222数函数性质重难点题型举反三系列
知识点1 数函数定义
1数函数概念
般函数y＝logax(a＞0a≠1)做数函数中x变量函数定义域(0＋∞)
2两种特殊数函数
（1）常数函数：10底数函数
（2）然数函数：理数e底数函数
知识点2 数函数图象性质
数函数图象性质列表：
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0＋∞)
值域
R
定点
定点(10)x＝1时y＝0
函数值变化
0＜x＜1时y＜0
x＞1时y＞0
0＜x＜1时y＞0
x＞1时y＜0
单调性
(0＋∞)增函数
(0＋∞)减函数
温馨提示：掌握数函数图象性质关键理解图象特征利直观掌握函数性质
知识点3 反函数
指数函数中x变量yx函数定义域R值域（0+）
数函数中y变量xy函数定义域R值域（0+）
样两函数作互反函数
考点1 数函数概念
例1（2019秋•林芝县校级月考）列函数数函数（ ）
A．y＝log3（x+1）
B．y＝loga（2x）（a＞0a≠1）
C．y＝lnx
D．
分析根数函数定义出．
答案解：根数函数定义：y＝lnx数函数．
选：C．
点睛题考查数函数定义考查推理力计算力属基础题．
变式11出列函数：
①y＝x2②y＝log3（x﹣1）③y＝logx+1x④y＝logπx．
中数函数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析数函数定义次判断．
答案解：①y＝x2真数x2数函数
②y＝log3（x﹣1）真数x﹣1数函数
③y＝logx+1x底数x+1数函数
④y＝logπx数函数
选：A．
点睛题考查数函数定义应．
变式12列函数表达式中数函数（ ）
①y＝logx2②y＝logax（a∈R）③y＝log8x
④y＝lnx⑤y＝logx（x+2）⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析根数函数定义y＝logax（a＞0a≠1）逐分析定函数否指数函数结．
答案解：①y＝logx2数函数
②y＝logax（a∈R）数函数
③y＝log8x数函数
④y＝lnx数函数
⑤y＝logx（x+2）数函数
⑥y＝2log4x数函数
⑦y＝log2（x+1）数函数
综述数函数2
选：B．
点睛题考查知识点数函数定义熟练掌握数函数定义解答关键．
变式13列函数中数函数数（ ）
①y＝logax2（a＞0a≠1）②y＝log2x﹣1③y＝2log8x④y＝logxa（x＞0x≠1）⑤y＝log5x⑥y＝logax（a＞0a≠1）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析根数函数定义进行判断．
答案解：①y＝logax2（a＞0a≠1）真数变量x数函数
②y＝log2x﹣1数函数③y＝2log8x系数1数函数
④y＝logxa（x＞0x≠1）底数常数数函数
⑤y＝log5x满足数函数定义数函数
⑥y＝logax（a＞0a≠1）满足数函数定义数函数
数函数⑤⑥2
选：B．
点睛题考查函数概念判断根数函数定义解决题关键．
考点2 利数函数性质较
例2（2019秋•福田区校级月考）设abc关系（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
分析根数换底公式出出2＜log420＜log315出样出abc关系．
答案解：log54＞log53＞0
∴
∴2＝log416＜log420＜log315
∴a＜c＜b．
选：C．
点睛考查数换底公式指数函数数函数单调性增函数定义等式性质．
变式21（2019秋•天山区校级月考）已知正实数abc满足loga2＝2log3b＝c6＝7abc关系（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
分析根条件出出a6＝8b6＝9c6＝7abc正数样出abc关系．
答案解：∵loga2＝2log3b＝c6＝7
∴
∴a6＝8b6＝9c6＝7abc正数
∴c＜a＜b
选：C．
点睛考查数定义数指数互化指数运算幂函数单调性．
变式22（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log303b＝303c＝0302（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
分析容易出出abc关系．
答案解：∵log303＜log31＝0303＞30＝10＜0302＜030＝1
∴a＜c＜b．
选：B．
点睛考查数函数指数函数单调性增函数减函数定义．
变式23（2019•西湖区校级模拟）列关系式中成立（ ）
A．
B．
C．
D．
分析容易出出正确选项．
答案解：∵log34＞log33＝10＜0317＜030＝1log0310＜log031＝0
∴．
选：A．
点睛考查数函数指数函数单调性增函数减函数定义．
考点3 数函数关函数图象识
例3（2018秋•合阳县期末）已知a＞0b＞0ab＝1a≠1函数f（x）＝ax函数g（x）＝﹣logbx坐标系中图象（ ）
A． B．
C． D．
分析根ab正负利指数函数数函数性质判断确定出图象．
答案解：∵a＞0b＞0ab＝1a≠1
∴函数f（x）＝ax函数g（x）＝﹣logbx坐标系中图象
选：B．
点睛题考查指数函数数函数图象熟练掌握指数数函数图象性质解题关键．
变式31（2019•西湖区校级模拟）x∈R时函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1函数y＝loga||图象致（ ）
A． B．
C． D．
分析x∈R时函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1利指数函数图象性质0＜a＜1．先画出函数y＝loga|x|图象函数偶函数x＞0时y＝logax函数y＝loga||＝﹣loga|x|出图象．
答案解：∵x∈R时函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．
必0＜a＜1．
先画出函数y＝loga|x|图象：红颜色图象．
函数y＝loga||＝﹣loga|x|图象黑颜色图象．
选：B．
变式32（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝图象（ ）
