∴A线段BM中点．
点评题考查抛物线简单性质直线抛物线关系灵活利韦达定理中点定义属中档题．
19．（13分）（2017•北京）已知函数f（x）excosx﹣x．
（1）求曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程
（2）求函数f（x）区间[0]值值．
考点6E：利导数求闭区间函数值6H：利导数研究曲线某点切线方程．菁优网版权
专题34 ：方程思想48 ：分析法53 ：导数综合应．
分析（1）求出f（x）导数切线斜率切点点斜式方程求方程
（2）求出f（x）导数令g（x）f′（x）求出g（x）导数g（x）区间[0]单调性f（x）单调性进f（x）值．
解答解：（1）函数f（x）excosx﹣x导数f′（x）ex（cosx﹣sinx）﹣1
曲线yf（x）点（0f（0））处切线斜率ke0（cos0﹣sin0）﹣10
切点（0e0cos0﹣0）（01）
曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程y1
（2）函数f（x）excosx﹣x导数f′（x）ex（cosx﹣sinx）﹣1
令g（x）ex（cosx﹣sinx）﹣1
g（x）导数g′（x）ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）﹣2ex•sinx
x∈[0]g′（x）﹣2ex•sinx≤0
g（x）[0]递减g（x）≤g（0）0
f（x）[0]递减
函数f（x）区间[0]值f（0）e0cos0﹣01
值f（）ecos﹣﹣．
点评题考查导数运：求切线方程单调区间值考查化简整理运算力正确求导运二次求导解题关键属中档题．
20．（13分）（2017•北京）设{an}{bn}两等差数列记cnmax{b1﹣a1nb2﹣a2n…bn﹣ann}（n123…）中max{x1x2…xs}表示x1x2…xss数中数．
（1）annbn2n﹣1求c1c2c3值证明{cn}等差数列
（2）证明：者意正数M存正整数mn≥m时＞M者存正整数mcmcm+1cm+2…等差数列．
考点8B：数列应8C：等差关系确定．菁优网版权
专题32 ：分类讨4R：转化法54 ：等差数列等数列．
分析（1）分求a11a22a33b11b23b35代入求c1c2c3（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0b1﹣na1≥bk﹣nakcnb1﹣na11﹣ncn+1﹣cn﹣1∀n∈N*均成立
（2）bi﹣ain[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n）分类讨d10d1＞0d1＜0三种情况进行讨根等差数列性质求cmcm+1cm+2…等差数列设An+B+意正整数M存正整数mn≥m＞M分类讨采放缩法求意正数M存正整数mn≥m时＞M．
解答解：（1）a11a22a33b11b23b35
n1时c1max{b1﹣a1}max{0}0
n2时c2max{b1﹣2a1b2﹣2a2}max{﹣1﹣1}﹣1
n3时c3max{b1﹣3a1b2﹣3a2b3﹣3a3}max{﹣2﹣3﹣4}﹣2
面证明：∀n∈N*n≥2cnb1﹣na1
n∈N*2≤k≤n时
（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）
[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n
（2k﹣2）﹣n（k﹣1）
（k﹣1）（2﹣n）k﹣1＞02﹣n≤0
（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0b1﹣na1≥bk﹣nak
∀n∈N*n≥2cnb1﹣na11﹣n
cn+1﹣cn﹣1
∴c2﹣c1﹣1
∴cn+1﹣cn﹣1∀n∈N*均成立
∴数列{cn}等差数列
（2）证明：设数列{an}{bn}公差分d1d2面考虑cn取值
b1﹣a1nb2﹣a2n…bn﹣ann
考虑中意bi﹣ain（i∈N*1≤i≤n）
bi﹣ain[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n
