第章 整数性
§1 整概念·带余法
1．证明定理3
定理3 倍数意n整数倍数．
证明： 倍数
存整数
意整数
整数
2．证明
证明
连续三整数
知
3．形（xy意整数ab两全零整数）数中整数．
证： 全
整数集合中存正整数形整数
带余法
中整数知
（意整数）
4．ab意二整数证明：存两整数st
成立b奇数时st唯存．b偶数时结果？
证：作序列必序列某两项间
存整数成立
偶数时令
令样
奇数时令
令样综述存性证．
证唯性
奇数时设
矛盾
偶数时唯举例：时整数
§2 公数辗转相法
1．证明推41
推41 ab公数（ab）数相．
证：设ab公数|a|b
带余法
| |┄ |
数
反||数公数公数数相
2．证明：见书P2P3第3题证明
3．应§1题4证明意两整数公数存说明求法试说求法辗转相法实际算出（765019719）．
解：§1题4知：
类推知：
b限数
存求法：
4．证明节（1）式中
证：P3§1题4知（1）式中
§3 整进步性质公倍数
1．证明两整数ab互质充分必条件：存两整数st满足条件．
证明 必性推11知存两整数st满足：
充分性存整数stas+bt1ab全0
2．证明定理3
定理3
证：设
∴设
反
3．设 （1）
整数系数项式零（1）根数作分子分母约分数推出理数．
证：设（1）理根
（2）
q整式右端
（2）
p整式右端
（1）理根
假设理数次方程整系数方程述结知理根
理根矛盾理数
证设理数
知矛盾理数
§4 质数·算术基定理
1．试造超100质数表
解：Eratosthenes筛选法
（1）算出a
（2）10质数：2357
（3）划掉2357倍数剩100素数
超100正整数排列：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2．求8279884881057226635000标准式．
解：8|848
8|8568|B
4|324|C
9|（3+2+3+4+3+3）9|D
9|（3+5+9+3+7）9|E
理
3．证明推33推广n正整数情形．
推33 设ab意两正整数
中
证：
∴
∴
∴ 显然
∴ 理
推广
设
(中质数意n正整数)
4．应推33证明§3定理4（ii）
证：设
中p1 p2 L pk互相素数aibi（1 £ i £ k）非负整数
知(a b)[a b] ab．
５．质数（n>1）n2方幂．
证：（反证法）设奇数）
∵
∴ 合数矛盾ｎ定２方幂．
§5 函数[x]{x}数中应
1．求30标准分解式．
解：30素数2357111317192329
∴
2．设n正整数a实数证明：
(i)
(ii)
证：(i)设性质II知
ｍｍ+１间唯整数ｍ．
(ii) [证法]设
①时
②时
[证法二]
令
周期函数
[评注]：[证]充分体现 常规方法特点[证二]表现较高技巧
3．设意二实数证明：
(i)
(ii)
证明：（i）高斯函数[x]定义
（ii）设
面分两区间讨：
①
②
（ii）（证法2）称妨设
4 (i) 设函数闭区间连续非负证明式
表示面区域整点（整数坐标点）数
(ii) 设pq两互质单正整数证明：
(iii) 设T 区域 整点数证明：
(iv) 设T 区域 整点数证明：
证明：(略)
5 设正整数p 质数证明：标准分解式中质数p指数
中
证明：标准分解式中质数p指数限
第二章 定方程
§2．1 题
1解列定方程
解： 原方程等价： 显然整数解
般解
原方程等价： 显然整数解
般解
2100分成两份份整份整
解：题意 求 正整数解解
般解：
外正整数解
3证明：二元次定方程
非负整数解
证明：时原方程没整数解 命题正确
时原方程非负整数解
原方程整数解
中中正负设
原方程般解：
求
仅 整数时取 否
等式整数解数 ：
整数时
整数时
证明2：二元次定方程ax + by N切整数解tÎZx ³ 0y ³ 0区间长度区间整数数+ 1
：
4证明：二元次定方程
时非负整数解 然
证明：先证点 时原方程非负整数解
次证N>abab时(ab)1原方程整数解（xy）般解求xbt0y会证明存满足等式整数取：
证明时原方程非负整数解．
1．证明定理2推
推 单位圆周座标理数点（称理点）写成
形式中ab全零整数