A． B．
C． D．
分析先求出函数定义域判断函数奇函数图象关原点称排BC根函数值域排D．
答案解：∵f（x）＝
∴函数定义域（﹣∞0）∪（0+∞）
∵
∴函数f（x）奇函数图象关原点称
排BC
∵0＜x＜1时lnx＜0
∴f（x）＝＜0x∈（01）
排D．
选：A．
点睛题考查绝值函数函数值域奇偶性单调性属基础题．
变式33（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|图象（ ）
A． B．
C． D．
分析题研究数型函数图象特征函数y＝|lg（x+1）|图象函数y＝lg（x+1）图象X轴方部分翻折X轴部首先研究清楚函数y＝lg（x+1）图象图象特征选出正确选项
答案解：函数y＝lg（x+1）图象函数y＝lgx图象左移单位函数y＝lgx图象X轴交点（10）
函数y＝lg（x+1）图象X轴交点（00）函数y＝|lg（x+1）|图象X轴公点（00）
考察四选项中图象A选项符合题意
选：A．
点睛题考查数函数图象性质解答题关键掌握住数型函数图象图象变化 规律规律出函数y＝|lg（x+1）|图象特征特征判断出函数图象应该四选项中
考点4 数函数图象定点问题
例4（2018秋•赣州期中）函数y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）（a＞0a≠1）图象必定点（ ）
A．（） B．（0﹣） C．（） D．（）
分析根数函数性质求出定点坐标．
答案解：y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）＝loga（x2﹣1）
令x2﹣1＝1解：x＝±
x﹣1＞0解：x＞1
x＝
函数图象（0）
选：C．
点睛题考查数函数性质考查特殊值问题道基础题．
变式41（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0a≠1）图象必定点PP点坐标（ ）
A．（13） B．（﹣4） C．（﹣13） D．（﹣14）
分析令2x+3＝1求x值求P点坐标．
答案解：令2x+3＝1 x＝﹣1时y＝3．
函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0a≠1））图象必定点P坐标（﹣13）．
选：C．
点睛题考查数函数单调性特殊点属基础题．
变式42（2018秋•烟台期中）函数y＝loga（x+2）+ax+1+2（a＞0a≠1）图象必点（ ）
A．（02） B．（22） C．（﹣12） D．（﹣13）
分析根loga1＝0a0＝1求出定点坐标．
答案解：令x+2＝1解：x＝﹣1
y＝0+1+2＝3
图象（﹣13）
选：D．
点睛题考查数函数指数函数性质根loga1＝0a0＝1解题关键．
变式43（2019秋•赣州期末）已知a＞0a≠1f（x）＝loga图象恒点（ ）
A．（10） B．（﹣20） C．（﹣10） D．（14）
分析令＝1解x＝﹣2y＝0进f（x）＝loga图象恒点坐标．
答案解：令＝1
解：x＝﹣2
f（﹣2）＝loga1＝0恒成立
f（x）＝loga图象恒点（﹣20）
选：B．
点睛题考查知识点数函数图象性质熟练掌握数函数图象性质解答关键．
考点5 关数函数奇偶性问题
例5（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x）f（x）（ ）
A．f（x）奇函数（010）增函数
B．f（x）偶函数（010）增函数
C．f（x）奇函数（010）减函数
D．f（x）偶函数（010）减函数
分析求出函数定义域根函数奇偶性定义复合函数单调性判断．
答案解：：x∈（﹣1010）
函数f（x）定义域（﹣1010）关原点称
f（﹣x）＝lg（10﹣x）+lg（10+x）＝f（x）
函数f（x）偶函数
f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x）＝lg（100﹣x2）
y＝100﹣x2（010）递减y＝lgx（010）递增
函数f（x）（010）递减
选：D．
点睛题考查函数单调性函数奇偶性问题考查转化思想道基础题．
变式51（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝loga（x﹣m）图象点（40）（71）f（x）定义域（ ）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
分析（40）（71）代入f（x）列出方程组解出am根数函数性质判断．
答案解：∵f（x）图象点（40）（71）∴解．
∴f（x）＝log4（x﹣3）．∴f（x）增函数．
∵f（x）定义域（3+∞）关原点称．∴f（x）非奇非偶函数．
选：A．
点睛题考查数函数性质属基础题．
变式52（2019秋•新宁县校级期中）函数列说法正确（ ）
A．f（x）奇函数
B．f（x）偶函数
C．f（x）非奇非偶函数
D．f（x）奇函数偶函数
分析根函数奇偶性定义判断函数奇偶性．
答案解：＞0解：﹣1＜x＜1
函数f（x）定义域（﹣11）关原点称
f（﹣x）＝log2＝﹣log2＝﹣f（x）
f（x）奇函数
选：A．
点睛题考查函数奇偶性问题道基础题．
变式53（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x）g（x）＝ln（1﹣2x）f（x）+g（x）（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数偶函数
D．奇函数偶函数
分析首先令h（x）＝f（x）+g（x）求出h（x）定义域函数奇偶性定义求证．
答案解：令h（x）＝f（x）+g（x）＝ln（2x+1）+ln（1﹣2x）
：﹣＜x＜
h（x）定义域（﹣）
∴h（﹣x）＝ln（1﹣2x）+ln（1+2x）＝h（x）
h（x）偶函数．
选：B．
点睛题考查奇偶函数定义域求函数奇偶性定义属基础题．
考点6 数函数关定义域问题
例6（2018秋•肇庆期末）函数y＝定义域（ ）
A．（1+∞） B．[1+∞）
C．（12）∪（2+∞） D．（12）∪[3+∞）
分析根分式分母0数真数0建立关系式解．
答案解：函数意义
解x＞1x≠2
∴函数定义域（12）∪（2+∞）
选：C．
