八趣模型——搞定空间体外接球切球
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类型墙角模型（三条线两垂直找球心位置求出球半径）
方法：找三条两两垂直线段直接公式求出
例1 （1）已知顶点球面正四棱柱高体积球表面积（ C ）
A． B． C． D．
（2）三棱锥三侧面两垂直侧棱长均外接球表面积
解：（1）选C
（2）
（3）正三棱锥中分棱中点侧棱正三棱锥外接球表面积
解：引理：正三棱锥棱互垂直证明：
图（3）1取中点连接交连接底面正三角形中心面
面
理：正三棱锥棱互垂直
题图图（3）2
面
面
三棱锥三棱条侧棱两两互相垂直
正三棱锥外接球表面积
（4）四面体中该四面体外接球表面积（ D ）
（5）果三棱锥三侧面两两垂直面积分外接球表面积
（6）已知某体三视图图示三视图腰长等腰直角三角形边长正方形该体外接球体积
解析：（4）中
外接球直径
选D
（5）三条侧棱两两生直设三条侧棱长分（）
（6）
类型二垂面模型（条直线垂直面）
1．题设：图5面
解题步骤：
第步：画圆面圆直径端点作圆直
径连接必球心
第二步：外心面算出圆半
径（三角形外接圆直径算法：利正弦定理
）
第三步：利勾股定理求三棱锥外接球半径：①
②
2．题设：图678射影外心三棱锥三条侧棱相等三棱锥底面圆锥底顶点点圆锥顶点
解题步骤：
第步：确定球心位置取外心三点线
第二步：先算出圆半径算出棱锥高（圆锥高）
第三步：勾股定理：解出
方法二：圆直径参构造圆
例2 体三视图右图示该体外接球表面积( )C
A． B． C． D．
解：选C
类型三切瓜模型（两面互相垂直）
1．题设：图91面面（圆直径）
第步：易知球心必外心外接圆圆先求出圆直径
第二步：中根正弦定理求出
2．图92面面（圆直径）
3．图93面面（圆直径）射影外心三棱锥三条侧棱相等三棱底面圆锥底顶点点圆锥顶点
解题步骤：
第步：确定球心位置取外心三点线
第二步：先算出圆半径算出棱锥高（圆锥高）
第三步：勾股定理：解出
4．图93面面（圆直径）
利勾股定理求三棱锥外接球半径：①
②
例3 （1）正四棱锥顶点球面该棱锥高1底面边长该球表面积
（2）正四棱锥底面边长侧棱长顶点球面球体积
解：（1）正弦定理找球心
（2）方法：找球心位置易知球心正方形中心处
方法二：圆轴截面外接圆圆外接圆处特殊斜边球半径
（3）三棱锥中侧棱底面成角该三棱锥外接球体积（ ）
A． B C 4 D
解：选D圆锥圆
（4）已知三棱锥顶点球求面边长正三角形球直径棱锥体积（ ）A
A． B． C． D．
解：
类型四汉堡模型（直棱柱外接球圆柱外接球）
题设：图101图102图103直三棱柱接球（时直棱柱接圆柱棱柱底面意三角形）
第步：确定球心位置外心面
第二步：算出圆半径（圆柱高）
第三步：勾股定理：解出
例4 （1）正六棱柱底面正六边形侧棱垂直底面已知该六棱柱顶点球面该六棱柱体积底面周长球体积
解：设正六边形边长正六棱柱高底面外接圆关径
底面积
球体积
（2）直三棱柱顶点球面球表面积等
解：
（3）已知面矩形面互相垂直面体外接球表面积
解析：折叠型法：外接圆半径
法二：
（4）直三棱柱中直三棱柱外接球表面积
解析：
类型五折叠模型
题设：两全等三角形等腰三角形拼起菱形折叠(图11)
第步：先画出图示图形画圆找出外心
第二步：分作面面垂线两垂线交点球心连接
第三步：解算出中勾股定理：
例5三棱锥中面面△△均边长正三角形三棱锥外接球半径
解析：
法二：
类型六棱相等模型（补形长方体）
题设：三棱锥（四面体）中已知三组棱分相等求外接球半径（）
第步：画出长方体标出三组互异面直线棱
第二步：设出长方体长宽高分列方程组
补充：
第三步：根墙角模型
求出
例正四面体外接球半径法
例6（1）棱长正四面体四顶点球面该球球心
截面图图中三角形(正四面体截面)面积
（2）正三棱锥四顶点半径球面中底面三顶点
该球圆该正三棱锥体积（ ）
A． B． C． D．
解：（1）截面面积
（2）高底面外接圆半径直径
设底面边长
