传染病模型
摘
社会开始意识通定量研究传染病传播规律建立传染病传播模型预测控制传染病提供足够信息文利微分方程稳定性理传统传染病动力学建模方式进行综述针甲流SARS等新生传染病模型进行建模分析
类型传染病传播程特点医学角度分析种传染病传播般传播机理分析建立种模型简单模型SI模型SIS模型SIR模型等文中应传染病动力学模型描述疾病发展变化程传播规律运联立微分方程组体现疫情发展程中类果联系基础建立方程求解算法然通助Matlab程序拟合出实际较符合曲线进行疫情预测评估种控制措施效果断完善文中模型
文简难全面评价该模型合理性实性模型数做较扼分析进步改进模型妥处时问题进行较全面评价基础引入更全面合理假设运双线性函数模型卫生部措施进行评价出建议做模型完善优化工作
关键词：传染病模型简单模型SISISSIR微分方程Matlab
问题重述
种传染病（SARS甲型H1N1）正流行现希建立适数学模型利已掌握数资料该传染病进行效研究期传播蔓延进行必控制减少民生命财产损失考虑问题建立适数学模型进行定较分析评价展
1考虑环境限制设单位时间感染数增长率常数建立模型求t时刻感染数
2假设单位时间感染数增长率感染数线性函数感染时增长率零建立模型求t时刻感染数
3假设总口分传染病患者易感染者易感染者患病者接触病患病者会治愈减少该传染病具强免疫功建立模型分析t时刻患病者易感染者关系传染情况（流行趋势否终消灭）进行预测
二问题分析
1涉传染病传播情况实际问题中涉传染病感染数时间变化情况初始资料通建立相应微分方程模型加解决
2问题表述中已出子问题相应假设
3实际中感染数离散变量具连续微性利建立微分方程模型短时间改变少数口种变化整体口相微 利数学工具建立微分方程模型需基假设：感染数时间连续微函数
三模型假设
模型二模型三假设条件：
假设：疾病传播期考察区总数N变考虑生死考虑迁移群分易感染者（Susceptible）已感染者（Infective）两类（取两词第字母称SI模型）简称健康者病时刻t两类总数中占例分记作s(t)i(t)
假设二：病天效接触均数常数称日接触率病健康者接触时健康者受感染变病
假设三：模型三假设假设二基础进行考虑然设病天治愈例称日治愈率病治愈成感染健康者显然1种传染病均传染期
模型四假设条件：
假设四：总数N变群分健康者病病愈免疫移出者（Removed）三类称SIR模型三类总数N中占例分记作s(t)i(t)r(t)
假设五：病日接触率l日治愈率m（SI模型相）传染期接触 slm
四符号说明
t ······························· 某具体时刻
x(t)·····························病数
·······························天病效接触数
N································总数
s(t)·····························健康者总数
i(t)·····························病总数
i······························初始时刻病例
t····························病值
····························日治愈率
1···························均传染率
·····························接触率
r(t)···························移出者
s·····························初始时刻健康者例
五模型建立求解
模型1
简单模型中设时刻t病数x(t)连续微函数天病效接触（足致病接触）数常数考察t病数增加
方程（1）解
结果表明着t增加病数x(t)限增长显然符合实际
建模失败原：病效接触群中健康病中健康传染病改进模型中必须区两种
模型2（SI模型）
方程（5）Logistic模型解
时病增加快认医院门诊量天预示着传染病高潮医疗卫生部门关注时刻
原模型中没考虑病治愈群中健康者变成病病会变成健康者
模型3（SIS模型）
传染病伤风痢疾等愈合免疫力低假定免疫性病治愈变成健康者健康者感染变成病模型成SIS模型
考虑模型假设条件
（8）
微分方程
0 （9）
定义
（10）
中整传染期病效接触均数称接触数
（11）
模型4（SIR模型）
数传染者天花 流感 肝炎 麻疹等治愈均强免疫力病愈非健康者（易感染者）非病（已感染者）移传染系统称移者记R类
SIR模型指易感染者传染变感染住感病者治愈会产生免疫力变移者员流动图：SIR
1模型构成：
假设1中显然：
s(t) + i(t) + r(t) 1 （12）
病愈免疫移出者数量应
（13）
妨设初始时刻易感染者染病者恢复者例分（＞0）（＞0）0SIR基础模型微分方程组表示：
（14）
s(t) i(t)求解极度困难先做数值计算预估计s(t) i(t)般变化规律
2数值计算