点睛题考查函数定义域求解属基础题做类题目关键找变量限制条件．
变式61（2019•西湖区校级模拟）函数定义域（ ）
A． B． C． D．
分析函数解析式列出等式进行求解．
答案解：题意解x＞
函数定义域
选：C．
点睛题考查函数定义域求法属基础题．
变式62（2018秋•宜宾期末）函数y＝定义域（ ）
A．（+∞） B．（1] C．（﹣∞1] D．[1+∞）
分析首先根式意义log05（4x﹣3）≥0然求解数等式原函数定义域．
答案解：原函数意义log05（4x﹣3）≥0
0＜4x﹣3≤1解．
原函数定义域（]．
选：B．
点睛题考查数函数定义域训练数等式解法基础计算题．
变式63（2018春•连城县校级月考）函数y＝定义域（ ）
A．[1+∞） B．（+∞） C．（1+∞） D．（1]
分析利数性质求解．
答案解：函数y＝定义域满足：
解．
选：D．
点睛题考查数函数定义域求法解题时注意数性质灵活运基础题．
考点7 数函数关值域问题
例7（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域 ．
分析运复合函数单调性分析函数值通配方求值域．
答案解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4
x＝1时u（x）取值4
∵函数y＝log4x（0+∞）增函数
∴u（x）取值时原函数取值
ymax＝log4u（x）max＝log44＝1
函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域（﹣∞1]
填：（﹣∞1]．
点睛题考查函数值域求法涉数函数单调性配方法二次函数性质属基础题．
变式71（2019春•赣榆区校级月考）函数值域 ．
分析先原函数y＝log05（x2+x+）转化两基函数令t＝x2+x+＝（x+）2+y＝log05t复合函数单调性求解．
答案解：令t＝x2+x+＝（x+）2+∈[+∞]
∵函数y＝log05t定义域减函数
∴y∈（﹣∞2]
答案（﹣∞2]．
点睛题考查复合函数单调性求函数值域题关键求出二次函数值域属基础题．
变式72（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5 2≤x≤4时值域 ．
分析利换元法令t＝2≤x≤4 ﹣1≤t≤﹣题意y＝＝（t﹣1）2+4函数[﹣1﹣]单调递减求函数值域．
答案解：令t＝
2≤x≤4﹣1≤t≤﹣
y＝＝（t﹣1）2+4
函数[﹣1﹣]单调递减
t＝﹣函数值t＝﹣1时函数值8
答案：{y|}
点睛题考查数运算性质换元法应二次函数性质应函数单调性应属基础知识简单综合试题．
变式73（2019秋•松江区期末）函数值域 ．
分析函数解析式x＜1时f（x）＞x≥1时f（x）≥0综f（x）值域．
答案解：函数
x＜1时f（x）＝＞．
x≥1时f（x）＝log2x≥log21＝0．
综f（x）≥0函数值域[0+∞）
答案[0+∞）．
点睛题考查求函数值域指数函数数函数单调性应体现分类讨数学思想属中档题．
考点8 数函数关值问题
例8（2019秋•离石区校级月考）设x≥0y≥0x+2y＝函数u＝log05（8xy+4y2+1）值 ．
分析已知中x≥0y≥0x+2y＝y∈[0]8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1结合二次函数图象性质数函数图象性质答案．
答案解：∵x+2y＝
∴x＝﹣2y
x≥0y≥0y∈[0]
8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1
令t＝﹣12y2+8y+1
y∈[0]时t∈[1]
u＝log05t减函数
t＝1时函数u＝log05（8xy+4y2+1）值0
答案：0．
点睛题考查知识点数函数值域值中熟练掌握数函数图象性质解答关键．
变式81（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝loga（x+1）[03]值值差2a值 ．
分析a分a＞10＜a＜1两类讨利函数单调性．
答案解：a＞1f（x）＝loga（x+1）[03]单调递增
∴f（x）max＝loga4＝2loga2
f（x）min＝loga1＝0
∵f（x）max﹣f（x）min＝2
∴2loga2﹣0＝2
∴loga2＝1a＝2
0＜a＜1f（x）＝loga（x+1）[03]单调递减
理a＝．
答案：2．
点睛题考查数函数单调性值考查分类讨思想属中档题．
变式82（2019春•天津期末）函数y＝loga（x2﹣ax+1）值a取值范围 ．
分析先根复合函数单调性确定函数g（x）＝x2﹣ax+1单调性进分a＞10＜a＜1两种情况讨：①a＞1时考虑数函数图象性质x2﹣ax+1函数值恒正②0＜a＜1时△＝a2﹣4＜0恒成立x2﹣ax+1没值函数y＝loga（x2﹣ax+1）值．取两种情形集．
答案解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0a≠1）
①a＞1时y＝logaxR+单调递增
∴y＝loga（x2﹣ax+1）值必须g（x）min＞0
∴△＜0
解﹣2＜a＜2
∴1＜a＜2
②0＜a＜1时g（x）＝x2﹣ax+1没值函数y＝loga（x2﹣ax+1）值符合题意．
综述：1＜a＜2
答案：1＜a＜2．
点睛题考查数函数值域值着重考查复合函数单调性突出分类讨转化思想考查中档题．
变式83（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3xx∈[19]函数y＝[f（x）]2+f（x2）值 ．
分析根f（x）定义域[19]先求出y＝[f（x）]2+f（x2）定义域[13]然利二次函数值求函数g（x）＝[f（x）]2+f（x2）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3值．
答案解：f（x）定义域[19]y＝[f（x）]2+f（x2）定义域[13]
g（x）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3
∵1≤x≤3∴0≤log3x≤1．
∴x＝3时g（x）值13．
答案：13
点睛根f（x）定义域先求出g（x）定义域正确解题关键步骤属易错题．
考点9 数函数单调性关问题
