高中数学圆方程典型题型纳总结
类型：巧圆系求圆程
解析中符合特定条件某圆构成圆系圆系具形式方程称圆系方程常圆系方程种：
⑴圆心心圆系方程
⑵直线圆交点圆系方程
⑶两圆圆交点圆系方程
圆系方程中包含圆直接应该圆系方程必须检验圆否满足题意谨防漏解
时两圆公弦直线方程
例1：已知圆直线相交两点坐标原点求实数值
分析：题易想设出利设求思想联立方程根系数关系出关方程验证解充分挖掘题关系难出直径圆刚直线圆交点选取直线圆交点圆系方程极简化运算程
解：直线圆交点圆系方程：
…………………①
题意直径圆圆心（）显然直线解
满足方程①
例2：求两圆交点面积圆方程
解：圆公弦方程
直线圆交点圆系方程
题意欲求圆面积需圆半径两圆公弦必求圆直径圆心必公弦直线代回圆系方程求圆方程
例3求证：m意实数时直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒定点P求P点坐标
分析：m实数时直线恒定点定点定直线系中意两直线交点
解：原方程
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0①
∴直线定点P（9－4）
注：方程①作两直线交点直线系
例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－40（m∈R）
（1）证明：m取什实数直线l圆恒交两点
（2）求直线圆C截弦长时l方程
剖析：直线定点该定点圆题便解
（1）证明：l方程（x+y－4）+m（2x+y－7）0
∵m∈R∴
2x+y－70 x3
x+y－40 y1
l恒定点A（31）
∵圆心C（12）｜AC｜＝＜5（半径）
∴点A圆C直线l恒圆C相交两点
（2）解：弦长时l⊥ACkAC＝－
∴l方程2x－y－50
评述：定点A圆外直线圆相交需什条件呢？
思考讨
类型二：直线圆位置关系
例5直线曲线公点求实数取值范围
解：∵曲线表示半圆∴利数形结合法实数取值范围
变式练：1直线yx+k曲线x恰公点k取值范围___________
解析：利数形结合
答案：－1＜k≤1k－
例6 圆直线距离1点？
分析：助图形直观求解．先求出直线方程代数计算中寻找解答．
解法：圆圆心半径．
设圆心直线距离．
图圆心侧直线行距离1直线圆两交点两交点符合题意．
．
∴直线行圆切线两切点中切点符合题意．
∴符合题意点3．
解法二：符合题意点行直线距离1直线圆交点．设求直线
∴
．
设圆圆心直线距离
．
∴相切圆公点圆相交圆两公点．符合题意点3．
说明：题留心易发生误解：
设圆心直线距离．
∴圆距离1点两．
显然述误解中圆心直线距离说明直线圆两交点说明圆两点直线距离1．
类型三：圆中值问题
例7：圆点直线距离距离差
解：∵圆圆心（22）半径∴圆心直线距离∴直线圆相离∴圆点直线距离距离差
例8 (1)已知圆圆动点求值．
(2)已知圆圆点．求值求值．
分析：(1)(2)两题涉圆点坐标考虑圆参数方程数形结合解决．
解：(1)(法1)圆标准方程．
设圆参数方程（参数）．
（中）．
．
(法2)圆点原点距离值等圆心原点距离加半径1圆点原点距离值等圆心原点距离减半径1．
．
．
．．
(2) (法1)圆参数方程：参数．
．令
．
．
值值．
时．
值值．
(法2)设．圆点直线圆交点时图示
两条切线斜率分值．
．
值值．
令理两条切线轴截距分值．
．
值值．
例9已知圆点等式恒成立求实数取值范围．
设圆点
∴
∵恒成立
∴
恒成立．
∴须值．
设
∴．
说明：种解法中运圆点参数设法．般圆点设()．采种设法方面减少参数数方面灵活运三角公式．代数观点种做法实质三角代换．
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类型：巧圆系求圆程
解析中符合特定条件某圆构成圆系圆系具形式方程称圆系方程常圆系方程种：
⑴圆心心圆系方程
⑵直线圆交点圆系方程
⑶两圆圆交点圆系方程
圆系方程中包含圆直接应该圆系方程必须检验圆否满足题意谨防漏解
时两圆公弦直线方程
例1：已知圆直线相交两点坐标原点求实数值
分析：题易想设出利设求思想联立方程根系数关系出关方程验证解充分挖掘题关系难出直径圆刚直线圆交点选取直线圆交点圆系方程极简化运算程
解：直线圆交点圆系方程：
…………………①
题意直径圆圆心（）显然直线解
满足方程①
例2：求两圆交点面积圆方程
解：圆公弦方程
直线圆交点圆系方程
题意欲求圆面积需圆半径两圆公弦必求圆直径圆心必公弦直线代回圆系方程求圆方程
例3求证：m意实数时直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒定点P求P点坐标
分析：m实数时直线恒定点定点定直线系中意两直线交点
解：原方程
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0①
∴直线定点P（9－4）
注：方程①作两直线交点直线系
例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－40（m∈R）
（1）证明：m取什实数直线l圆恒交两点
（2）求直线圆C截弦长时l方程
剖析：直线定点该定点圆题便解
（1）证明：l方程（x+y－4）+m（2x+y－7）0
∵m∈R∴
2x+y－70 x3
x+y－40 y1
l恒定点A（31）
∵圆心C（12）｜AC｜＝＜5（半径）
∴点A圆C直线l恒圆C相交两点
（2）解：弦长时l⊥ACkAC＝－
∴l方程2x－y－50
评述：定点A圆外直线圆相交需什条件呢？
思考讨
类型二：直线圆位置关系
例5直线曲线公点求实数取值范围
解：∵曲线表示半圆∴利数形结合法实数取值范围
变式练：1直线yx+k曲线x恰公点k取值范围___________
解析：利数形结合
答案：－1＜k≤1k－
例6 圆直线距离1点？
分析：助图形直观求解．先求出直线方程代数计算中寻找解答．
解法：圆圆心半径．
设圆心直线距离．
图圆心侧直线行距离1直线圆两交点两交点符合题意．
．
∴直线行圆切线两切点中切点符合题意．
∴符合题意点3．
解法二：符合题意点行直线距离1直线圆交点．设求直线
∴
．
设圆圆心直线距离
．
∴相切圆公点圆相交圆两公点．符合题意点3．
说明：题留心易发生误解：
设圆心直线距离．
∴圆距离1点两．
显然述误解中圆心直线距离说明直线圆两交点说明圆两点直线距离1．
类型三：圆中值问题
例7：圆点直线距离距离差
解：∵圆圆心（22）半径∴圆心直线距离∴直线圆相离∴圆点直线距离距离差
例8 (1)已知圆圆动点求值．
(2)已知圆圆点．求值求值．
分析：(1)(2)两题涉圆点坐标考虑圆参数方程数形结合解决．
解：(1)(法1)圆标准方程．
设圆参数方程（参数）．
（中）．
．
(法2)圆点原点距离值等圆心原点距离加半径1圆点原点距离值等圆心原点距离减半径1．
．
．
．．
(2) (法1)圆参数方程：参数．
．令
．
．
值值．
时．
值值．
(法2)设．圆点直线圆交点时图示
两条切线斜率分值．
．
值值．
令理两条切线轴截距分值．
．
值值．
例9已知圆点等式恒成立求实数取值范围．
设圆点
∴
∵恒成立
∴
恒成立．
∴须值．
设
∴．
说明：种解法中运圆点参数设法．般圆点设()．采种设法方面减少参数数方面灵活运三角公式．代数观点种做法实质三角代换．
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