（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n）
面分d10d1＞0d1＜0三种情况进行讨
①d10bi﹣ain═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2
d2≤0（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）（i﹣1）d2≤0
定正整数n言cnb1﹣a1n时cn+1﹣cn﹣a1
∴数列{cn}等差数列
d2＞0（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）（i﹣n）d2＞0
定正整数n言cnbn﹣annbn﹣a1n
时cn+1﹣cnd2﹣a1
∴数列{cn}等差数列
时取m1c1c2…等差数列命题成立
②d1＞0时﹣d1n+d2关n次项系数负数次函数
必存m∈N*n≥m时﹣d1n+d2＜0
n≥m时（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0（i∈N*1≤i≤n）
n≥m时cnb1﹣a1n
时cn+1﹣cn﹣a1数列{cn}第m项开始等差数列命题成立
③d1＜0时﹣d1n+d2关n次项系数正数次函数
必存s∈N*n≥s时﹣d1n+d2＞0
n≥s时（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0（i∈N*1≤i≤n）
n≥s时cnbn﹣ann
时﹣an+
﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+
令﹣d1A＞0d1﹣a1+d2Bb1﹣d2C
面证明：An+B+意正整数M存正整数mn≥m＞M
C≥0取m[+1][x]表示x整数
n≥m时≥An+B≥Am+BA[+1]+B＞A•+BM
时命题成立
C＜0取m[]+1
n≥m时
≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+CM
时命题成立
意正数M存正整数mn≥m时＞M
综合三种情况命题证．
点评题考查数列综合应等差数列性质考查等式综合应考查放缩法应考查学生分析问题解决问题力考查分类讨转化思想考查计算力属难题．
考点卡片
1．交集运算
知识点认识
属集合A属集合B元素组成集合做AB交集记作A∩B．
符号语言：A∩B{x|x∈Ax∈B}．
A∩B实际理解：xAB中相元素．
两集合没公元素时两集合交集空集说两集合没交集．
运算形状：
①A∩BB∩A．②A∩∅∅．③A∩AA．④A∩B⊆AA∩B⊆B．⑤A∩BA⇔A⊆B．⑥A∩B∅两集合没相元素．⑦A∩（∁UA）∅．⑧∁U（A∩B）（∁UA）∪（∁UB）．
解题方法点拨解答交集问题需注意交集中：理解．混求交集方法：①限集找相②限集数轴韦恩图．
命题方掌握交集表示法会求两集合交集．
命题通常选择题填空题函数定义域值域函数单调性复合函数单调性等联合命题．
2．必条件充分条件充条件判断
知识点认识
正确理解判断充分条件必条件充条件非充分非必原命题逆命题否命题逆否命题概念节重点掌握逻辑推理力语言互译力充条件概念质握节难点．
1．充分条件：命题pq真时果p成立q定成立记作p⇒q称pq充分条件．意义说条件p充分保证结q成立换句话说结q成立具备条件p够然q成立充分条件．p：x≥6q：x＞2pq成立充分条件r：x＞3q成立充分条件．
必条件：果q成立p成立q⇒p者果p成立q定成立非p非q记作￢p⇒￢q说条件pq必条件意思说条件pq成立必须具备条件．
充条件：果p⇒qq⇒p称条件pq成立充条件称条件qp成立充条件记作p⇔q．
2．集合角度概念：
果条件p结q结果分集合PQ 表示
①p⇒q相P⊆Q．：x∈Q成立x∈P足够﹣﹣行．
②q⇒p相P⊇Q：x∈Q成立必须x∈P﹣﹣缺行．
③p⇔q相PQ：互充两条件刻画事物．
3．命题pq真时表示称pq充分条件qp必条件．里出pq充分条件容易理解．什说qp必条件呢？事实等价逆否命题．意义：q成立p定成立．说qp必少说qp必条件．
4．充条件含义实际初中学等价含义完全相．说果命题p等价命题q说命题p成立充条件命题q成立时命题q成立充条件命题p成立．
