专题六 数列
第十六讲 等数列
2019 年
1（2019 全国Ⅰ文 14）记 Sn 等数列{an}前 n 项 13
31 4aS S4___________．
2（2019 全国Ⅱ文 18）已知{}na 项均正数等数列 1 3 22 2 16a a a  
（1）求 通项公式
（2）设 2lognnba 求数列{}nb 前 n 项
3（2019 全国Ⅲ文 6）已知项均正数等数列{an}前 4 项 15 a53a3+4a1
a3
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
4（2019 北京文 16）设{an}等差数列a1–10 a2+10a3+8a4+6 成等数列．
（Ⅰ）求{an}通项公式
（Ⅱ）记{an}前 n 项 Sn求 Sn 值．
5（2019 天津文 18）设 na 等差数列 nb 等数列公0 已知 113ab
23ba 3243ba
（Ⅰ）求 通项公式
（Ⅱ）设数列 nc 满足
2
1
n
n
n
c bn
 

奇
偶

求  *
1 1 2 2 2 2nna c a c a c n N   


20102018 年
选择题
1．(2018 北京)十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音
例理发展做出重贡献．十二均律纯八度音程分成十二份
次十三单音第二单音起单音频率前单音频率
等 12 2 ．第单音频率 f第八单音频率

A． 3 2 f B． 3 22 f C． 12 52 f D．12 72 f
2．(2018 浙江)已知 1a 2a 3a 4a 成等数列 1 2 3 4 1 2 3ln( )a a a a a a a      ．
1 1a 
A． 13aa 24aa B． 13aa
C． 24aa D． 13aa 24aa
3．（ 2015 新课标 2）已知等数列 }{ na 满足
4
1
1 a )1(4 453  aaa 2a
A．2 B．1 C．
2
1 D．
8
1
4．（ 2014 重庆）意等数列{}na 列说法定正确
A． 1 3 9a a a 成等数列 B． 2 3 6a a a 成等数列
C． 2 4 8aaa成等数列 D． 2 6 9a a a 成等数列
5．（ 2013 新课标 2）等数列 na 前 n 项 nS已知 3 2 110S a a 5 9a  1a
A． 1
3 B． 1
3 C． 1
9 D． 1
9
6．（2012 北京）已知{}na 等数列面结中正确
A． 1 3 22a a a … B． 2 2 2
1 3 22a a a …
C． 13aa 12aa D． 31aa 42aa
7．（ 2011 辽宁）等数列 满足 1 16n
nnaa  公
A．2 B．4 C．8 D．16
8．（ 2010 广东）已知数列 na 等数列 nS 前 n 项 2 3 12a a a 4a
2 7a 等差中项 5
4
5S 
A．35 B．33 C．3l D．29
9．（ 2010 浙江）设 nS 等数列{}na 前 n 项 2580aa 5
2
S
S 
A．－11 B．－8 C．5 D．11

10．（ 2010 安徽）设 na 意等数列前 n 项前 2n 项前3n 项分
XYZ列等式中恒成立
A． 2XZY B．    YYXZZX  
C． 2Y XZ D．    YYXXZX  
11．（ 2010 北京）等数列 na 中 1 1a  公 1q  1 2 3 4 5ma a a a a a m
A．9 B．10 C．11 D．12
12．（ 2010 辽宁）设 nS 等数列 na 前 n 项已知 3432Sa 2332Sa
公 q 
A．3 B．4 C．5 D．6
13．（ 2010 天津）已知 na 首项 1 等数列 nS 前 n 项 369SS
数列 1
na



前 5 项
A．15
8
5 B． 31
16
5 C． D．
二填空题
14．（ 2017 江苏）等数列{}na 项均实数前 n 项 nS已知 3
7
4S  6
63
4S 
8a ．
15．（ 2015 广东）三正数 a b c 成等数列中 5 2 6a  5 2 6c 
b  ________．
16．（ 2014 广东）等数列 na 项均正数 15 4aa 
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5log +log +log +log +log a a a a a ________．
17．（ 2014 广东）等数列 na 项均正数 5
1291110 2eaaaa 
1 2 20ln ln lna a a    ．
18．（ 2014 江苏）项均正数等数列 }{ na 中 12 a 468 2aaa  6a 值 ．
19．（ 2013 广东）设数列{}na 首项1公 2 等数列 1 2 3 4| | | |a a a a    ．