例9（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝loga（x+3）﹣loga（3﹣x）a＞0a≠1．
（1）求函数f（x）定义域
（2）判断证明函数f（x）奇偶性
（3）a＞1指出函数单调性求函数f（x）区间[01]值．
分析（1）题意求定义域
（2）判断函数f（x）奇函数证明
（3）a＞1时复合函数单调性四运算f（x）增函数求值．
答案解：（1）题意知
解﹣3＜x＜3
函数f（x）定义域（﹣33）
（2）函数f（x）奇函数证明
函数f（x）定义域（﹣33）关原点称
f（﹣x）＝loga（﹣x+3）﹣loga（3+x）＝﹣f（x）
函数f（x）奇函数．
（3）a＞1时复合函数单调性四运算
f（x）＝loga（x+3）﹣loga（3﹣x）增函数
函数f（x）区间[01]单调递增
fmax（x）＝f（1）＝loga2．
点睛题考查函数定义域奇偶性单调性值判断应属基础题．
变式91（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝loga（a＞0a≠1m≠﹣1）定义区间（﹣11）奇函数
（1）求f（0）值实数m值
（2）判断函数f（x）区间（﹣11）单调性说明理
（3）f（）＞0f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立求实数b取值范围．
分析（1）根奇函数特性f（0）＝0f（﹣x）＝﹣f（x）m≠﹣1实数m值
（2）结合数函数图象性质复合函数增异减原函数f（x）区间（﹣11）单调性
（3）f（）＞0函数f（x）区间（﹣11）单调递增结合函数定义域奇偶性解等式实数b取值范围．
答案解：（1）∵f（x）＝loga（a＞0a≠1m≠﹣1）定义区间（﹣11）奇函数
∴f（0）＝0
f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣
+＝＝loga1＝0
m2＝1
∵m≠﹣1
m＝1
（2）（1）f（x）＝＝
令t＝t区间（﹣11）单调递减
0＜a＜1时y＝logat减函数时函数f（x）区间（﹣11）单调递增
a＞1时y＝logat增函数时函数f（x）区间（﹣11）单调递减
（3）f（）＝＞00＜a＜1（1）函数f（x）区间（﹣11）单调递增
f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0
f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2）
f（b﹣2）＞f（2﹣2b）
﹣1＜2﹣2b＜b﹣2＜1
解：b∈（）
点睛题考查知识点数函数图象性质难度属基础题．
变式92（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．
（1）求函数定义域．
（2）讨函数f（x）奇偶性．
（3）判断函数f（x）单调性定义证明．
分析（1）解等式出x范围出函数f（x）定义域
（2）﹣x代入函数f（x）解析式利数运算性质f（﹣x）＝﹣f（x）出答案
（3）区间（1+∞）取x1＞x2＞1作差f（x1）﹣f（x2）通数运算性质数函数单调性出差值f（x1）﹣f（x2）符号出函数f（x）区间（1+∞）单调性利样方法出函数f（x）区间（﹣∞1）单调性．
答案解：（1）
零负数数x＜﹣1x＞1
定义域（﹣∞﹣1）∪（1+∞）
（2）函数f（x）定义域（﹣∞﹣1）∪（1+∞）关原点称
＝
函数f（x）奇函数
（3）函数f（x）区间（﹣∞﹣1）（1+∞）减函数
面利定义证明．
先利定义证明函数f（x）区间（1+∞）单调性．
取x1＞x2＞1＝
＝
∵x1＞x2＞1x1x2+x2﹣x1﹣1＜x1x2+x1﹣x2﹣1
时ga1＝0f（x1）＜f（x2）
函数f（x）区间（1+∞）单调递减
理证函数f（x）区间（﹣∞﹣1）减函数．
点睛题考察函数定义域求解考察数型函数奇偶性单调性定义关键利定义判断函数基性质熟悉定义法判断函数基性质基步骤属中等题．
变式93（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．
（1）求函数f（x）定义域判断f（x）奇偶性．
（2）判断函数f（x）定义域单调性单调性定义证明结．
（3）解关x等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．
分析（1）根数函数性质函数定义域根函数奇偶性定义判断函数奇偶性
（2）根函数单调性定义判断函数单调性
（3）根函数单调性函数奇偶性判断．
答案解：（1）函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）意义
必须满足解：﹣1＜x＜1
∴函数f（x）定义域（﹣11）
综述结：函数f（x）定义域（﹣11）．
f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）
＝log3（）．
f（﹣x）＝log3＝﹣log3．
∴f（x）奇函数．
（2）函数f（x）＝log3（）
区间（﹣11）取两变量x1x2
设x1＜x2f（x1）﹣f（x2）＝log3
（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0
（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2）
∵﹣1＜x1＜x2＜1∴1+x1＞01﹣x2＞0
∵（1+x1）（1﹣x2）＞0∴＜1
∴log3＜0f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）定义域单调递增函数．
（3）∵f（x）奇函数
∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0
∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1）
∵f（x）定义域单调递增
∴1﹣x＞x2﹣1
x2+x﹣2＜0（x+2）（x﹣1）＜0
∴﹣2＜x＜1
解：0＜x＜
综：0＜x＜1．
点睛题考查函数单调性奇偶性问题考查导数应转化思想道中档题．
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知识点1 数函数定义