解题方法点拨
1．助集合知识加判断P⊆QPQ充分条件QP必条件PQPQ互充条件．
2．等价法：P⇒Q⇔￢Q⇒￢P原命题逆否命题等价原命题逆命题原命题否命题等价．
3．充条件证明般两种方法：分类思想充分性必性两种情况分加证明二逐步找出成立充条件⇔连接．
命题方
充条件研究命题条件结间逻辑关系中学数学重数学概念高中学数学推理学基础．年高考中会考查类问题．
3．函数图象图象变化
知识点认识
函数图象函数表示方法够直观反映出函数定义域函数值域应关系函数单调性变化规律．研究记忆函数性质直观工具利直观性解题起化繁简化难易作．
函数图象变化函数作图函数性质应．包括图象左右移移称变换函数图象伸缩．
解题方法点拨
绘制函数图象般方法利描点法二利基初等函数图象通函数图象变换方法作图．
掌握函数图象变化般规律利函数图象研究函数性质．
利函数解析式函数图象识图力图形组合等．
命题方函数图象图象变换函数图象性质高考考查重点容．
1．作出函数图象．
2．利函数图象求出函数解析式已解析式中关物理量．
3．函数函数图象应关系题目．
4．函数图象变换题目．
4．奇偶性单调性综合
知识点认识
奇偶函数综合实谈真正综合般情况列起说关键掌握奇函数偶函数性质做题时融会贯通灵活运．重复性质 ①奇函数f（x）定义域关原点称定义域意xf（﹣x）﹣f（x）图象特点关（00）称．②偶函数f（x）定义域关原点称定义域意xf（﹣x）f（x）图象特点关y轴称．
解题方法点拨
参奇偶函数性质考点：
①奇函数：果函数定义域包括原点运f（0）0解相关未知量
②奇函数：定义域包括原点运f（x）﹣f（﹣x）解相关参数
③偶函数：定义域般f（x）f（﹣x）求解
④奇函数定义域关原点称部分单调性致偶函数单调性相反
例题：果f（x）奇函数a ．
解：题意知f（x）定义域R
奇函数性质知f（x）﹣f（﹣x）⇒a1
命题方奇偶性单调性综合．
出什样题理解运奇偶函数性质基前提外做题时候总结定重视知识点．
5．指数式数式互化
知识点纳
abN⇔logaNb
alogaNNlogaaNN
指数方程数方程种类型：
（1）af（x）b⇔f（x）logablogaf（x）b⇔f（x）ab（定义法）
（2）af（x）ag（x）⇔f（x）g（x）logaf（x）logag（x）⇔f（x）g（x）＞0（底法）
（3）af（x）bg（x）⇔f（x）logmag（x）logmb（两边取数法）
（4）logaf（x）logbg（x）⇔logaf（x）（换底法）
（5）Alogx+Blogax+C0（A（ax）2+Bax+C0）（设tlogaxtax）（换元法）
6．利导数求闭区间函数值
知识点知识
利导数求函数极值
1极值
般设函数f（x）点x0附定义果x0附点f（x）＜f（x0）说f（x0）函数极值记作y极值f（x0）极值点．
2极值
般设函数f（x）x0附定义果x0附点f（x）＞f（x0）说f（x0）函数f（x）极值记作y极值f（x0）极值点．
3极值极值统称极值
定义中取极值点称极值点极值点变量值极值指函数值．请注意点：
（ⅰ）极值局部概念 定义极值某点函数值附点函数值较．意味着函数整定义域．
（ⅱ）函数极值唯 函数某区间定义域极值极值止．
（ⅲ）极值极值间确定关系 函数极值未必极值图示x1极值点x4极值点f（x4）＞f（x1）．
（ⅳ）函数极值点定出现区间部区间端点成极值点 函数取值值点区间部区间端点
4判f（x0）式极值极值方法：
x0满足f′（x0）0x0两侧f（x）导数异号x0f（x）极值点f（x0）极值果f′（x）x0两侧满足左正右负x0f（x）极值点f（x0）极值果f′（x）x0两侧满足左负右正x0f（x）极值点f（x0）极值．
5求导函数f（x）极值步骤：
（1）确定函数定义区间求导数f′（x）
（2）求方程f′（x）0根
（3）函数导数0点次函数定义区间分成干开区间列成表格．检查f′（x）方程根左右值符号果左正右负f（x）根处取极值果左负右正f（x）根处取极值果左右改变符号f（x）根处极值．
二利导数求函数值值
1函数值值
观察图中定义闭区间[ab]函数f（x）图象．图中f（x1）f（x3）极值f（x2）极值．函数f（x）[ab]值f（b）值f（x1）．
般闭区间[ab]连续函数f（x）[ab]必值值．