20．（ 2013 北京）等数列 na 满足 24aa 20 35aa 40公 q 前 n
项 nS ．
21．（ 2013 江苏）正项等数列 na 中
2
1
5 a 376  aa ．满足
nn aaaaaaaa 321321  正整数 n 值 ．
22．（ 2012 江西）等数列 na 前 n 项 nS公 1． 1 1a  意 nN
2120n n na a a   5S _________________．
23．（ 2012 辽宁）已知等数列 }{ na 递增数列 01 a 12 5)(2   nnn aaa 数
列 na 公 q ．
24．（ 2012 浙江）设公 ( 0)qq 等数列{}na 前 n 项 nS． 2232Sa
4432Sa q  ．
25．（2011 北京）等数列{}na 中 1
1
2a  4 4a  公 q _____ _________
12 na a a    ____________．
三解答题
26．（2018 全国卷Ⅰ）已知数列{}na 满足 1 1a  1 2( 1) nnna n a 设 n
n
ab n ．
(1)求 1b 2b 3b
(2)判断数列{}nb 否等数列说明理
(3)求 通项公式．
27．（2018 全国卷Ⅲ）等数列{}na 中 1 1a  534aa ．
(1)求 通项公式
(2)记 nS 前 n 项． 63mS  求 m ．
28．（2018 浙江）已知等数列 1{}a 公 1q  34528a a a   4 2a  3a 5a
等差中项．数列{}nb 满足 1 1b  数列 1{( ) }n n nb b a  前 n 项 22nn ．

(1)求 q 值
(2)求数列{}nb 通项公式．
29．（ 2017 新课标Ⅰ）记 nS 等数列{}na 前 n 项已知 2 2S  3 6S  ．
(1)求 通项公式
(2)求 判断 1nS  2nS  否成等差数列
30．（ 2017 新课标Ⅱ）已知等差数列{}na 前 n 项 nS等数列{}nb 前 n 项 nT
1 1a  1 1b  222ab．
(1) 335ab求{}nb 通项公式
(2) 3 21T  求 3S
31．（2017 山东）已知{}na 项均正数等数列 126aa 1 2 3a a a ．
(Ⅰ)求数列 通项公式
(Ⅱ) {}nb 项非零等差数列前 n 项 nS已知 2 1 1n n nS b b 求数列 n
n
b
a




前 项 nT．
32．（2017 北京）已知等差数列 na 等数列 nb 满足 111ab 2410aa
2 4 5b b a ．
（Ⅰ）求 通项公式
（Ⅱ）求： 1 3 5 2 1nb b b b     ．
33．（ 2016 年全国 III 卷）已知项正数数列 na 满足 1 1a 
2
11(2 1) 2 0n n n na a a a    ．
（Ⅰ）求 23aa
（Ⅱ）求 通项公式．
34．（ 2016 年天津）已知 na 等数列前n 项  nS n N

6
1 2 3
1 1 2 63Sa a a  
(Ⅰ)求 na 通项公式
(Ⅱ)意 bnnN 2log na 21log na  等差中项求数列   21 n
nb 前
2 n 项．
35．（ 2015 安徽）已知数列 na 递增等数列 1 4 2 39 8a a a a   ．
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）设 nS 数列 前 n 项 1
1
n
n
nn
ab SS


 求数列 nb 前 项 nT．
36．（2015 广东）设数列 na 前 n 项 nS n  ．已知 1 1a  2
3
2a  3
5
4a 
2n  时 2 1 14 5 8n n n nSSSS     ．
（Ⅰ）求 4a 值
（Ⅱ）证明： 1
1{}2nnaa  等数列
（Ⅲ）求数列 na 通项公式．
37．（ 2014 新课标）已知数列 na 满足 1a 1 1 31nnaa ．
（Ⅰ）证明 1
2na  等数列求 通项公式
（Ⅱ）证明：
12
31 1 1
2na a a  …+ ．
38．（ 2014 福建）等数列{}na 中 253 81aa．
（Ⅰ）求 na
（Ⅱ）设 3lognnba 求数列{}nb 前 n 项 nS．
39．（ 2014 江西）已知数列 na 前 n 项  NnnnSn
2
3 2
．
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）证明：意 1n Nm mn aaa 1 成等数列．