证明：设理数（m ¹ 0）满足方程x2 + y2 1l2 + n2 m2l ±2abdn ±(a2 b2)dm ±(a2 + b2)dl ±(a2 b2)dm ±2abdm ±(a2 + b2)d(x y) 反代入方程x2 + y2 1知样点单位圆周
2．求出定方程切正整数解公式
解：设定方程解
(1)3zx3z+x
3z+x
妨设
② 设
矛盾
样
③
④
引理设
证整数
必须a b均奇数
⑤
设
中奇偶
4．解定方程：x2 + 3y2 z2x > 0y > 0z > 0(x y ) 1
解：设(z x z + x) d易知d 12(z x)(z + x) 3y2z x 3da2z + x db2y dabz x db2z + x 3da2y daba > 0b > 0(a b ) 1(ⅰ) d 1：a > 0b > 0(a b ) 13ba b奇数 (ⅱ) d 2：x |b2 3a2|y 2abz b2 + 3a2a > 0b > 0(a b ) 13ba b奇偶反易验证(ⅰ)(ⅱ)原定方程解x > 0y > 0z > 0(x y) 1
3．证明等式方程切正整数解．
写成公式 ∣∣
中
证明定理1知道原方程解
c d奇偶
中 a b奇偶．
∣∣原方程正整数解
原方程正整数解
6．求方程x2 + y2 z4满足(x y ) 12½x正整数解
解：设xyzx2 + y2 z4满足(x y) 12½x正整数解x 2aby a2 b2z2 a2 + b2a > b > 0(a b) 1a b奇偶 z2 a2 + b2a 2uvb u2 v2 z u2 + v2 a u2 v2b 2uv z u2 + v2 u > v > 0(u v) 1u v奇偶x 4uv(u2 v2)y |u4 + v4 6u2v2|z u2 + v2u > v > 0(u v) 1u v奇偶反易验证原定方程整数解x > 0y > 0z > 0(x y) 12½x
中正负号意选取．
第三章 余
1余概念基性质
1 证明（i）(modm)
xy(modm)i12k
(modm)
特（modm）i01
（modm）
(ii)ab(modm)k
（iii）ab(modm)dabm正公数
(iv)ab(modm) ab(modd)．
证明 ：（i）性质戊
进步
性质丁：
（modm）
(ii) 定理1ab(modm)
定理1
（iii）定理1 ab(modm) abms(sz)
定理1立
(iv) 定理1 ab(modm)
2设正整数
试证11整充分必条件11整
证明 ：题(i)特殊情形立
．
3．找出整数37101整判別条件
解：
正整数
立
设正整数
立
4证明｜
证明：∵
∴
∴
∣
5单数
证明：（数学纳法）设
（1）时
结成立
（2）设时结成立：
时结成立∴时结成立
证明：2an正整数º 1 (mod 2n + 2) (4)
设a 2k + 1n 1时
a2 (2k + 1)2 4k(k + 1) + 1 º 1 (mod 23)
式(4)成立
设式(4)n k成立
º 1 (mod 2k + 2) Þ 1 + q2k + 2
中qÎZ
(1 + q2k + 2)2 1 + q ¢2k + 3 º 1 (mod 2k + 3)
中q ¢某整数说明式(4)n k + 1成立
纳法知式(4)正整数n成立
解：
§2 剩余类完全剩余系
1 证明模完全剩余类
证明：显然取值值需证样值关模两两互余
∣
∴时
．结成立
2 两两互质正整数分通模完全剩余类
通模完全剩余系中
证明：（数学纳法）
（1） 根节定理3知时结成立
（2） 设整数结成立两两互质令分通模完全剩余系时必模
完全剩余系中
现增加
令
易知
令
模完全剩余系模完全剩余系时节定理3必模完全剩余系结成立
3（i）证明整数中整数种方法表示成
形状中反中数
（ii）说明应特砝码天量出1H中意斤数
证明：（i）时模绝完全剩余系表示中整数事实时值两两互相等否
值
值
结成立
（ii）特制砝码分重斤称物体取1砝码放天右盘取1砝码放左盘（i）结知取适值时值等称物体斤数
4K两两互质正整数分模完全剩余系
通模完全剩余系
证明：（数学纳法）
（1）时分模完全剩余系时
值
时结成立
（2）设分模完全剩余系时
模完全剩余系
节定理2
模完全剩余系
分模完全剩余系时
2值纳假设
…
…
模完全剩余系