说明：（1）开区间（ab）连续函数f（x）定值值．函数f（x）（0+∞）连续没值值
（2）函数值较整定义域函数值出函数极值较极值点附函数值出．
（3）函数f（x）闭区间[ab]连续f（x）闭区间[ab]值值充分条件非必条件．
（4）函数定义区间值值函数极值止没
2导数求函数值步骤：
面函数f（x）图象出连续函数极值定义区间端点函数值进行较出函数值．
设函数f（x）[ab]连续（ab）导求f（x）[ab]值值步骤：
（1）求f（x）（ab）极值
（2）f（x）极值f（a）f（b）较出函数f（x）[ab]值．
解题方法点拨
理解极值概念时注意点：
（1）定义极值点x0区间[ab]部点会端点ab（端点导）．
（2）极值局部性概念领域成立．注意极值必须区间连续点取．函数定义域许极值极值某点极值点极值说极值极值没必然关系极值定极值极值定极值．
（3）f（x）（ab）极值f（x）（ab）绝单调函数区间单调函数没极值．
（4）函数f（x）[ab]极值连续极值点分布规律相邻两极值点间必极值点样相邻两极值点间必极值点般函数f（x）[ab]连续限极值点时函数f（x）[ab]极值点极值点交出现
（5）导函数极值点必须导数0点导数0点定极值点导点极值点极值点．
7．利导数研究曲线某点切线方程
考点描述
利导数求曲线某点切线方程高考中常考点考查学生求导力考察学生导数意义理解考察直线方程求法包含较重基点高考出题时备受青睐．解答类题时候关键找两点第找切线斜率第二告诉点实直线点知道斜率情况点斜式直线方程求出．
实例解析
例：已知函数yxlnx求函数图象点x1处切线方程．
解：ky＇|x1ln1+11
x1时y0切点（10）
∴切线方程y﹣01×（x﹣1）
yx﹣1．
通例题发现第步确定切点第二步求斜率求曲线该点导数第三步利点斜式求出直线方程．种题原基样希家灵活应认真总结．
8．简单线性规划
概念
线性规划解决生活生产中资源利力调配生产安排等问题种重数学模型．简单线性规划指目标函数含两变量线性规划优解数形结合方法求出．高中阶段接触三二元次等式组限制行域然行域面求某函数值者斜率值．
例题解析
例：目标函数zx+y中变量xy满足约束条件．
（1）试确定行域面积
（2）求出该线性规划问题中优解．
解：（1）作出行域图：应区域直角三角形ABC
中B（43）A（23）C（42）
行域面积S．
（2）zx+yy﹣x+z移直线y﹣x+z
图象知直线点A（23）时直线y﹣x+z截距
时zz2+35
直线点B（43）时直线y﹣x+z截距
时zz4+37
该线性规划问题中优解（43）（23）
高中阶段接触关线性规划题型解种题律先画图条直线坐标系中表示出然确定表示行域范围通目标函数移找值．
考点预测
线性规划实际中应广泛具高实价值成高考热点．家备考时候需学会准确画出行域然会移目标曲线．
9．数列应
知识点知识
1数列函数综合
2等差数列等数列综合
3数列实际应
数列银行利率产品利润口增长等实际问题结合．
10．等差关系确定
知识点知识
等差数列判定方法：
（1）定义法：an+1﹣and（常数）（n∈N+）⇔{an}等差数列．
（2）递推法：2an+1an+an+2 （n∈N+）⇔{an}等差数列．
（3）性质法：利性质判断．
（4）通项法：anpn+q（pq常数）⇔{an}等差数列．
（5）求法：SnAn2+Bn（AB常数Sn{an}前n项）⇔{an}等差数列．
中45两种方法应选择填空题中解答题中判断数列否等差数列般123三种方法方法3常12混合运．面举例说明判断数列等差数列．
11．等差数列等数列综合
知识点知识
1等差数列性质
（1）公差d＞0递增等差数列公差d＜0递减等差数列公差d0常数列
（2）穷等差数列中首末两端等距离两项相等等首末两项
（3）mn∈N+aman+（m﹣n）d
（4）stpq∈N*s+tp+qas+atap+aq中asatapaq数列中项特s+t2p时
as+at2ap
（5）数列{an}{bn}均等差数列数列{man+kbn}等差数列中mk均常数．
（6）anan﹣1an﹣2…a2a1等差数列公差﹣d．
（7）第二项开始起项相邻两项等差中项等距离前两项等差中项2an+1an+an+2
2anan﹣m+an+m（n≥m+1nm∈N+）