40．(2013 四川) 等数列{}na 中 212aa 22a 13a 3a 等差中项求数列
{}na 首项公前 n 项．
41． (2013 天津)已知首项 3
2
等数列{}na 前 n 项 ( *)nS n N 2 3 42 4SSS 成
等差数列．
(Ⅰ) 求数列{}na 通项公式
(Ⅱ) 证明 13 *)6
1 (n
n
SnS N．
42．（2011 新课标）已知等数列{}na 项均正数 2
1 2 3 2 62 3 1 9a a a a a   ．
（Ⅰ）求数列{}na 通项公式．
（Ⅱ ）设 3 1 3 2 3log log lognnb a a a    求数列 1{}
nb
前 n 项．
43．（ 2011 江西）已知两等数列{ }{ }nnab满足 ( ) a a a b a      
b a b a        ．
（Ⅰ） a 求数列{}na 通项公式
（Ⅱ ）数列{}na 唯求 a 值．
44．（2011 安徽）数 1 100 间插入 n 实数 2n  数构成递增等数列
数积记作 nT令 lgnnaT 1n≥ ．
（Ⅰ）求数列{}na 通项公式
（Ⅱ）设 1tan tan n n nb a a  求数列{}nb 前 n 项 nS．

专题六 数列
第十六讲 等数列
答案部分
2019 年
1解析 题意 () 3 3
1 2
3
1 13111 4
aq qS qqqq
− −++−−
解 1
2q −

()
4
4
1
4
111 52
1181 2
aq
S q
−−−  − −−

2解析（1）设   na 公q题设
22 4 16qq+ 2 2 8 0qq− −
解 2q − （舍）q4
通项公式 1 2 12 4 2nn
na −− 
（ 2 ）（1 ） 2(2 1)log 2 2 1nb n n − − 数列 nb 前n 项
21 3 2 1nn+ + + −
3解析 设等数列{}na 公 ( 0)qq 前 4 项 15 5 3 134a a a+
()4
1
42
1 1 1
1
151
34
aq
q
a q a q a
 −
  −
 +
解 1 1
2
a
q

 
2
3 24a 选 C．
4解析（Ⅰ）设 公差 d ．
1 10a −
2 3 410 10 2 10 3a d a d a d − + − + − + ．
2 3 410 8 6a a a+ + + 成等数列
()()()2
3 2 48 10 6a a a+ + + 2( 2 2 ) ( 4 3 )d d d− + − + ．

化简 2 4 4 0dd− + 解 2d ．
()*
1 (1) 212naandnn+−− N．
（Ⅱ）（Ⅰ）知 2 12nan−
6 0a ．
7n 时 0na  6n 时 0na ．
nS 值 56 30SS − ．
5解析（Ⅰ）设等差数 列  na 公差 d 等 数列  nb 公 q 题意
2
3 3 2
3 15 4
qd
qd
+
 +
解 3
3
d
q

 
3 3 ( 1 ) 3na n n + − 13 3 3 nn
nb − 
通项公式 3nan ()n  N nb 通项公式 3n
nb
（Ⅱ） 112222 nna c a c a c+ ++
()()135 21 214263 2n n naaa a ababab ab−++++ + + + ++
()1 2 3( 1)3 6 6 3 12 3 18 3 6 32
nnnnn−+ +++++

()2 1 23 6 1 3 2 3 3nnn +  +  + + 
121 3 2 3 3n
nTn  +  ++  ①
2 3 3 13 1 3 2 3 3nTn+  +  + +  ②
②① () 1
2 3 1 13 1 3 (2 1)3 32 3 3 3 3 3313 2
n n
n n n
n
nT n n
+
++− −+ − − − − + −  − + −

() 12 1 3 3
4
n
n
nT
+−+
() 1
22
1 1 2 2 2 2
2 1 3 33 6 3 3 2
n
n n n
na c a c a c n T n
+−++ + + + 
()22
*(2 1)3 6 9
2
nnnnN
+− + +




