绝密★启前
2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．作答时答案写答题卡写试卷草稿纸效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1
A B C D
答案D
解析
分析：根复数法法化简复数结果
详解：选D
点睛：题考查复数法法考查学生基运算力
2已知集合中元素数
A 9 B 8 C 5 D 4
答案A
解析
分析：根枚举法确定圆部整点数
详解：
时
时
时
9选A
点睛：题考查集合元素关系点圆位置关系考查学生概念理解识
3函数图致 ( )
A B
C D
答案B
解析
分析：通研究函数奇偶性单调性确定函数图
详解：奇函数舍A
舍D
舍C选B
点睛：关函数图象识问题常见题型解题思路（1）函数定义域判断图象左右位置函数值域判断图象位置②函数单调性判断图象变化趋势③函数奇偶性判断图象称性④函数周期性判断图象循环复．
4已知量满足
A 4 B 3 C 2 D 0
答案B
解析
分析：根量模性质量法结果
详解：
选B
点睛：量加减：
5双曲线离心率渐线方程
A B C D
答案A
解析
分析：根离心率ac关系进ab关系根双曲线方程求渐线方程结果
详解：
渐线方程渐线方程选A
点睛：已知双曲线方程求渐线方程：
6中BC1AC5AB
A B C D
答案A
解析
分析：先根二倍角余弦公式求cosC根余弦定理求AB
详解：
选A
点睛：解三角形问题边角求值问题需根正余弦定理结合已知条件灵活转化边角间关系达解决问题目
7计算设计面程序框图空白框中应填入
A
B
C
D
答案B
解析
分析：根程序框图知先奇数项累加偶数项累加相减累加量隔项
详解：程序框图先奇数项累加偶数项累加相减空白框中应填入选B
点睛：算法流程图考查侧重流程图循环结构考查先明晰算法流程图相关概念包括选择结构循环结构伪代码次重视循环起点条件循环次数循环终止条件更通循环规律明确流程图研究数学问题求求项
8国数学家陈景润哥德巴赫猜想研究中取世界领先成果．哥德巴赫猜想2偶数表示两素数．超30素数中机选取两数等30概率
A B C D
答案C
解析
分析：先确定超30素数确定两数等30取法根古典概型概率公式求概率
详解：超30素数235711131719232910机选取两数种方法机选取两数等303种方法概率选C
点睛：古典概型中基事件数探求方法： (1)列举法 (2)树状图法：适合较复杂问题中基事件探求基事件序序区题目常采树状图法 (3)列表法：适元素基事件求解问题通列表复杂题目简单化抽象题目具体化 (4)排列组合法：适限制条件较元素数目较题目
9长方体中异面直线成角余弦值
A B C D
答案C
解析
分析：先建立空间直角坐标系设立点坐标利量数量积求量夹角根量夹角线线角相等互补关系求结果
详解：D坐标原点DADCDD1xyz轴建立空间直角坐标系
异面直线成角余弦值选C
点睛：利法量求解空间线面角关键四破：第破建系关构建恰空间直角坐标系第二破求坐标关准确求解相关点坐标第三破求法量关求出面法量第四破应公式关
10减函数值
A B C D
答案A
解析
详解分析：先确定三角函数单调减区间根集合包含关系确定值
详解：
值选A
点睛：函数性质：
(1) (2)周期 (3) 求称轴 (4)求增区间
求减区间
11已知定义域奇函数满足（ ）
A B C D
答案C
解析
分析：先根奇函数性质称性确定函数周期根周期应函数值求结果
详解：定义域奇函数
选C
点睛：函数奇偶性周期性相结合问题考查求值问题常利奇偶性周期性进行变换求函数值变量转化已知解析式函数定义域求解．
12已知椭圆左右焦点左顶点点斜率直线等腰三角形离心率
A B C D
答案D
解析
详解分析：先根条件PF22c利正弦定理ac关系离心率
详解：等腰三角形PF2F1F22c
斜率
正弦定理
选D
点睛：解决椭圆双曲线离心率求值范围问题关键确立关方程等式根关系消掉关系式建立关方程等式充分利椭圆双曲线性质点坐标范围等
二填空题：题4题题5分20分
13曲线点处切线方程__________．
答案
解析
分析
先求导数根导数意义切线斜率根点斜式求切线方程
详解
点睛求曲线切线注意点P切线点P处切线差异点P切线中点P定切点点P定已知曲线点P处切线必点P切点
14满足约束条件 值__________．
答案
解析
分析
作出行域根目标函数意义知时
详解等式组表示行域顶点三角形区域图示目标函数值必顶点处取易知时
点睛线性规划问题高考中常考考点选择填空形式出现基题型出约束条件求目标函数值结合方式：截距型斜率型距离型等