1数函数概念
般函数y＝logax(a＞0a≠1)做数函数中x变量函数定义域(0＋∞)
2两种特殊数函数
（1）常数函数：10底数函数
（2）然数函数：理数e底数函数
知识点2 数函数图象性质
数函数图象性质列表：
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0＋∞)
值域
R
定点
定点(10)x＝1时y＝0
函数值变化
0＜x＜1时y＜0
x＞1时y＞0
0＜x＜1时y＞0
x＞1时y＜0
单调性
(0＋∞)增函数
(0＋∞)减函数
温馨提示：掌握数函数图象性质关键理解图象特征利直观掌握函数性质
知识点3 反函数
指数函数中x变量yx函数定义域R值域（0+）
数函数中y变量xy函数定义域R值域（0+）
样两函数作互反函数
考点1 数函数概念
例1（2019秋•林芝县校级月考）列函数数函数（ ）
A．y＝log3（x+1）
B．y＝loga（2x）（a＞0a≠1）
C．y＝lnx
D．
分析根数函数定义出．
答案解：根数函数定义：y＝lnx数函数．
选：C．
点睛题考查数函数定义考查推理力计算力属基础题．
变式11出列函数：
①y＝x2②y＝log3（x﹣1）③y＝logx+1x④y＝logπx．
中数函数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析数函数定义次判断．
答案解：①y＝x2真数x2数函数
②y＝log3（x﹣1）真数x﹣1数函数
③y＝logx+1x底数x+1数函数
④y＝logπx数函数
选：A．
点睛题考查数函数定义应．
变式12列函数表达式中数函数（ ）
①y＝logx2②y＝logax（a∈R）③y＝log8x
④y＝lnx⑤y＝logx（x+2）⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析根数函数定义y＝logax（a＞0a≠1）逐分析定函数否指数函数结．
答案解：①y＝logx2数函数
②y＝logax（a∈R）数函数
③y＝log8x数函数
④y＝lnx数函数
⑤y＝logx（x+2）数函数
⑥y＝2log4x数函数
⑦y＝log2（x+1）数函数
综述数函数2
选：B．
点睛题考查知识点数函数定义熟练掌握数函数定义解答关键．
变式13列函数中数函数数（ ）
①y＝logax2（a＞0a≠1）②y＝log2x﹣1③y＝2log8x④y＝logxa（x＞0x≠1）⑤y＝log5x⑥y＝logax（a＞0a≠1）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析根数函数定义进行判断．
答案解：①y＝logax2（a＞0a≠1）真数变量x数函数
②y＝log2x﹣1数函数③y＝2log8x系数1数函数
④y＝logxa（x＞0x≠1）底数常数数函数
⑤y＝log5x满足数函数定义数函数
⑥y＝logax（a＞0a≠1）满足数函数定义数函数
数函数⑤⑥2
选：B．
点睛题考查函数概念判断根数函数定义解决题关键．
考点2 利数函数性质较
例2（2019秋•福田区校级月考）设abc关系（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
分析根数换底公式出出2＜log420＜log315出样出abc关系．
答案解：log54＞log53＞0
∴
∴2＝log416＜log420＜log315
∴a＜c＜b．
选：C．
点睛考查数换底公式指数函数数函数单调性增函数定义等式性质．
变式21（2019秋•天山区校级月考）已知正实数abc满足loga2＝2log3b＝c6＝7abc关系（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
分析根条件出出a6＝8b6＝9c6＝7abc正数样出abc关系．
答案解：∵loga2＝2log3b＝c6＝7
∴
∴a6＝8b6＝9c6＝7abc正数
∴c＜a＜b
选：C．
点睛考查数定义数指数互化指数运算幂函数单调性．
变式22（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log303b＝303c＝0302（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
分析容易出出abc关系．
答案解：∵log303＜log31＝0303＞30＝10＜0302＜030＝1
∴a＜c＜b．
选：B．
点睛考查数函数指数函数单调性增函数减函数定义．
变式23（2019•西湖区校级模拟）列关系式中成立（ ）
A．
B．
C．
D．
分析容易出出正确选项．
答案解：∵log34＞log33＝10＜0317＜030＝1log0310＜log031＝0
∴．
选：A．
点睛考查数函数指数函数单调性增函数减函数定义．
考点3 数函数关函数图象识
例3（2018秋•合阳县期末）已知a＞0b＞0ab＝1a≠1函数f（x）＝ax函数g（x）＝﹣logbx坐标系中图象（ ）
A． B．
C． D．
分析根ab正负利指数函数数函数性质判断确定出图象．
答案解：∵a＞0b＞0ab＝1a≠1
∴函数f（x）＝ax函数g（x）＝﹣logbx坐标系中图象
选：B．
点睛题考查指数函数数函数图象熟练掌握指数数函数图象性质解题关键．
变式31（2019•西湖区校级模拟）x∈R时函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1函数y＝loga||图象致（ ）
A． B．
C． D．
分析x∈R时函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1利指数函数图象性质0＜a＜1．先画出函数y＝loga|x|图象函数偶函数x＞0时y＝logax函数y＝loga||＝﹣loga|x|出图象．
答案解：∵x∈R时函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．
必0＜a＜1．
先画出函数y＝loga|x|图象：红颜色图象．
函数y＝loga||＝﹣loga|x|图象黑颜色图象．
选：B．
变式32（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝图象（ ）