20102018 年
1．D解析第二单音起单音频率前单音频率等 12 2
第单音频率 f 等数列概念知十三单音频率构成首项
公 等数列记 {}na
第八单音频率 1281712
8 (2)2aff − 选 D．
2．B解析解法 l n 1xx−≤ ( 0x  ) 1 2 3 4 1 2 3ln( )a a a a a a a+ + + + +
123 1a a a+ + −≤ 4 1a −≤ 1 1a  等数列公 0q  ．
1q −≤ 2
12341 (1)(10aaaaaqq+++++ ）≤
1231 1a a a a+ +  ≥ 123l n( ) 0a a a+ + 
1231234ln()0aaaaaaa+++++ ≤ 矛盾
10q−   2
1 3 1(1 ) 0a a a q− −  2
2 4 1 (1 ) 0a a a q q− − 
13aa 24aa 选 B．
解法二 1xex+≥
1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 4 1a a a ae a a a a a a a+ + + + + + + + +≥
等数列公 ．


矛盾

选 B．
3．C解析题意 ()2
3 5 4 4 44 1 2a a a a a −  3 4
1
82aqqa 

21
1
2a a q选 C．
4．D解析等数列性质 2
396 0a a a  2 6 9a a a 定成等数列．
5．C解析设等数列   na 公 q ∵ 321 10S a a+ ∴ 12321 10a a a a a+ + +
319aa ∴ 2 9q 5 9a 4
1 9aq ∴ 1
1
9a ．
6．B解析取特殊值排 ACD均值等式 222
13132 22a a a a a+  ．
7．B解析 1 16 n
nnaa+ 1
1216 n
nnaa +
++ 两式相
1
12
1
16 1616
n
nn
n
nn
aa
aa
+
++
+

∴ 2 16q ∵ 知公 正数∴ 4q ．
8．C解析设{ na }公 等数列性质知 23141 2a a a a a  4 2a ．
4a 2 7a 等差中项 5
4
知 47
5224aa+  74
15(2 )24aa  − 1
4 ．
∴ 3 7
4
1
8
aq a 1
2q ． 3
4 1 1
1 28a a q a  1 16a
5
5
116(1 )2 3111 2
S
−

−
．
9．A解析通 2580aa+设公 该式转化 08 3
22 + qaa 解 －2

5
5
2
2
1 1 32 111 1 4
S q
Sq
−+ −−−
．
10．D解析取等数列124 令 1n 1 3 7XYZ 代入验算选项 D 满足．
11．C解析 2 3 4 10 10
1 2 3 4 5 1ma aaaaa qqqq q aq    11m ．
12．B解析两式相减 3 4 33a a a− 4
43
3
4 4aa a q a  ．
13．C解析显然  1
36
39(1 ) 1 1 211
qq qqqq
−− +  −−
1{}
na
首项
1公 1
2
等数列 前 5 项
5
5
11 ( ) 312
1 161 2
T
−

−
．
14．32解析设{}na 公 题意 1q 
6
36
3
3
1 191
S q qSq
− + −
2q


3
1
3
(1 ) 7
14
aqS q
−−
1
1
4a 775
81
1 22324aaq ．
15．1解析三正数 a b c 成等数列 ()()2 5265261bac+−
0b  1b ．
16．5解析等数列性质知 2
15243a a a a a 15 4aa 3 2a
12345 32a a a a a 2122232425log+log+log+log+logaaaaa
2123452log()log325aaaaa ．
17．50解析  na 等数列∴ 1201011912a a a a a a 5
1291110 2eaaaa +
∴ 5
1 2 0a a e ∴ 1220lnlnlnaaa+++ 10
1220120ln()ln()aaaaa 50．
18．4解析设等数列 }{ na 公 q 0q  ． 8 6 4 2a a a+
42
444 2a q a q a+解 2 2q （负值舍） 2 1a 4
624a a q ．
19．15解析 1 2 3 41 2 4 8a a a a − − ∴ 1 2 3 4| | | |a a a a+ + + 15．
20． 122 2n+ − 解析 35aa+ ()24q a a+ 2q ()()3
2 4 1a a a q q+ + 20
1 2a ∴ () 12 1 2
2212
n
n
nS +−
−−
．
21．12解析设正项等数列 }{ na 首项 1a 公 q：