3．简化剩余系欧拉函数
1．证明定理2：互质整数
两模余模简化剩余系
证明：
两模余分取模剩余类
恰互质整数恰取模互质全部剩余类
2．1正整数整数通简化剩余系
中表示展布通切值式
证明：定理3知通简化剩余系：
中0＜＜
（）
＞2必偶数
易见
左边项存项
右边
特m2时
3．（i）证明p质数
(ii) 证明中展布a切正整数式
证明：（i）
(ii)设a标准分解式
a
4．k两两互质正整数 分通模简化剩余系
通模简化剩余系中
证明：（数学纳法）
（1） 定理4知k2时结成立
（2） 设k1时结成立分模时
模简化剩余系
显见定理4知通模简化剩余系注意：
通模m简化剩余系
．欧拉定理费马定理循环数应
１果天星期问天起天星期？
解：非负剩余天星期（时星期日）．
费马定理
天星期五．
２求余数
解：
欧拉定理易知
（１）
．（１）
．
计算知 ．
．
３证明列事实许定理１推：质数整数
证明定理１推然定理１推证明定理１
证明 应数学纳法：
时二项式展开
设时结成立
时
结成立
结中令：
定理１推成立
进步设
固整数述已证性质：
存
（）
类推．
定理成立
4证明：理数表成纯循环数充分必条件正数t余式成立式成立正整数t循环节长度
证明：必性结成立定理2知（b10）1
令t欧拉定理
充分性正数t满足
令t式成立正整数
参课51页证明：
表成循环数循环节长度t
第四章 余式
1 基概念次余式
例 解余式
解：（1245）
余项式3解
原余式
4
样
原余式3解 （ｔ＝０１２）
1 求列余式解
256x179
1215x560
1296x1125
337素数 原余式唯解
先解余式256x1
辗转相法
述余式解
原余式解
（12152755）5先解
243x112
方法解
原余式解
(12961935)9原余式9解
144x125
原余式解
2．求联立余式解
解：余式关性质
求解
3．(i)设正整数．证明
余式 解
(ii)设质数证明
余式解．
证明 (i) 唯解．
欧拉定理
解．
(ii) 唯解
连续整数积必整
令
解．
设p素数0 < a < p证明：
(mod p)
余方程ax º b (mod p)解
解：首先易知整数(a p) 1知方程ax º b (mod p)解唯须(mod p)代入ax º b (mod p)验证余方程解
4．设正整数实数证明余式
解．
证明 余式 必解
(i) 结成立
(ii) 令
结成立．
令
结成立
令
重复述讨： 结成立
令
``````
例解余方程组
解：互质原方程组模唯解
根孙子定理方程组解
注意
限步必
中结成立
孙子定理
试解列题：
（i） 十数余三七二数余二十三数余问数
（ii） 二数余五数余二七数余三九数余四问数
（杨辉：续古摘奇算法（1275））
解：（i）题意
孙子定理述方程组唯解
原方程组解
(ii)题意
2（i）设 三正整数证明：
．
（ii）设 证明：余式组
（1）
解充分必条件
解情况适合（1）切整数式求出：
中适合整数
应证明余式组
解充分必条件解情况适合切整数式求出：
中适合整数
证明：
设解
必性成立
反设
§1定理知方程必解
设解
令易见：
解充分性证
进步解
公倍数然倍数
解解必满足
余式组解
解知必
必性成立
证充分性首先推纳法易证：
知时充分性成立
现设余式组 解
设条件知
余式组
必解 （※）
显然（※）余式组解纳性原理结成立结述程成立
§3 高次余式解数解法
1 解余式
解：原余式等价
孙子定理
原余式6解：
2 解余式
解：
原余式等价
1） 先解
②解
设
孙子定理设
原四条式4解
§4．质数模余式
补充例子：
1．解余方程：
(ⅰ) 3x11 + 2x8 + 5x4 1 º 0 (mod 7)
(ⅱ) 4x20 + 3x12 + 2x7 + 3x 2 º 0 (mod 5)
解：(ⅰ) 原余方程等价3x5 + 5x4 + 2x2 1 º 0 (mod 7)x 0±1±2±3代入知者解 (ⅱ) 原余方程等价2x4 + 2x3 + 3x 2 º 0 (mod 5)x 0±1±2 代入知者解x º ±1 (mod 5)
2．判定
(ⅰ) 2x3 x2 + 3x 1 º 0 (mod 5)否三解
(ⅱ) x6 + 2x5 4x2 + 3 º 0 (mod 5)否六解？