15已知__________．
答案
解析
详解
①
②
①②
解
题正确答案
16已知圆锥顶点母线成角余弦值圆锥底面成角45°面积该圆锥侧面积__________．
答案
解析
详解分析：先根三角形面积公式求出母线长根母线底面成角底面半径根圆锥侧面积公式求结果
详解：母线成角余弦值母线成角正弦值面积设母线长
圆锥底面成角45°底面半径
圆锥侧面积
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17～21题必考题试题考生必须作答第2223选考题考生根求作答学科&网
（）必考题：60分
17记等差数列前项已知．
（1）求通项公式
（2）求求值．
答案（1）an2n–9（2）Snn2–8n值–16．
解析
分析：（1）根等差数列前n项公式求出公差代入等差数列通项公式结果（2）根等差数列前n项公式二次函数关系式根二次函数称轴变量正整数求函数值
详解：（1）设{an}公差d题意3a1+3d–15．
a1–7d2．
{an}通项公式an2n–9．
（2）（1）Snn2–8n（n–4）2–16．
n4时Sn取值值–16．
点睛：数列特殊函数研究数列值问题利函数性质注意定义域正整数集限制条件
18图某区2000年2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）折线图．
预测该区2018年环境基础设施投资额建立时间变量两线性回模型．根2000年2016年数（时间变量值次）建立模型①：根2010年2016年数（时间变量值次）建立模型②：．
（1）分利两模型求该区2018年环境基础设施投资额预测值
（2）认模型预测值更？说明理．
答案（1）利模型①预测值2261利模型②预测值2565（2）利模型②预测值更．
解析
详解分析：（1）两回直线方程中参数分求变量2018时应函数值结果（2）根折线图知2000200920102016两明显区直线20102016增幅明显高20002009高模型1增幅模型2更较2018预测
详解：（1）利模型①该区2018年环境基础设施投资额预测值
–304+135×192261（亿元）．
利模型②该区2018年环境基础设施投资额预测值
99+175×92565（亿元）．
（2）利模型②预测值更．
理：
（i）折线图出2000年2016年数应点没机散布直线y–304+135t说明利2000年2016年数建立线性模型①描述环境基础设施投资额变化趋势．2010年相2009年环境基础设施投资额明显增加2010年2016年数应点位条直线附说明2010年开始环境基础设施投资额变化规律呈线性增长趋势利2010年2016年数建立线性模型99+175t较描述2010年环境基础设施投资额变化趋势利模型②预测值更．
（ii）计算结果相2016年环境基础设施投资额220亿元模型①预测值2261亿元增幅明显偏低利模型②预测值增幅较合理说明利模型②预测值更．
点睛：已知回直线方程直接数值代入求特定求预测值回直线方程定参数根回直线方程恒点求参数
19设抛物线焦点斜率直线交两点．
（1）求方程
（2）求点准线相切圆方程．
答案(1) yx–1(2)．
解析
详解分析：(1)根抛物线定义联立直线方程抛物线方程利韦达定理代入求出斜率直线方程（2）先求AB中垂线方程圆心坐标关系根圆心准线距离等半径等量关系解方程组圆心坐标半径写出圆标准方程
详解：（1）题意F（10）l方程yk（x–1）（k>0）．
设A（x1y1）B（x2y2）．
．
．
．
题设知解k–1（舍）k1．
l方程yx–1．
（2）（1）AB中点坐标（32）AB垂直分线方程
．
设求圆圆心坐标（x0y0）
解
求圆方程
．
点睛：确定圆方程方法
(1)直接法：根圆性质直接求出圆心坐标半径进写出方程．
(2)定系数法
①已知条件圆心半径关设圆标准方程已知条件列出关方程组求出值
②已知条件没明确出圆心半径选择圆般方程已知条件列出关DEF方程组进求出DEF值．
20图三棱锥中中点．
（1）证明：面
（2）点棱二面角求面成角正弦值．
答案（1）见解析（2）
解析
分析
(1)根等腰三角形性质PO垂直AC通计算根勾股定理PO垂直OB根线面垂直判定定理结(2)根条件建立空间直角坐标系设立点坐标根方程组解出面PAM法量利量数量积求出两法量夹角根二面角法量夹角相等互补关系列方程解M坐标利量数量积求量PC面PAM法量夹角根线面角量夹角互余结果
详解（1）中点
连结等腰直角三角形
知
知面
（2）图坐标原点方轴正方建立空间直角坐标系
已知取面法量
设
设面法量
取
已知
解（舍）
面成角正弦值