+

3)1(
2
1
51
41
qqa
qa
： ＝ 1
32 q＝2 62 n
na − ．记 521 2
12 −+++
n
nn aaaT 
2
)1(
21 2
nn
nn aaa
−
  ． nnT  2
)1(
5 22
12 nnn −
−
化简：
5
2
11
2
1 2
212 +−
− nnn 52
11
2
1 2 +− nnn 时 122
12113 +n ．
n＝12 时 1212 T n＝13 时 1313 T max 12n ．
22．11解析 2120n n na a a+++ − 2 20n n na q a q a+ − 1 1a 知

0 1naq求公 2q − 5S 11．
23．2解析 22
21
12()52(1)52(1)52 2nnnnnaaaaqa qqqqq+++++ 解
数列递增数列 1 012aqq ．
24． 3
2
解析题意
2
1
1 2
111
443
31111
1
(1) 32 232201
(1)23220 321
aq aq a qa qaqq
aqa qa qaq aqq
 − +  −++−−−−++−  + −
两
式相减 423
111122330aqaqaqaq−−+ 42322330qqqq−−+
解 1q  （舍） 0q 3
2q ． 0q  ．
25．2 1 12 2
n − − 解析 3
41a a q 314 2 q 解 2q
1
12
1 (12) 12 2122
n
n
naaa −
−
+++− −
．
26．解析(1)条件 1
2( 1)
+
+nn
naan
．
1n 代入 214aa 1 1a 2 4a ．
2n 代入 323aa 3 12a ．
1 1b 2 2b 3 4b ．
(2){}nb 首项 1公 2 等数列．
条件 1 2
1
nnaa
nn
+ +
1 2+ nnbb 首项 1公 2 等
数列．
(3)(2) 12nna
n
− 12 −n
nan ．
27．解析(1)设{}na 公 q 题设 1n
naq− ．
已知 424qq 解 （舍） ．
1( 2)n
na −− 12n
na − ．
(2) 1 ( 2)
3
n
nS −− ．

63mS ( 2) 188m− − 方程没正整数解．
12 n
na − 21n
nS −． 2 64m 解 6m ．
综 ．
28．解析(1) 4 2a + 3a 5a 等差中项 354 24a a a+ +
3454 3428aaaa+++
解 4 8a ．
3520aa+ 18 ( ) 20q q+
1q  2q ．
(2)设 1()nnnnc b b a +− 数列 {}nc 前 n 项 nS．
1
1
1
2n
nn
Snc S S n−
  − ≥ 解 41ncn−．
(1)知
1
1
1(4 1) ( )2
n
nnb b n −
+ − − 
2
1
1(4 5) ( )2
n
nnb b n −
−− −  2n≥
1 1 1 2 3 2 2 1()()()()n n n n nb b b b b b b b b b− − −− − + − ++ − + −
231 1 1(4 5)() (4 9)() 7 32 2 2
nnnn−− − + − +++ ．
设 221 1 137 11() (4 5)()2 2 2
n
nTn−++  ++ − 
2 3 11 1 1 1 13 7() 11() (4 5)()2 2 2 2 2
n
nTn−+ + ++ −
2 2 11 1 1 1 134 4() 4() (4 5)()2 2 2 2 2
nn
nTn−−++ ++ − −
2114 (4 3) ( )2
n
nTn− − − 
1 1b 2115 (4 3) ( )2
n
nbn− − −  ．
29．解析（1）设{}na 公 q ．题设

1
2
1
( 1 ) 2
( 1 ) 6
aq
a q q
+
 + + −

解 2q − 1 2a − ．
{}na 通项公式 ( 2 ) n
na − ．
（2）（1）
1
1(1) 22()133 1
n n
n
n
aqS q
+−−−+−
．

321
21
42222()2[()]23 1 3313
nnn
nn
nnnSSS
+++
++
−+ −−++ − −
1nS + nS 2nS + 成等差数列．
30．解析设 {}na 公差 d {}nb 公 q 1 ( 1 )na n d − + − 1n
nbq− ．
222ab+
3dq+ ①
（1） 335ab+
226dq+ ②
联立①②解 3
0
d
q

 
（舍） 1
2
d
q

 

通项公式 12n
nb − ．
（2） 1 1b 3 21T 2 20 0qq+ −
解 5q − 4q ．
时① 8d 3 21S ．
时① 1d − 3 6S − ．
31．解析 (Ⅰ)设数列 公
题意知 1(1 ) 6aq+ 22
11a q a q ．