方程（3）中设λ1μ03i（0） 002s（0）098MATLAB软件编程：
function yill(tx)
a1b03
y[a*x(1)*x(2)b*x(1)a*x(1)*x(2)]
ts050
x0[020098]
[tx]ode45(＇ill＇tsx0)
plot(tx(1)tx(2))
pause
plot(x(2)x(1))
输出简明计算结果列入表1i(t) s(t)图形两图形i~s图形称相轨线初值i(0)002s(0)098相图2中P0点着t增(si)轨线右左运动表1图1图2出i(t)初值增长约t7时达值然减少t→∞i→0s(t)单调减少t→∞s→00398 分析i(t)s(t)般变化规律
表1 i(t)s(t)数值计算结果
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
i(t)
00200
00390
00732
01285
02033
02795
03312
03444
03247
s(t)
09800
09525
09019
08169
06927
05438
03995
02839
02027
t
9
10
15
20
25
30
35
40
45
i(t)
02863
02418
00787
00223
00061
00017
00005
00001
0
s(t)
01493
01145
00543
00434
00408
00401
00399
00399
00398
1
3相轨线分析
数值计算图形观察基础利相轨线讨解i（t）s（t）性质
D ｛（si）| s≥0i≥0 s + i ≤1｝ （15）
方程（14）中消注意σ定义
（16）
：
利积分特性容易求出方程(5)解：
（17）
定义域D(17)式表示曲线相轨线图3示中箭头表示着时间t增加s(t)i(t)变化趋
图3
面根（14）（17）式图3分析s(t)i(t)r(t)变化情况(t→∞时极限值分记作 )
1 初始条件s0i0病消失：
2 终未感染健康者例 (7)式中令i0 方
(01σ)根图形 相轨线s轴(01σ)交点横坐标
3>1σ开始i(t)先增加 令0s1σ时i(t)达值：
然s<1σ时 i(t)减趋零s(t)单调减图3中P1()出发轨线
4 1σ恒i(t)单调减零s(t)单调减图3中P2(s0i0)出发轨线
出果仅病例i(t)段增长时期认传染病蔓延1σ阈值>1σ(σ>1s0)时传染病会蔓延减传染期接触数σ提高阈值1σ≤1σ(σ ≤1)传染病会蔓延(健康者例初始值定通常认接1)
>1σ σ减时 增加(通作图分析) 降低控制蔓延程度注意σλμ中卫生水越高日接触率λ越医疗水越高日治愈率μ越σ越提高卫生水医疗水助控制传染病蔓延
方面 传染期病传染健康者均数称交换数含义病健康者交换 时必 然交换数超1病例i(t)绝会增加传染病会蔓延
5 群体免疫预防：
根SIR模型分析 时传染病会蔓延制止蔓延提高卫生医疗水阈值1σ变外途径降低 通预防接种群体免疫办法做
忽略病例初始值传染病会蔓延条件 表
说通群体免疫初始时刻移出者例（免疫例）制止传染病蔓延
种办法生效前提条件免疫者均匀分布全体口中实际难做估计时印度等国天花传染病接触数 σ5少80接受免疫行世界卫生组织报告花费量资金提高难做免疫者均匀分布天花直1977年全世界根传染病σ更高根更加困难
6模型验证
世纪初印度孟买发生次瘟疫中病死亡死亡相移出传染系统关部门记录天移出者数实际数Kermack等组数SIR模型作验证
首先方程（12）（14）
两边积分
：
(8)
(9)
时取（13）式右端Taylor展开式前3项：
(10)
初始值0 解高阶常微分方程
(11)
中 容易（10）式出：
然取定参数 s0 σ等画出（11）式图形图4中曲线实际数图中圆点表示出理曲线实际数吻合相错
六模型评价推广
根传染病模型建立研究进推广产生传染病动力学模型传染病动力学[1]进行理性定量研究种重方法根种群生长特性疾病发生种群传播发展规律关社会等素建立反映传染病动力学特性数学模型通模型动力学性态定性定量分析数值模拟分析疾病发展程揭示流行规律预测变化趋势分析疾病流行原关键
2003年发生SARS疫情国外学者建立量动力学模型研究传播规律趋势研究种隔离预防措施强度控制流行作决策部门提供参考关SARS传播动力学研究数采SIRSEIR模型评价措施效果拟合实际流行数时通改变接触率感染效率两参数值实现石耀霖[2]建SARS传播系统动力学模型越南数参考进行Monte Carlo实验初步结果表明感染率时间变化影响SARS传播重素蔡全[3]建立定量评价SARS干预措施效果传播动力学模型北京数进行较拟合
七参考文献
[1]耀霖SARS传染扩散动力学机模型[J]科学通报200348(13)13731377
[2]唐焕文贺明峰数学建模引北京高等教育出版社20053
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摘