（8）amam+kam+2kam+3k…等差数列公差kd（首项定选a1）．
2等数列性质．
（1）通项公式推广：anam•qn﹣m（nm∈N*）．
（2）{an}等数列k+lm+n（klmn∈N*） ak•alam•an
（3）{an}{bn}（项数相）等数列{λan}（λ≠0）{a}{an•bn}等数列．
（4）单调性：⇔{an}递增数列⇔{an}递减数列q1⇔{an}常数列q＜0⇔{an}摆动数列．
12．虚数单位i性质
虚数单位i概念
i数学中虚数单位i2﹣1i﹣1方根．a+bi数做复数a0b≠0数做纯虚数a≠0b0做实数．复数模．
复数运算
①复数加法Ma+biNc+diM+N（a+c）+（b+d）i实部实部相加虚部虚部相加．
②复数法Ma+biNc+diM•N（ac﹣bd）+（ad+bc）i项式法类似加i．
例题解析
例：定义运算符合条件复数z．
解：根定义知1×zi﹣（﹣1）×z4+2iz（1+i）4+2i∴z3﹣i．
题反应复数般考法考查复数运算力中常常复数复数相．题第步先复数做整体进行运算第二部相思路分母变成实数方法轭复数（虚数前面符号变相反）．处理种方法外时候需设出复数形式a+bi然求出ab种类型题般定系数法．
考点分析
复数考查较基础需掌握会运算特复数分母变成实数二学会定系数法三会求模．
13．离散型机变量分布列
考点纳
1相关概念
（1）机变量：果机试验结果变量表示样变量做机变量机变量常希腊字母ξη等表示．
（2）离散型机变量：机变量取值定次序列出样机变量做离散型机变量．ξ机变量ηaξ+b中ab常数η机变量．
（3）连续型机变量：机变量取值取某区间切值样变量做连续型机变量
（4）离散型机变量连续型机变量区联系：离散型机变量连续型机变量变量表示机试验结果离散型机变量结果定次序列出连续性机变量结果列出．
2离散型机变量
（1）机变量：机试验中试验出现结果变量X表示X着试验结果变化样变量X做机变量．机变量常写字母XY…表示希腊字母ξη…表示．
（2）离散型机变量：果机变量X取值列举出称X离散型机变量．
3离散型机变量分布列．
（1）定义：般设离散型机变量X值x1x2…xnX取应值概率分p1p2…pn表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
该表机变量X概率分布称离散型机变量X分布列．
（2）性质：①pi≥0i123…n②p1+p2+…+pn1．
14．离散型机变量期方差
知识点知识
1离散型机变量期
数学期：般离散型机变量ξ概率分布
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
称Eξx1p1+x2p2+…+xnpn+…ξ数学期简称期．
数学期意义：数学期离散型机变量特征数反映离散型机变量取值均水．
均数均值：般限取值离散型机变量ξ概率分布中令p1p2…pnp1p2…pnEξ（x1+x2+…+xn）×ξ数学期称均数均值．
期性质：ηaξ+bE（aξ+b）aEξ+b．
2离散型机变量方差
方差：离散型机变量ξ果取值x1x2…xn…取值概率分p1p2…pn…
称机变量ξ均方差简称方差式中Eξ机变量ξ期．
标准差：Dξ算术方根做机变量ξ标准差记作．
方差性质：．
方差意义：
（1）机变量 方差定义组数方差定义式相
（2）机变量 方差标准差机变量 特征数反映机变量取值稳定波动集中离散程度
（3）标准差机变量身相单位实际问题中应更广泛．
15．程序框图
知识点知识
1．程序框图
（1）程序框图概念：程序框图称流程图种规定图形指线文字说明准确直观表示算法图形
（2）构成程序框图形符号作
程序框
名称
功
起止框
表示算法起始结束算法程序框图缺少．
输入输出框
表示算法输入输出信息算法中需输入输出位置．
处理框
赋值计算．算法中处理数需算式公式等分写处理数处理框．
判断框
判断某条件否成立成立时出口处标明Y成立时出口处标明标明否N．
流程线
算法进行前进方先序
连结点
连接页部分框图
注释框
帮助编者阅读者理解框图
（3）程序框图构成．
程序框图包括部分：实现算法功相应程序框带箭头流程线程序框必说明文字．
16．反证法
知识点认识
反证法：假设结反面成立已知条件否定结新条件通逻辑推理出公理定理题设时假设相矛盾结相矛盾断定结反面成立证明命题结定正确种证明方法反证法．