A． B．
C． D．
分析先求出函数定义域判断函数奇函数图象关原点称排BC根函数值域排D．
答案解：∵f（x）＝
∴函数定义域（﹣∞0）∪（0+∞）
∵
∴函数f（x）奇函数图象关原点称
排BC
∵0＜x＜1时lnx＜0
∴f（x）＝＜0x∈（01）
排D．
选：A．
点睛题考查绝值函数函数值域奇偶性单调性属基础题．
变式33（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|图象（ ）
A． B．
C． D．
分析题研究数型函数图象特征函数y＝|lg（x+1）|图象函数y＝lg（x+1）图象X轴方部分翻折X轴部首先研究清楚函数y＝lg（x+1）图象图象特征选出正确选项
答案解：函数y＝lg（x+1）图象函数y＝lgx图象左移单位函数y＝lgx图象X轴交点（10）
函数y＝lg（x+1）图象X轴交点（00）函数y＝|lg（x+1）|图象X轴公点（00）
考察四选项中图象A选项符合题意
选：A．
点睛题考查数函数图象性质解答题关键掌握住数型函数图象图象变化 规律规律出函数y＝|lg（x+1）|图象特征特征判断出函数图象应该四选项中
考点4 数函数图象定点问题
例4（2018秋•赣州期中）函数y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）（a＞0a≠1）图象必定点（ ）
A．（） B．（0﹣） C．（） D．（）
分析根数函数性质求出定点坐标．
答案解：y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）＝loga（x2﹣1）
令x2﹣1＝1解：x＝±
x﹣1＞0解：x＞1
x＝
函数图象（0）
选：C．
点睛题考查数函数性质考查特殊值问题道基础题．
变式41（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0a≠1）图象必定点PP点坐标（ ）
A．（13） B．（﹣4） C．（﹣13） D．（﹣14）
分析令2x+3＝1求x值求P点坐标．
答案解：令2x+3＝1 x＝﹣1时y＝3．
函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0a≠1））图象必定点P坐标（﹣13）．
选：C．
点睛题考查数函数单调性特殊点属基础题．
变式42（2018秋•烟台期中）函数y＝loga（x+2）+ax+1+2（a＞0a≠1）图象必点（ ）
A．（02） B．（22） C．（﹣12） D．（﹣13）
分析根loga1＝0a0＝1求出定点坐标．
答案解：令x+2＝1解：x＝﹣1
y＝0+1+2＝3
图象（﹣13）
选：D．
点睛题考查数函数指数函数性质根loga1＝0a0＝1解题关键．
变式43（2019秋•赣州期末）已知a＞0a≠1f（x）＝loga图象恒点（ ）
A．（10） B．（﹣20） C．（﹣10） D．（14）
分析令＝1解x＝﹣2y＝0进f（x）＝loga图象恒点坐标．
答案解：令＝1
解：x＝﹣2
f（﹣2）＝loga1＝0恒成立
f（x）＝loga图象恒点（﹣20）
选：B．
点睛题考查知识点数函数图象性质熟练掌握数函数图象性质解答关键．
考点5 关数函数奇偶性问题
例5（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x）f（x）（ ）
A．f（x）奇函数（010）增函数
B．f（x）偶函数（010）增函数
C．f（x）奇函数（010）减函数
D．f（x）偶函数（010）减函数
分析求出函数定义域根函数奇偶性定义复合函数单调性判断．
答案解：：x∈（﹣1010）
函数f（x）定义域（﹣1010）关原点称
f（﹣x）＝lg（10﹣x）+lg（10+x）＝f（x）
函数f（x）偶函数
f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x）＝lg（100﹣x2）
y＝100﹣x2（010）递减y＝lgx（010）递增
函数f（x）（010）递减
选：D．
点睛题考查函数单调性函数奇偶性问题考查转化思想道基础题．
变式51（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝loga（x﹣m）图象点（40）（71）f（x）定义域（ ）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
分析（40）（71）代入f（x）列出方程组解出am根数函数性质判断．
答案解：∵f（x）图象点（40）（71）∴解．
∴f（x）＝log4（x﹣3）．∴f（x）增函数．
∵f（x）定义域（3+∞）关原点称．∴f（x）非奇非偶函数．
选：A．
点睛题考查数函数性质属基础题．
变式52（2019秋•新宁县校级期中）函数列说法正确（ ）
A．f（x）奇函数
B．f（x）偶函数
C．f（x）非奇非偶函数
D．f（x）奇函数偶函数
分析根函数奇偶性定义判断函数奇偶性．
答案解：＞0解：﹣1＜x＜1
函数f（x）定义域（﹣11）关原点称
f（﹣x）＝log2＝﹣log2＝﹣f（x）
f（x）奇函数
选：A．
点睛题考查函数奇偶性问题道基础题．
变式53（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x）g（x）＝ln（1﹣2x）f（x）+g（x）（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数偶函数
D．奇函数偶函数
分析首先令h（x）＝f（x）+g（x）求出h（x）定义域函数奇偶性定义求证．
答案解：令h（x）＝f（x）+g（x）＝ln（2x+1）+ln（1﹣2x）
：﹣＜x＜
h（x）定义域（﹣）
∴h（﹣x）＝ln（1﹣2x）+ln（1+2x）＝h（x）
h（x）偶函数．
选：B．
点睛题考查奇偶函数定义域求函数奇偶性定义属基础题．
考点6 数函数关定义域问题
例6（2018秋•肇庆期末）函数y＝定义域（ ）
A．（1+∞） B．[1+∞）
C．（12）∪（2+∞） D．（12）∪[3+∞）
分析根分式分母0数真数0建立关系式解．
答案解：函数意义
解x＞1x≠2
∴函数定义域（12）∪（2+∞）
选：C．
点睛题考查函数定义域求解属基础题做类题目关键找变量限制条件．