0na 
解 1 2a 2q
2 n
na ．
(Ⅱ)题意知 121
211
(21)() (21)2
n
nn
nbbSnb +
++
+++
2 1 1n n nS b b++ 1 0nb + 
21nbn+
令 n
n
n
bc a
21
2n n
nc +
12nnT c c c + + +
2 3 1
3 5 7 2 1 2 1
2 2 2 2 2nn
nn
−
−+ + + + + +
2 3 5 1
1 3 5 7 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2n nn
nnT +
−+ + + + + +
两式相减 2 1 1
1 3 1 1 1 2 1
2 2 2 2 2 2n nn
nT −+
+ + + + + −

255 2n n
nT +− ．
32．解析（Ⅰ）设等差数列 na 公差 d ．
2410aa+ 12 4 10ad+．
解 2d ．
21nan−．
（Ⅱ）设等数列 nb 公 q ．
2 4 5b b a 3
11 9b q b q．
解 2 3q ．
2 2 1
2 1 1 3nn
nb b q −−
− ．

21
13521
311333 2
n
n
nbbbb −
−
−++++++++ ．
33．解析（Ⅰ）题意
4
12
1
32 aa ．
（Ⅱ） 02)12( 11
2 −−− ++ nnnn aaaa )1()1(2 1 +++ nnnn aaaa ．
 na 项正数
2
11 +
n
n
a
a ．
首项 1 公
2
1 等数列 12
1
− nna ．
34．解析（Ⅰ）设数列 }{ na 公 q 已知 2
111
211
qaqaa − 解
12 − qq 631
)1( 6
1 −
− q
qaS n 知 1−q 6321
)21( 6
1 −
−a
解 11 a 12 − n
na
（Ⅱ）题意
2
1)2log2(log2
1)log(log2
1
2
1
2122 −++ −
+ naab nn
nnn 数列
}{ nb 首项
2
1 公差1等差数列
设数列 })1{( 2
n
n b− 前 n 项 nT
221
221
2
2
2
12
2
4
2
3
2
2
2
12 22
)(2)()()( nbbnbbbbbbbbbT n
nnnn +++++−+++−++− −
35．解析（Ⅰ）题设知 1 4 2 3 8a a a a 941 + aa
解





8
1
4
1
a
a 1
4
8
1
a
a

 
（舍）． 3
41a a q 公 2
1
1
− n
n qaa ＝2 1−n ．
（Ⅱ） 1(1 ) 211
n
n
n
aqS q
− −−
11
1 1 1
11n n n
n
n n n n n n
a S Sb SSSSSS
++
+ + +
− −
12
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )nn
nn
T b b b SSSSSS +
+++− + −++ −
1
11
1 1 1( ) 1 21n
nSS +
+
− − −
．

36．解析（Ⅰ） n 2 时 211458nnnnSSSS++−++
4
353354(1)5(1)8(1)124224 a++++++++ 解 4
7
8a ．
（Ⅱ） ( 2 )n ≥
21114444nnnnnnSSSSSS++−+−+−−
2144nnna a a+++ 312
544164 4aaa++

21
2 1 1
11
1
1
4 2 2 12
1 4 2 2(2 ) 2
2
nn
n n n n
n n n n
nn
aaa a a a
a a a aaa
++
+ + +
++
+
− −− −−−

数列 1
1{}2nnaa+ − 21
1 12aa−首项公 1
2
等数列．
（Ⅲ）（Ⅱ）知：数列 首项公 等数列
1
1
11()22
n
nnaa −
+ − ． 1
1
411()()22
nn
nn
aa+
+
−
数列{}1()2
n
n
a 1 21
2
a 首项公差 4 等差数列
2 ( 1) 4 4 21()2
n
n
a nn + −  − 111(4 2)() (2 1)()22
nn
na n n − −  − 
数列 na 通项公式 11(2 1) ( )2
n
nan − −  ．
37．解析（I） 1 31nnaa+ + 1
113( )22nnaa+ + + ．
1
13
22a + 1
2na+
首项 3
2
公 3 等数列．
13
22
n
na + 通项公式 31
2
n
na − ．
（Ⅱ）（I）知 12
31n
na −
．
1n  时 13 1 2 3nn−−   1
11
3 1 2 3nn−−
．
1
12
1 1 1 1 1 3 1 3 1 (1 )3 3 2 3 2nn
na a a −+ + +  + + + −  ．