社会开始意识通定量研究传染病传播规律建立传染病传播模型预测控制传染病提供足够信息文利微分方程稳定性理传统传染病动力学建模方式进行综述针甲流SARS等新生传染病模型进行建模分析
类型传染病传播程特点医学角度分析种传染病传播般传播机理分析建立种模型简单模型SI模型SIS模型SIR模型等文中应传染病动力学模型描述疾病发展变化程传播规律运联立微分方程组体现疫情发展程中类果联系基础建立方程求解算法然通助Matlab程序拟合出实际较符合曲线进行疫情预测评估种控制措施效果断完善文中模型
文简难全面评价该模型合理性实性模型数做较扼分析进步改进模型妥处时问题进行较全面评价基础引入更全面合理假设运双线性函数模型卫生部措施进行评价出建议做模型完善优化工作
关键词：传染病模型简单模型SISISSIR微分方程Matlab
问题重述
种传染病（SARS甲型H1N1）正流行现希建立适数学模型利已掌握数资料该传染病进行效研究期传播蔓延进行必控制减少民生命财产损失考虑问题建立适数学模型进行定较分析评价展
1考虑环境限制设单位时间感染数增长率常数建立模型求t时刻感染数
2假设单位时间感染数增长率感染数线性函数感染时增长率零建立模型求t时刻感染数
3假设总口分传染病患者易感染者易感染者患病者接触病患病者会治愈减少该传染病具强免疫功建立模型分析t时刻患病者易感染者关系传染情况（流行趋势否终消灭）进行预测
二问题分析
1涉传染病传播情况实际问题中涉传染病感染数时间变化情况初始资料通建立相应微分方程模型加解决
2问题表述中已出子问题相应假设
3实际中感染数离散变量具连续微性利建立微分方程模型短时间改变少数口种变化整体口相微 利数学工具建立微分方程模型需基假设：感染数时间连续微函数
三模型假设
模型二模型三假设条件：
假设：疾病传播期考察区总数N变考虑生死考虑迁移群分易感染者（Susceptible）已感染者（Infective）两类（取两词第字母称SI模型）简称健康者病时刻t两类总数中占例分记作s(t)i(t)
假设二：病天效接触均数常数称日接触率病健康者接触时健康者受感染变病
假设三：模型三假设假设二基础进行考虑然设病天治愈例称日治愈率病治愈成感染健康者显然1种传染病均传染期
模型四假设条件：
假设四：总数N变群分健康者病病愈免疫移出者（Removed）三类称SIR模型三类总数N中占例分记作s(t)i(t)r(t)
假设五：病日接触率l日治愈率m（SI模型相）传染期接触 slm
四符号说明
t ······························· 某具体时刻
x(t)·····························病数
·······························天病效接触数
N································总数
s(t)·····························健康者总数
i(t)·····························病总数
i······························初始时刻病例
t····························病值
····························日治愈率
1···························均传染率
·····························接触率
r(t)···························移出者
s·····························初始时刻健康者例
五模型建立求解
模型1
简单模型中设时刻t病数x(t)连续微函数天病效接触（足致病接触）数常数考察t病数增加
方程（1）解
结果表明着t增加病数x(t)限增长显然符合实际
建模失败原：病效接触群中健康病中健康传染病改进模型中必须区两种
模型2（SI模型）
方程（5）Logistic模型解
时病增加快认医院门诊量天预示着传染病高潮医疗卫生部门关注时刻
原模型中没考虑病治愈群中健康者变成病病会变成健康者
模型3（SIS模型）
传染病伤风痢疾等愈合免疫力低假定免疫性病治愈变成健康者健康者感染变成病模型成SIS模型
考虑模型假设条件
（8）
微分方程
0 （9）
定义
（10）
中整传染期病效接触均数称接触数
（11）
模型4（SIR模型）
数传染者天花 流感 肝炎 麻疹等治愈均强免疫力病愈非健康者（易感染者）非病（已感染者）移传染系统称移者记R类
SIR模型指易感染者传染变感染住感病者治愈会产生免疫力变移者员流动图：SIR
1模型构成：
假设1中显然：
s(t) + i(t) + r(t) 1 （12）
病愈免疫移出者数量应
（13）
妨设初始时刻易感染者染病者恢复者例分（＞0）（＞0）0SIR基础模型微分方程组表示：
（14）
s(t) i(t)求解极度困难先做数值计算预估计s(t) i(t)般变化规律
2数值计算