变式61（2019•西湖区校级模拟）函数定义域（ ）
A． B． C． D．
分析函数解析式列出等式进行求解．
答案解：题意解x＞
函数定义域
选：C．
点睛题考查函数定义域求法属基础题．
变式62（2018秋•宜宾期末）函数y＝定义域（ ）
A．（+∞） B．（1] C．（﹣∞1] D．[1+∞）
分析首先根式意义log05（4x﹣3）≥0然求解数等式原函数定义域．
答案解：原函数意义log05（4x﹣3）≥0
0＜4x﹣3≤1解．
原函数定义域（]．
选：B．
点睛题考查数函数定义域训练数等式解法基础计算题．
变式63（2018春•连城县校级月考）函数y＝定义域（ ）
A．[1+∞） B．（+∞） C．（1+∞） D．（1]
分析利数性质求解．
答案解：函数y＝定义域满足：
解．
选：D．
点睛题考查数函数定义域求法解题时注意数性质灵活运基础题．
考点7 数函数关值域问题
例7（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域 ．
分析运复合函数单调性分析函数值通配方求值域．
答案解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4
x＝1时u（x）取值4
∵函数y＝log4x（0+∞）增函数
∴u（x）取值时原函数取值
ymax＝log4u（x）max＝log44＝1
函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域（﹣∞1]
填：（﹣∞1]．
点睛题考查函数值域求法涉数函数单调性配方法二次函数性质属基础题．
变式71（2019春•赣榆区校级月考）函数值域 ．
分析先原函数y＝log05（x2+x+）转化两基函数令t＝x2+x+＝（x+）2+y＝log05t复合函数单调性求解．
答案解：令t＝x2+x+＝（x+）2+∈[+∞]
∵函数y＝log05t定义域减函数
∴y∈（﹣∞2]
答案（﹣∞2]．
点睛题考查复合函数单调性求函数值域题关键求出二次函数值域属基础题．
变式72（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5 2≤x≤4时值域 ．
分析利换元法令t＝2≤x≤4 ﹣1≤t≤﹣题意y＝＝（t﹣1）2+4函数[﹣1﹣]单调递减求函数值域．
答案解：令t＝
2≤x≤4﹣1≤t≤﹣
y＝＝（t﹣1）2+4
函数[﹣1﹣]单调递减
t＝﹣函数值t＝﹣1时函数值8
答案：{y|}
点睛题考查数运算性质换元法应二次函数性质应函数单调性应属基础知识简单综合试题．
变式73（2019秋•松江区期末）函数值域 ．
分析函数解析式x＜1时f（x）＞x≥1时f（x）≥0综f（x）值域．
答案解：函数
x＜1时f（x）＝＞．
x≥1时f（x）＝log2x≥log21＝0．
综f（x）≥0函数值域[0+∞）
答案[0+∞）．
点睛题考查求函数值域指数函数数函数单调性应体现分类讨数学思想属中档题．
考点8 数函数关值问题
例8（2019秋•离石区校级月考）设x≥0y≥0x+2y＝函数u＝log05（8xy+4y2+1）值 ．
分析已知中x≥0y≥0x+2y＝y∈[0]8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1结合二次函数图象性质数函数图象性质答案．
答案解：∵x+2y＝
∴x＝﹣2y
x≥0y≥0y∈[0]
8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1
令t＝﹣12y2+8y+1
y∈[0]时t∈[1]
u＝log05t减函数
t＝1时函数u＝log05（8xy+4y2+1）值0
答案：0．
点睛题考查知识点数函数值域值中熟练掌握数函数图象性质解答关键．
变式81（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝loga（x+1）[03]值值差2a值 ．
分析a分a＞10＜a＜1两类讨利函数单调性．
答案解：a＞1f（x）＝loga（x+1）[03]单调递增
∴f（x）max＝loga4＝2loga2
f（x）min＝loga1＝0
∵f（x）max﹣f（x）min＝2
∴2loga2﹣0＝2
∴loga2＝1a＝2
0＜a＜1f（x）＝loga（x+1）[03]单调递减
理a＝．
答案：2．
点睛题考查数函数单调性值考查分类讨思想属中档题．
变式82（2019春•天津期末）函数y＝loga（x2﹣ax+1）值a取值范围 ．
分析先根复合函数单调性确定函数g（x）＝x2﹣ax+1单调性进分a＞10＜a＜1两种情况讨：①a＞1时考虑数函数图象性质x2﹣ax+1函数值恒正②0＜a＜1时△＝a2﹣4＜0恒成立x2﹣ax+1没值函数y＝loga（x2﹣ax+1）值．取两种情形集．
答案解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0a≠1）
①a＞1时y＝logaxR+单调递增
∴y＝loga（x2﹣ax+1）值必须g（x）min＞0
∴△＜0
解﹣2＜a＜2
∴1＜a＜2
②0＜a＜1时g（x）＝x2﹣ax+1没值函数y＝loga（x2﹣ax+1）值符合题意．
综述：1＜a＜2
答案：1＜a＜2．
点睛题考查数函数值域值着重考查复合函数单调性突出分类讨转化思想考查中档题．
变式83（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3xx∈[19]函数y＝[f（x）]2+f（x2）值 ．
分析根f（x）定义域[19]先求出y＝[f（x）]2+f（x2）定义域[13]然利二次函数值求函数g（x）＝[f（x）]2+f（x2）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3值．
答案解：f（x）定义域[19]y＝[f（x）]2+f（x2）定义域[13]
g（x）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3
∵1≤x≤3∴0≤log3x≤1．
∴x＝3时g（x）值13．
答案：13
点睛根f（x）定义域先求出g（x）定义域正确解题关键步骤属易错题．
考点9 数函数单调性关问题