解题思路点拨
反证法证题时首先搞清反证法证题方法次注意反证法条件较少易入手时常方法尤否定词含少等词问题中常．反证法进行证明关键正确推理出矛盾矛盾已知矛盾假设矛盾定义公理定理事实矛盾等．
1．证明思路：肯定条件否定结→推出矛盾→推翻假设肯定结
2．反证法般步骤：
（1）分清命题条件结
（2）作出命题结相矛盾假设
（3）假设出发应正确推理方法推出矛盾结果
（4）断定产生矛盾原开始作假设真原结成立间接证明命题真．
17．两角差余弦函数
知识点认识
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）cosαcosβ+sinαsinβ
（2）C（α+β）：cos（α+β）cosαcosβ﹣sinαsinβ
（3）S（α+β）：sin（α+β）sinαcosβ+cosαsinβ
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）sinαcosβ﹣cosαsinβ
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
18．正弦定理
知识点知识
1．正弦定理余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
容
2R
（ R△ABC外接圆半径）
a2b2+c2﹣2bccos A
b2a2+c2﹣2accos B
c2a2+b2﹣2abcos C
变形
形式
①a2Rsin Ab2Rsin Bc2Rsin C
②sin Asin Bsin C
③a：b：csinA：sinB：sinC
④asin Bbsin Absin Ccsin Basin Ccsin A
cos A
cos B
cos C
解决
三角
形
问题
①已知两角边求角两条边
②已知两边中边角求边两角
①已知三边求角
②已知两边夹角求第三边两角
△ABC中已知ab角A时解情况
A锐角
A钝角直角
图形
关系式
absin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解数
解
两解
解
解
表知A锐角时a＜bsin A解．A钝角直角时a≤b解．
2三角形常面积公式
1．Sa•ha（ha表示边a高）
2．Sabsin Cacsin Bbcsin A．
3．Sr（a+b+c）（r切圆半径）．
19．抛物线简单性质
知识点知识
抛物线简单性质：
20．双曲线简单性质
知识点知识
双曲线标准方程性质
标准方程
（a＞0b＞0）
（a＞0b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c0）F2（ c0）
F1（0﹣c）F2（0c）
焦距
|F1F2|2c
a2+b2c2
范围
|x|≥ay∈R
|y|≥ax∈R
称
关x轴y轴原点称
顶点
（﹣a0）．（a0）
（0﹣a）（0a）
轴
实轴长2a虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x±
y±
渐线
±0
±0
21．直线抛物线位置关系
22．三视图求面积体积
知识点认识
1．三视图：观测者位置观察体画出空间体图形包括：
（1）视图：物体前方投影投影图反映物体高度长度
（2）左视图：物体左右方投影投影图反映物体高度宽度
（3）俯视图：物体方投影投影图反映物体长度宽度．
2．三视图画图规：
（1）高齐：视图左视图高保持齐
（2）长正：视图俯视图长相应
（3）宽相等：俯视图左视图宽度相等．
3．常见空间体表面积体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
解题思路点拨
1．解题步骤：
（1）三视图定应体形状（柱锥球）
（2）选应公式
（3）定公式中基量（般俯视图定底面积左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积体积常思想方法：
（1）截面法：尤关旋转体旋转体关组合体问题常轴截面进行分析求解
（2）割补法：求规图形面积体体积时常割补法
（3）等体积转化：充分利三棱锥意面作底面特点灵活求解三棱锥体积
（4）台锥思想：处理台体时常思想方法．