方程（3）中设λ1μ03i（0） 002s（0）098MATLAB软件编程：
function yill(tx)
a1b03
y[a*x(1)*x(2)b*x(1)a*x(1)*x(2)]
ts050
x0[020098]
[tx]ode45(＇ill＇tsx0)
plot(tx(1)tx(2))
pause
plot(x(2)x(1))
输出简明计算结果列入表1i(t) s(t)图形两图形i~s图形称相轨线初值i(0)002s(0)098相图2中P0点着t增(si)轨线右左运动表1图1图2出i(t)初值增长约t7时达值然减少t→∞i→0s(t)单调减少t→∞s→00398 分析i(t)s(t)般变化规律
表1 i(t)s(t)数值计算结果
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
i(t)
00200
00390
00732
01285
02033
02795
03312
03444
03247
s(t)
09800
09525
09019
08169
06927
05438
03995
02839
02027
t
9
10
15
20
25
30
35
40
45
i(t)
02863
02418
00787
00223
00061
00017
00005
00001
0
s(t)
01493
01145
00543
00434
00408
00401
00399
00399
00398
1
3相轨线分析
数值计算图形观察基础利相轨线讨解i（t）s（t）性质
D ｛（si）| s≥0i≥0 s + i ≤1｝ （15）
方程（14）中消注意σ定义
（16）
：
利积分特性容易求出方程(5)解：
（17）
定义域D(17)式表示曲线相轨线图3示中箭头表示着时间t增加s(t)i(t)变化趋
图3
面根（14）（17）式图3分析s(t)i(t)r(t)变化情况(t→∞时极限值分记作 )
1 初始条件s0i0病消失：
2 终未感染健康者例 (7)式中令i0 方
(01σ)根图形 相轨线s轴(01σ)交点横坐标
3>1σ开始i(t)先增加 令0s1σ时i(t)达值：
然s<1σ时 i(t)减趋零s(t)单调减图3中P1()出发轨线
4 1σ恒i(t)单调减零s(t)单调减图3中P2(s0i0)出发轨线
出果仅病例i(t)段增长时期认传染病蔓延1σ阈值>1σ(σ>1s0)时传染病会蔓延减传染期接触数σ提高阈值1σ≤1σ(σ ≤1)传染病会蔓延(健康者例初始值定通常认接1)
>1σ σ减时 增加(通作图分析) 降低控制蔓延程度注意σλμ中卫生水越高日接触率λ越医疗水越高日治愈率μ越σ越提高卫生水医疗水助控制传染病蔓延
方面 传染期病传染健康者均数称交换数含义病健康者交换 时必 然交换数超1病例i(t)绝会增加传染病会蔓延
5 群体免疫预防：
根SIR模型分析 时传染病会蔓延制止蔓延提高卫生医疗水阈值1σ变外途径降低 通预防接种群体免疫办法做
忽略病例初始值传染病会蔓延条件 表
说通群体免疫初始时刻移出者例（免疫例）制止传染病蔓延
种办法生效前提条件免疫者均匀分布全体口中实际难做估计时印度等国天花传染病接触数 σ5少80接受免疫行世界卫生组织报告花费量资金提高难做免疫者均匀分布天花直1977年全世界根传染病σ更高根更加困难
6模型验证
世纪初印度孟买发生次瘟疫中病死亡死亡相移出传染系统关部门记录天移出者数实际数Kermack等组数SIR模型作验证
首先方程（12）（14）
两边积分
：
(8)
(9)
时取（13）式右端Taylor展开式前3项：
(10)
初始值0 解高阶常微分方程
(11)
中 容易（10）式出：
然取定参数 s0 σ等画出（11）式图形图4中曲线实际数图中圆点表示出理曲线实际数吻合相错
六模型评价推广
根传染病模型建立研究进推广产生传染病动力学模型传染病动力学[1]进行理性定量研究种重方法根种群生长特性疾病发生种群传播发展规律关社会等素建立反映传染病动力学特性数学模型通模型动力学性态定性定量分析数值模拟分析疾病发展程揭示流行规律预测变化趋势分析疾病流行原关键
2003年发生SARS疫情国外学者建立量动力学模型研究传播规律趋势研究种隔离预防措施强度控制流行作决策部门提供参考关SARS传播动力学研究数采SIRSEIR模型评价措施效果拟合实际流行数时通改变接触率感染效率两参数值实现石耀霖[2]建SARS传播系统动力学模型越南数参考进行Monte Carlo实验初步结果表明感染率时间变化影响SARS传播重素蔡全[3]建立定量评价SARS干预措施效果传播动力学模型北京数进行较拟合
七参考文献
[1]耀霖SARS传染扩散动力学机模型[J]科学通报200348(13)13731377
[2]唐焕文贺明峰数学建模引北京高等教育出版社20053
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