点睛利法量求解空间线面角关键四破：第破建系关构建恰空间直角坐标系第二破求坐标关准确求解相关点坐标第三破求法量关求出面法量第四破应公式关
21已知函数．
（1）证明：时
（2）零点求值
答案（1）见解析（2）
解析
详解分析：(1)先构造函数求导函数根导函数零函数单调递减根单调性证等式(2)研究零点等价研究零点先求导数：里产生两讨点a零x2时没零点时先减增确定零点必条件利零点存定理确定条件充分性a值
详解：（1）时等价．
设函数．
时单调递减．
时．
（2）设函数．
零点仅零点．
（i）时没零点
（ii）时．
时时．
单调递减单调递增．
值．
①没零点
②零点
③零点
（1）知时．
零点两零点．
综零点时．
点睛：利函数零点情况求参数值取值范围方法
(1)利零点存判定定理构建等式求解
(2)分离参数转化函数值域(值)问题求解
(3)转化两熟悉函数图象关系问题构建等式求解
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22直角坐标系中曲线参数方程（参数）直线参数方程（参数）
（1）求直角坐标方程
（2）曲线截直线线段中点坐标求斜率．
答案（1）时直角坐标方程时直角坐标方程（2）
解析
分析
分析：(1)根角三角函数关系曲线参数方程化直角坐标方程根代入消元法直线参数方程化直角坐标方程时注意分 两种情况(2)直线参数方程代入曲线直角坐标方程根参数意义间关系求斜率．
详解详解：（1）曲线直角坐标方程．
时直角坐标方程
时直角坐标方程．
（2）参数方程代入直角坐标方程整理关方程
．①
曲线截直线线段中点①两解设．
①直线斜率．
23设函数
（1）时求等式解集
（2）恒成立求取值范围
答案(1)(2)
解析
详解分析：（1）先根绝值意义等式化三等式组分求解求集（2）先化简等式根绝值三角等式值解等式取值范围．
详解：（1）时
解集．
（2）等价．
时等号成立．等价．
取值范围．
点睛：含绝值等式解法两基方法运零点分区间讨二利绝值意义求解．法运分类讨思想法二运数形结合思想绝值等式函数等式恒成立交汇渗透解题时强化函数数形结合转化化思想方法灵活应命题新动．
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2018年普通高等学校招生全国统考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．作答时答案写答题卡写试卷草稿纸效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1
A B C D
答案D
解析
分析：根复数法法化简复数结果
详解：选D
点睛：题考查复数法法考查学生基运算力
2已知集合中元素数
A 9 B 8 C 5 D 4
答案A
解析
分析：根枚举法确定圆部整点数
详解：
时
时
时
9选A
点睛：题考查集合元素关系点圆位置关系考查学生概念理解识
3函数图致 ( )
A B
C D
答案B
解析
分析：通研究函数奇偶性单调性确定函数图
详解：奇函数舍A
舍D
舍C选B
点睛：关函数图象识问题常见题型解题思路（1）函数定义域判断图象左右位置函数值域判断图象位置②函数单调性判断图象变化趋势③函数奇偶性判断图象称性④函数周期性判断图象循环复．
4已知量满足
A 4 B 3 C 2 D 0
答案B
解析
分析：根量模性质量法结果
详解：
选B
点睛：量加减：
5双曲线离心率渐线方程
A B C D
答案A
解析
分析：根离心率ac关系进ab关系根双曲线方程求渐线方程结果
详解：
渐线方程渐线方程选A
点睛：已知双曲线方程求渐线方程：
6中BC1AC5AB
A B C D
答案A
解析
分析：先根二倍角余弦公式求cosC根余弦定理求AB
详解：
选A
点睛：解三角形问题边角求值问题需根正余弦定理结合已知条件灵活转化边角间关系达解决问题目
7计算设计面程序框图空白框中应填入
A
B
C
D
答案B
解析
分析：根程序框图知先奇数项累加偶数项累加相减累加量隔项
详解：程序框图先奇数项累加偶数项累加相减空白框中应填入选B
点睛：算法流程图考查侧重流程图循环结构考查先明晰算法流程图相关概念包括选择结构循环结构伪代码次重视循环起点条件循环次数循环终止条件更通循环规律明确流程图研究数学问题求求项
8国数学家陈景润哥德巴赫猜想研究中取世界领先成果．哥德巴赫猜想2偶数表示两素数．超30素数中机选取两数等30概率
A B C D
答案C
解析
分析：先确定超30素数确定两数等30取法根古典概型概率公式求概率