命题方三视图新课标新增容新课程高考重点考查容．解答类问题必须熟练掌握三视图概念弄清视图间数量关系：正视图俯视图间长相等左视图俯视图间宽相等正视图左视图间高相等（正俯长正正左高齐左俯宽相等）善三视图原成空间体熟记类体表面积体积公式正确选准确计算．
例：某体三视图图示该体体积（ ）
A8﹣2π B8﹣π C8﹣ D8﹣
分析：体正方体切两圆柱根三视图判断正方体棱长切圆柱底面半径高数代入正方体圆柱体积公式计算．
解答：三视图知：体正方体切两圆柱
正方体棱长2切圆柱底面半径1高2
∴体体积V23﹣2××π×12×28﹣π．
选：B．
点评：题考查三视图求体体积根三视图判断体形状数应量解题关键．
23．直线面成角
知识点知识
1直线面成角应分三种情况：
（1）直线面斜交时直线面成角指直线面射影成锐角
（2）直线面垂直时直线面成角90°
（3）直线面行面时直线面成角0°．
显然斜线面成角范围（0）直线面成角范围[0]．
2条直线面斜交成角度量问题（空间问题）通斜线面射影转化两条相交直线度量问题（面问题）解决．具体解题步骤求异面直线成角类似环节：
（1）作﹣﹣作出斜线射影成角
（2）证﹣﹣证作（找）角求角
（3）算﹣﹣常解三角形方法（通常解垂线段斜线段斜线段射影组成直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
求直线面成角时垂线段中重元素起联系线段纽带作．直线面成角定义中体现等价转化分类整合数学思想．
3斜线面成角性：
斜线面成角两条相交直线成锐角定义中条直线斜线身条直线斜线面射影．面斜足直线数条斜线组成相交两条直线什选中射影斜线两条相交直线成锐角定义斜线面成角呢？原斜线面斜足直线成切角中角．已知斜线说角唯确定反映斜线关面倾斜程度．根线面成角定义结：斜线面成角条斜线面直线成切角中角．
24．二面角面角求法
知识点知识
1二面角定义：
条直线出发两半面组成图形做二面角．条直线做二面角棱两半面做二面角面．棱AB面分αβ二面角记作二面角α﹣AB﹣β．时方便αβ（棱外半面部分）分取点PQ二面角记作P﹣AB﹣Q．果棱记作l二面角记作二面角α﹣l﹣βP﹣l﹣Q．
2二面角面角
二面角α﹣l﹣β棱l取点O点O垂足半面αβ分作垂直棱l射线OAOB射线OAOB构成∠AOB做二面角面角．二面角面角度量二面角面角少度说二面角少度．面角直角二面角做直二面角．二面角面角∠AOB点O位置关说根需选择棱l点O．
3二面角面角求法：
（1）定义
（2）三垂线定理逆定理
①定理容：面条直线果面条斜线射影垂直条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：二面角面斜线（射影）二面角棱垂直推位二面角面射影（斜线）二面角棱垂直确定二面角面角．
（3）找（作）公垂面法：二面角面角定义知两面公垂面棱垂直公垂面两面交线成角二面角面角．
（4）移延长（展）线（面）法
（5）射影公式
（6）化分垂直二面角两面两条直线成角
（7）量法：两面成角分垂直面两量成角（补角）相等．
25．简单曲线极坐标方程
知识点认识
曲线极坐标方程
定义：果曲线C点方程f（ρθ）0关系
（1）曲线C点坐标（坐标中少）符合方程f（ρθ）0
（2）方程f（ρθ）0解坐标点曲线C．
曲线C方程f（ρθ）0．
二求曲线极坐标方程步骤：
直角坐标系里情况样
①建系 （适极坐标系）
②设点 （设M（ ρθ）求方程曲线意点）
③列等式（构造△利三角形边角关系定理列关M等式）
④等式坐标化
⑤化简 （方程f（ρθ）0曲线方程）
三圆极坐标方程
（1）圆心极点半径rρr．
（2）中心C（ρ0θ0）半径r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）r2．
四直线极坐标方程
（1）极点θθ0（ρ∈R）
（2）某定点垂直极轴ρcosθa
（3）某定点行极轴rsinθa
（4）某定点（ρ1θ1）极轴成角度αρsin（α﹣θ）ρ1sin（α﹣θ1）
五直线极坐标方程步骤
1题意画出草图2设点M（ρθ）直线意点
3连接MO4根条件建立关ρθ方程化简
5检验确认方程求．
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