12
1 1 1 3 2na a a+ + +  ．
38．解析(Ⅰ)设 {}na 公 q 题意 1
4
1
3
81
aq
aq

 
解 1 1
3
a
q

 

13n
na − ．
（Ⅱ） 3l og 1nnb a n −
数列 {}nb 前 n 项
2
1()
22
n
n
nbb nnS + −．
39．解析（Ⅰ）
23
2n
nnS − 1a 1 1S 2n  时 1 3 2 nnna S S n − − −
1n 时数列 na 通项公式 3 2 nan−
（Ⅱ） mn aaa 1 成等数列需 2
1nma a a
22(3 2) 1 (3 2) 3 4 2n m m n n−  − − + ．时  Nm mn
意 1n 成等数列
40．解析题意知 21
2 1 3
2
43
aa
a a a
−
 +
11
2
1 1 1
2
4 3 +
a q a
a q a a q
−
 

解 11
3
a
q

 
1 3 3 1
1 3 2
nn
nS −−−
．
1 1a 3q 31
2
n
nS − ．
41． 解析(Ⅰ)设等数列 na 公 q 22S− 3S 44S 成等差数列
3 2 4 324SSSS+ − 4 3 2 4SSSS− − 432aa− 4
3
1
2
aq a − ．
1
3
2a 等数列 通项公式
1
13 1 3( 1)2 2 2
n
n
n na
−
−  − − 
．
(Ⅱ) 11 2
n
nS  − −

122 (2 1)1 1 11 12 11 2 (2 1)2
n nn
n n
n
nn
n
SS
 + ++ − − +  −− −
奇数
2+ n偶数


n 奇数时 1
n
n
SS+ 增减 1
1
1 1 13
6n
n
SSSS+  + ．
偶数时 增减 2
2
1125
12n
n
SSSS++ ．
*nN 1 13
6n
n
SS+．
42． 解析（Ⅰ）设数列  na 公 q 2
3 2 6 9a a a 32
349aa 2 1
9q ．
条件知 0c  1
3q ．
122 3 1aa+ 122 3 1a a q+ 1
1
3a ．
数列 通项式 na 1
3n ．
（Ⅱ ） 31323nlogloglognbaaa+++
(1 2 )
( 1)
2
n
nn
− + + +
+−
1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n − − −++
12
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2((1 ) ( ) ( ))2 2 3 1 1n
n
b b b n n n+++− −+−++− −++
数列 1{}
nb
前 n 项 2
1
n
n− +
．
43．解析（Ⅰ）设{}na 公
22
1 2 31 2 2 2 3 3b a b aq q b aq q+ ++ + + ．
1 2 3b b b 成等数列 22(2 ) 2(3 )qq+ + ．
2
124 2 0 2 2 2 2q q q q− + + −解 ．
通项公式 11(2 2) (2 2) nn
nnaa−− + −
（Ⅱ ）设 公 22(2 ) (1 )(3 )aq a aq+ + +

2 4310(*)aqaqa−+− ．
20440aaa+ 方程（*）两实根
{}na 唯知方程（*）必根 0代入（*） 1 3a
44． 解析（Ⅰ）设 221 +nlll  构成等数列中 10 01 21 +ntt
2121 ++  nnn ttttT  ①
1221 ttttT nnn  ++  ②
①×②利 )21(102
2131 + +−+ nitttt nin
12lg10)()()()()2(2
12211221
2 + +
++++ nnTattttttttT nn
n
nnnnn 
（Ⅱ）题意（Ⅰ）中计算结果知 1)3tan()2tan( ++ nnnbn
方面利 tan)1tan(1
tan)1tan())1tan((1tan kk
kkkk ++
−+−+
11tan
tan)1tan(tan)1tan( −−++ kkkk

+

+
2
31
tan)1tan(
n
k
n
k
kn kkbS
1tan
3tan)3tan(
)11tan
tan)1tan((
2
3
nn
kkn
k
−−+
−−+ 
+



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