详解：超30素数235711131719232910机选取两数种方法机选取两数等303种方法概率选C
点睛：古典概型中基事件数探求方法： (1)列举法 (2)树状图法：适合较复杂问题中基事件探求基事件序序区题目常采树状图法 (3)列表法：适元素基事件求解问题通列表复杂题目简单化抽象题目具体化 (4)排列组合法：适限制条件较元素数目较题目
9长方体中异面直线成角余弦值
A B C D
答案C
解析
分析：先建立空间直角坐标系设立点坐标利量数量积求量夹角根量夹角线线角相等互补关系求结果
详解：D坐标原点DADCDD1xyz轴建立空间直角坐标系
异面直线成角余弦值选C
点睛：利法量求解空间线面角关键四破：第破建系关构建恰空间直角坐标系第二破求坐标关准确求解相关点坐标第三破求法量关求出面法量第四破应公式关
10减函数值
A B C D
答案A
解析
详解分析：先确定三角函数单调减区间根集合包含关系确定值
详解：
值选A
点睛：函数性质：
(1) (2)周期 (3) 求称轴 (4)求增区间
求减区间
11已知定义域奇函数满足（ ）
A B C D
答案C
解析
分析：先根奇函数性质称性确定函数周期根周期应函数值求结果
详解：定义域奇函数
选C
点睛：函数奇偶性周期性相结合问题考查求值问题常利奇偶性周期性进行变换求函数值变量转化已知解析式函数定义域求解．
12已知椭圆左右焦点左顶点点斜率直线等腰三角形离心率
A B C D
答案D
解析
详解分析：先根条件PF22c利正弦定理ac关系离心率
详解：等腰三角形PF2F1F22c
斜率
正弦定理
选D
点睛：解决椭圆双曲线离心率求值范围问题关键确立关方程等式根关系消掉关系式建立关方程等式充分利椭圆双曲线性质点坐标范围等
二填空题：题4题题5分20分
13曲线点处切线方程__________．
答案
解析
分析
先求导数根导数意义切线斜率根点斜式求切线方程
详解
点睛求曲线切线注意点P切线点P处切线差异点P切线中点P定切点点P定已知曲线点P处切线必点P切点
14满足约束条件 值__________．
答案
解析
分析
作出行域根目标函数意义知时
详解等式组表示行域顶点三角形区域图示目标函数值必顶点处取易知时
点睛线性规划问题高考中常考考点选择填空形式出现基题型出约束条件求目标函数值结合方式：截距型斜率型距离型等
15已知__________．
答案
解析
详解
①
②
①②
解
题正确答案
16已知圆锥顶点母线成角余弦值圆锥底面成角45°面积该圆锥侧面积__________．
答案
解析
详解分析：先根三角形面积公式求出母线长根母线底面成角底面半径根圆锥侧面积公式求结果
详解：母线成角余弦值母线成角正弦值面积设母线长
圆锥底面成角45°底面半径
圆锥侧面积
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17～21题必考题试题考生必须作答第2223选考题考生根求作答学科&网
（）必考题：60分
17记等差数列前项已知．
（1）求通项公式
（2）求求值．
答案（1）an2n–9（2）Snn2–8n值–16．
解析
分析：（1）根等差数列前n项公式求出公差代入等差数列通项公式结果（2）根等差数列前n项公式二次函数关系式根二次函数称轴变量正整数求函数值
详解：（1）设{an}公差d题意3a1+3d–15．
a1–7d2．
{an}通项公式an2n–9．
（2）（1）Snn2–8n（n–4）2–16．
n4时Sn取值值–16．
点睛：数列特殊函数研究数列值问题利函数性质注意定义域正整数集限制条件
18图某区2000年2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）折线图．
预测该区2018年环境基础设施投资额建立时间变量两线性回模型．根2000年2016年数（时间变量值次）建立模型①：根2010年2016年数（时间变量值次）建立模型②：．
（1）分利两模型求该区2018年环境基础设施投资额预测值
（2）认模型预测值更？说明理．
答案（1）利模型①预测值2261利模型②预测值2565（2）利模型②预测值更．
解析
详解分析：（1）两回直线方程中参数分求变量2018时应函数值结果（2）根折线图知2000200920102016两明显区直线20102016增幅明显高20002009高模型1增幅模型2更较2018预测
详解：（1）利模型①该区2018年环境基础设施投资额预测值
–304+135×192261（亿元）．
利模型②该区2018年环境基础设施投资额预测值
99+175×92565（亿元）．
（2）利模型②预测值更．