三棱锥体积
（3）三棱锥中三棱锥外接球表面积
解析：图12设补形长方体三长度三面角线长设长宽高分
（4）图示三棱锥中该三棱锥外接球表面积
解析：设补形长方体三长度三面角线长设长宽高分
55称体放长方体中
（5）正四面体条棱长该正面体外接球体积
解析：特殊情况棱相等模式放入长方体中
类型七两直角三角形拼接起(斜边相作矩形角线折起三棱锥)模型
题设：求三棱锥外接球半径（分析：取公斜边中点连接
三棱锥外接球球心然中求出半径）作矩形角线折起三棱锥时折起成二面角关角球半径定值
例7（1）矩形中矩形折成直二面角四面体外接球体积（ ）
A． B． C． D．
解：（1）选C
（2）矩形中矩形折叠连接三棱锥外接球表面积 ．
解析：（2）中点球心
类型八锥体切球问题
1．题设：图14三棱锥正三棱锥求外接球半径
第步：先现出切球截面图分两三角形外心
第二步：求侧面高
第三步：相似建立等式：解出
2．题设：图15四棱锥正四棱锥求外接球半径
第步：先现出切球截面图三点线
第二步：求侧面高
第三步：相似建立等式：解出
3．题设：三棱锥意三棱锥求切球半径
方法：等体积法切球球心四面构成四三棱锥体积相等
第步：先画出四表面面积整锥体体积
第二步：设切球半径建立等式：
第三步：解出
题：
1．三棱锥三条侧棱两两垂直该三棱锥外接球半径（ ）
A B C D
解：A
三棱锥侧棱垂直底面底面直角三角形两种
2． 三棱锥中侧棱面底面边长正三角形该三棱锥外接球体积等
解析：外接球体积
外心法（加中垂线）找球心正弦定理求球圆半径
3．正三棱锥中底面边长正三角形侧棱长该三棱锥外接球体积等
解析：外接圆半径 三棱锥直径外接球半径
外接球体积
4．三棱锥中面面△边长正三角形三棱锥外接球半径
解析：外接圆圆
5． 三棱锥中面面三棱锥外接球半径
解析：
6． 三棱锥中面面三棱锥外接球半径
解：公斜边中点球心球半径
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天家带8求解立体切球外接球半径模型文开始源付雨楼老师分享模型教研QQ群(群号：545423319)成员段永建老师进步作图编辑优化分享
类型墙角模型（三条线两垂直找球心位置求出球半径）
方法：找三条两两垂直线段直接公式求出
例1 （1）已知顶点球面正四棱柱高体积球表面积（ C ）
A． B． C． D．
（2）三棱锥三侧面两垂直侧棱长均外接球表面积
解：（1）选C
（2）
（3）正三棱锥中分棱中点侧棱正三棱锥外接球表面积
解：引理：正三棱锥棱互垂直证明：
图（3）1取中点连接交连接底面正三角形中心面
面
理：正三棱锥棱互垂直
题图图（3）2
面
面
三棱锥三棱条侧棱两两互相垂直
正三棱锥外接球表面积
（4）四面体中该四面体外接球表面积（ D ）
（5）果三棱锥三侧面两两垂直面积分外接球表面积
（6）已知某体三视图图示三视图腰长等腰直角三角形边长正方形该体外接球体积
解析：（4）中
外接球直径
选D
（5）三条侧棱两两生直设三条侧棱长分（）
（6）
类型二垂面模型（条直线垂直面）
1．题设：图5面
解题步骤：
第步：画圆面圆直径端点作圆直
径连接必球心
第二步：外心面算出圆半
径（三角形外接圆直径算法：利正弦定理
）
第三步：利勾股定理求三棱锥外接球半径：①
②
2．题设：图678射影外心三棱锥三条侧棱相等三棱锥底面圆锥底顶点点圆锥顶点
解题步骤：
第步：确定球心位置取外心三点线
第二步：先算出圆半径算出棱锥高（圆锥高）
第三步：勾股定理：解出
方法二：圆直径参构造圆
例2 体三视图右图示该体外接球表面积( )C
A． B． C． D．
解：选C
类型三切瓜模型（两面互相垂直）
1．题设：图91面面（圆直径）
第步：易知球心必外心外接圆圆先求出圆直径
第二步：中根正弦定理求出
2．图92面面（圆直径）
3．图93面面（圆直径）射影外心三棱锥三条侧棱相等三棱底面圆锥底顶点点圆锥顶点
解题步骤：
第步：确定球心位置取外心三点线
第二步：先算出圆半径算出棱锥高（圆锥高）