例9（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝loga（x+3）﹣loga（3﹣x）a＞0a≠1．
（1）求函数f（x）定义域
（2）判断证明函数f（x）奇偶性
（3）a＞1指出函数单调性求函数f（x）区间[01]值．
分析（1）题意求定义域
（2）判断函数f（x）奇函数证明
（3）a＞1时复合函数单调性四运算f（x）增函数求值．
答案解：（1）题意知
解﹣3＜x＜3
函数f（x）定义域（﹣33）
（2）函数f（x）奇函数证明
函数f（x）定义域（﹣33）关原点称
f（﹣x）＝loga（﹣x+3）﹣loga（3+x）＝﹣f（x）
函数f（x）奇函数．
（3）a＞1时复合函数单调性四运算
f（x）＝loga（x+3）﹣loga（3﹣x）增函数
函数f（x）区间[01]单调递增
fmax（x）＝f（1）＝loga2．
点睛题考查函数定义域奇偶性单调性值判断应属基础题．
变式91（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝loga（a＞0a≠1m≠﹣1）定义区间（﹣11）奇函数
（1）求f（0）值实数m值
（2）判断函数f（x）区间（﹣11）单调性说明理
（3）f（）＞0f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立求实数b取值范围．
分析（1）根奇函数特性f（0）＝0f（﹣x）＝﹣f（x）m≠﹣1实数m值
（2）结合数函数图象性质复合函数增异减原函数f（x）区间（﹣11）单调性
（3）f（）＞0函数f（x）区间（﹣11）单调递增结合函数定义域奇偶性解等式实数b取值范围．
答案解：（1）∵f（x）＝loga（a＞0a≠1m≠﹣1）定义区间（﹣11）奇函数
∴f（0）＝0
f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣
+＝＝loga1＝0
m2＝1
∵m≠﹣1
m＝1
（2）（1）f（x）＝＝
令t＝t区间（﹣11）单调递减
0＜a＜1时y＝logat减函数时函数f（x）区间（﹣11）单调递增
a＞1时y＝logat增函数时函数f（x）区间（﹣11）单调递减
（3）f（）＝＞00＜a＜1（1）函数f（x）区间（﹣11）单调递增
f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0
f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2）
f（b﹣2）＞f（2﹣2b）
﹣1＜2﹣2b＜b﹣2＜1
解：b∈（）
点睛题考查知识点数函数图象性质难度属基础题．
变式92（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．
（1）求函数定义域．
（2）讨函数f（x）奇偶性．
（3）判断函数f（x）单调性定义证明．
分析（1）解等式出x范围出函数f（x）定义域
（2）﹣x代入函数f（x）解析式利数运算性质f（﹣x）＝﹣f（x）出答案
（3）区间（1+∞）取x1＞x2＞1作差f（x1）﹣f（x2）通数运算性质数函数单调性出差值f（x1）﹣f（x2）符号出函数f（x）区间（1+∞）单调性利样方法出函数f（x）区间（﹣∞1）单调性．
答案解：（1）
零负数数x＜﹣1x＞1
定义域（﹣∞﹣1）∪（1+∞）
（2）函数f（x）定义域（﹣∞﹣1）∪（1+∞）关原点称
＝
函数f（x）奇函数
（3）函数f（x）区间（﹣∞﹣1）（1+∞）减函数
面利定义证明．
先利定义证明函数f（x）区间（1+∞）单调性．
取x1＞x2＞1＝
＝
∵x1＞x2＞1x1x2+x2﹣x1﹣1＜x1x2+x1﹣x2﹣1
时ga1＝0f（x1）＜f（x2）
函数f（x）区间（1+∞）单调递减
理证函数f（x）区间（﹣∞﹣1）减函数．
点睛题考察函数定义域求解考察数型函数奇偶性单调性定义关键利定义判断函数基性质熟悉定义法判断函数基性质基步骤属中等题．
变式93（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．
（1）求函数f（x）定义域判断f（x）奇偶性．
（2）判断函数f（x）定义域单调性单调性定义证明结．
（3）解关x等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．
分析（1）根数函数性质函数定义域根函数奇偶性定义判断函数奇偶性
（2）根函数单调性定义判断函数单调性
（3）根函数单调性函数奇偶性判断．
答案解：（1）函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）意义
必须满足解：﹣1＜x＜1
∴函数f（x）定义域（﹣11）
综述结：函数f（x）定义域（﹣11）．
f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）
＝log3（）．
f（﹣x）＝log3＝﹣log3．
∴f（x）奇函数．
（2）函数f（x）＝log3（）
区间（﹣11）取两变量x1x2
设x1＜x2f（x1）﹣f（x2）＝log3
（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0
（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2）
∵﹣1＜x1＜x2＜1∴1+x1＞01﹣x2＞0
∵（1+x1）（1﹣x2）＞0∴＜1
∴log3＜0f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）定义域单调递增函数．
（3）∵f（x）奇函数
∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0
∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1）
∵f（x）定义域单调递增
∴1﹣x＞x2﹣1
x2+x﹣2＜0（x+2）（x﹣1）＜0
∴﹣2＜x＜1
解：0＜x＜
综：0＜x＜1．
点睛题考查函数单调性奇偶性问题考查导数应转化思想道中档题．
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