理：
（i）折线图出2000年2016年数应点没机散布直线y–304+135t说明利2000年2016年数建立线性模型①描述环境基础设施投资额变化趋势．2010年相2009年环境基础设施投资额明显增加2010年2016年数应点位条直线附说明2010年开始环境基础设施投资额变化规律呈线性增长趋势利2010年2016年数建立线性模型99+175t较描述2010年环境基础设施投资额变化趋势利模型②预测值更．
（ii）计算结果相2016年环境基础设施投资额220亿元模型①预测值2261亿元增幅明显偏低利模型②预测值增幅较合理说明利模型②预测值更．
点睛：已知回直线方程直接数值代入求特定求预测值回直线方程定参数根回直线方程恒点求参数
19设抛物线焦点斜率直线交两点．
（1）求方程
（2）求点准线相切圆方程．
答案(1) yx–1(2)．
解析
详解分析：(1)根抛物线定义联立直线方程抛物线方程利韦达定理代入求出斜率直线方程（2）先求AB中垂线方程圆心坐标关系根圆心准线距离等半径等量关系解方程组圆心坐标半径写出圆标准方程
详解：（1）题意F（10）l方程yk（x–1）（k>0）．
设A（x1y1）B（x2y2）．
．
．
．
题设知解k–1（舍）k1．
l方程yx–1．
（2）（1）AB中点坐标（32）AB垂直分线方程
．
设求圆圆心坐标（x0y0）
解
求圆方程
．
点睛：确定圆方程方法
(1)直接法：根圆性质直接求出圆心坐标半径进写出方程．
(2)定系数法
①已知条件圆心半径关设圆标准方程已知条件列出关方程组求出值
②已知条件没明确出圆心半径选择圆般方程已知条件列出关DEF方程组进求出DEF值．
20图三棱锥中中点．
（1）证明：面
（2）点棱二面角求面成角正弦值．
答案（1）见解析（2）
解析
分析
(1)根等腰三角形性质PO垂直AC通计算根勾股定理PO垂直OB根线面垂直判定定理结(2)根条件建立空间直角坐标系设立点坐标根方程组解出面PAM法量利量数量积求出两法量夹角根二面角法量夹角相等互补关系列方程解M坐标利量数量积求量PC面PAM法量夹角根线面角量夹角互余结果
详解（1）中点
连结等腰直角三角形
知
知面
（2）图坐标原点方轴正方建立空间直角坐标系
已知取面法量
设
设面法量
取
已知
解（舍）
面成角正弦值
点睛利法量求解空间线面角关键四破：第破建系关构建恰空间直角坐标系第二破求坐标关准确求解相关点坐标第三破求法量关求出面法量第四破应公式关
21已知函数．
（1）证明：时
（2）零点求值
答案（1）见解析（2）
解析
详解分析：(1)先构造函数求导函数根导函数零函数单调递减根单调性证等式(2)研究零点等价研究零点先求导数：里产生两讨点a零x2时没零点时先减增确定零点必条件利零点存定理确定条件充分性a值
详解：（1）时等价．
设函数．
时单调递减．
时．
（2）设函数．
零点仅零点．
（i）时没零点
（ii）时．
时时．
单调递减单调递增．
值．
①没零点
②零点
③零点
（1）知时．
零点两零点．
综零点时．
点睛：利函数零点情况求参数值取值范围方法
(1)利零点存判定定理构建等式求解
(2)分离参数转化函数值域(值)问题求解
(3)转化两熟悉函数图象关系问题构建等式求解
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答果做做第题计分
22直角坐标系中曲线参数方程（参数）直线参数方程（参数）
（1）求直角坐标方程
（2）曲线截直线线段中点坐标求斜率．
答案（1）时直角坐标方程时直角坐标方程（2）
解析
分析
分析：(1)根角三角函数关系曲线参数方程化直角坐标方程根代入消元法直线参数方程化直角坐标方程时注意分 两种情况(2)直线参数方程代入曲线直角坐标方程根参数意义间关系求斜率．
详解详解：（1）曲线直角坐标方程．
时直角坐标方程
时直角坐标方程．
（2）参数方程代入直角坐标方程整理关方程
．①
曲线截直线线段中点①两解设．
①直线斜率．
23设函数
（1）时求等式解集
（2）恒成立求取值范围
答案(1)(2)
解析
详解分析：（1）先根绝值意义等式化三等式组分求解求集（2）先化简等式根绝值三角等式值解等式取值范围．
详解：（1）时
解集．
（2）等价．
时等号成立．等价．
取值范围．
点睛：含绝值等式解法两基方法运零点分区间讨二利绝值意义求解．法运分类讨思想法二运数形结合思想绝值等式函数等式恒成立交汇渗透解题时强化函数数形结合转化化思想方法灵活应命题新动．
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