第三步：勾股定理：解出
4．图93面面（圆直径）
利勾股定理求三棱锥外接球半径：①
②
例3 （1）正四棱锥顶点球面该棱锥高1底面边长该球表面积
（2）正四棱锥底面边长侧棱长顶点球面球体积
解：（1）正弦定理找球心
（2）方法：找球心位置易知球心正方形中心处
方法二：圆轴截面外接圆圆外接圆处特殊斜边球半径
（3）三棱锥中侧棱底面成角该三棱锥外接球体积（ ）
A． B C 4 D
解：选D圆锥圆
（4）已知三棱锥顶点球求面边长正三角形球直径棱锥体积（ ）A
A． B． C． D．
解：
类型四汉堡模型（直棱柱外接球圆柱外接球）
题设：图101图102图103直三棱柱接球（时直棱柱接圆柱棱柱底面意三角形）
第步：确定球心位置外心面
第二步：算出圆半径（圆柱高）
第三步：勾股定理：解出
例4 （1）正六棱柱底面正六边形侧棱垂直底面已知该六棱柱顶点球面该六棱柱体积底面周长球体积
解：设正六边形边长正六棱柱高底面外接圆关径
底面积
球体积
（2）直三棱柱顶点球面球表面积等
解：
（3）已知面矩形面互相垂直面体外接球表面积
解析：折叠型法：外接圆半径
法二：
（4）直三棱柱中直三棱柱外接球表面积
解析：
类型五折叠模型
题设：两全等三角形等腰三角形拼起菱形折叠(图11)
第步：先画出图示图形画圆找出外心
第二步：分作面面垂线两垂线交点球心连接
第三步：解算出中勾股定理：
例5三棱锥中面面△△均边长正三角形三棱锥外接球半径
解析：
法二：
类型六棱相等模型（补形长方体）
题设：三棱锥（四面体）中已知三组棱分相等求外接球半径（）
第步：画出长方体标出三组互异面直线棱
第二步：设出长方体长宽高分列方程组
补充：
第三步：根墙角模型
求出
例正四面体外接球半径法
例6（1）棱长正四面体四顶点球面该球球心
截面图图中三角形(正四面体截面)面积
（2）正三棱锥四顶点半径球面中底面三顶点
该球圆该正三棱锥体积（ ）
A． B． C． D．
解：（1）截面面积
（2）高底面外接圆半径直径
设底面边长
三棱锥体积
（3）三棱锥中三棱锥外接球表面积
解析：图12设补形长方体三长度三面角线长设长宽高分
（4）图示三棱锥中该三棱锥外接球表面积
解析：设补形长方体三长度三面角线长设长宽高分
55称体放长方体中
（5）正四面体条棱长该正面体外接球体积
解析：特殊情况棱相等模式放入长方体中
类型七两直角三角形拼接起(斜边相作矩形角线折起三棱锥)模型
题设：求三棱锥外接球半径（分析：取公斜边中点连接
三棱锥外接球球心然中求出半径）作矩形角线折起三棱锥时折起成二面角关角球半径定值
例7（1）矩形中矩形折成直二面角四面体外接球体积（ ）
A． B． C． D．
解：（1）选C
（2）矩形中矩形折叠连接三棱锥外接球表面积 ．
解析：（2）中点球心
类型八锥体切球问题
1．题设：图14三棱锥正三棱锥求外接球半径
第步：先现出切球截面图分两三角形外心
第二步：求侧面高
第三步：相似建立等式：解出
2．题设：图15四棱锥正四棱锥求外接球半径
第步：先现出切球截面图三点线
第二步：求侧面高
第三步：相似建立等式：解出
3．题设：三棱锥意三棱锥求切球半径
方法：等体积法切球球心四面构成四三棱锥体积相等
第步：先画出四表面面积整锥体体积
第二步：设切球半径建立等式：
第三步：解出
题：
1．三棱锥三条侧棱两两垂直该三棱锥外接球半径（ ）
A B C D
解：A
三棱锥侧棱垂直底面底面直角三角形两种
2． 三棱锥中侧棱面底面边长正三角形该三棱锥外接球体积等
解析：外接球体积
外心法（加中垂线）找球心正弦定理求球圆半径
3．正三棱锥中底面边长正三角形侧棱长该三棱锥外接球体积等
解析：外接圆半径 三棱锥直径外接球半径
外接球体积
4．三棱锥中面面△边长正三角形三棱锥外接球半径
解析：外接圆圆
5． 三棱锥中面面三棱锥外接球半径
解析：
6． 三棱锥中面面三棱锥外接球半径
解：公斜边中点球心球半径
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