解：(ⅰ) 2x3 x2 + 3x 1 º 0 (mod 5)等价x3 3x2 + 4x 3 º 0 (mod 5)x5 x (x3 3x2 + 4x 3)(x2 + 3x + 5) + (6x2 12x + 15)中r(x) 6x2 12x + 15系数5倍数原方程没三解 (ⅱ) 模5余方程原方程六解
定理5 p素数n½p 1pa
x n º a (mod p) (14)
解充条件
º1 (mod p) (15)
解解数n
证明 必性 方程(14)解x0px0Fermat定理
x0p 1 º1 (mod p)
充分性 式(15)成立
中P(x)关x整系数项式定理4知余方程(14)n解证毕
1 设︱ ．证明余式
解充分必条件解情况解
证明：
设
解
︱
令
解 恰解必解
2．设n整数（am）1已知余式
解证明余式切解
表成
中y余式解
证明：设均解
（am）1 （m） (m) 1
第三章定理3．3知必存y
．
原余式解表示
y满足
3．设(a m) 1km正整数设x0k º a (mod m)证明余方程
xk º a(mod m)
切解x表示成x º yx0 (mod m)中y满足余方程yk º 1 (mod m)
解：设x1xk º a(mod m)意解次余方程yx0 º x1 (mod m)解yyka º ykx0k º (yx0)k º x1k º a (mod m)yk º 1 (mod m)x1表示成x º yx0 (mod m)中y满足余方程yk º 1 (mod m)反易知形式xxk º a(mod m)解
第五章 二次余式方剩余
§1 般二次余式
1 余式中试求出切解
解：余式
易见偶数时余式解：
解
奇数时余式解：
解
2证明：余式 解充分必条件 解前余式切解余式解导出
证明：
配方
记
讨知解
解必性证
反解：
解
：
：
：
解充分性证
充分性讨知解解导出
§2 单质数方剩余方非剩余
1 求出模方剩余方非剩余
解：书中定理2知模简化剩余系中方剩余分序列
例2．试判断述余方程否解
（1）
（2）
（3）
中数余
模37方剩余：
13479101112162125262730333436
18数模37方非剩余：
25681314151718192022232429313235
2． 应前章结果证明模简化剩余系中定方剩余方非剩余存
证明两方剩余积方剩余方剩余方非剩余积方非剩余
应证明：模简化剩余系中方剩余方非剩余数
证明：1模简化剩余系中方剩余模简化剩余系中均方剩余考虑模绝简化剩余系：
方模数：
假设模简化剩余系中数数余模简化剩余系中数必两互相余矛盾必方非剩余存
方剩余方剩余方剩余方非剩余
方非剩余
设模简化剩余系中方剩余模简化剩余系中方非剩余知方非剩余显然互余反方剩余知证
3．证明：余式解
中
证明：解解
设解：：
令
整数
两式：
两式相：
取：
解
4．证明余式 解
证明：首先证明意： 式：
威尔生定理：
次令 代入式
原余式解
§3 勒符号
1．节方法判断列余式否解
中5035637691013质数
解：解
解
解
2求出方剩余质数般表达式方非剩余质数般表达式
解：
模方剩余时必
必
必
模方非剩余时必
必
必
3设正整数质数说明
证明：
证明：时节定理1推知方剩余应欧拉判条件
出
形素数
§4 前节定理证明
1 求方剩余质数般表达式什质数方非剩余？
解：互反律
时时
时
显然偶数时
奇数时
奇质数关模
时
时
样方剩余时方程组解
孙子定理知立
时方剩余
方非剩余时方程组解
孙子定理知立
时方非剩余
偶数奇数时
时方剩余
类似方非剩余
2求方非剩余质数般表达式
解：题知方非剩余质数满足：
模方非剩余
（§3推证）
满足素数形
中满足
时方非剩余
§5 雅符号
1 判断§3题1列余式否解
略
2 求出列余式解数：
中质数
解：
解数0．
解数2．
3． 解情况应定理1求余式
解
解情况应 §2 定理1§3定理1推求余式
解
解：余式解
知
原余式解
知
前式成立末
原余式解
原余式解
式成立末
§3定理1推知2模p方剩余
：
原余式解
原余式解．
§6 合数模情形
1 解余式
解：余式
令代入出
令代入
出
余式解
解：
（ⅱ）
四解
记代入：
解
记代入
：解：
记代入
解
解
余三解：
2．（ⅰ）证明余式余式等价（ⅱ）应（ⅰ）举出求余式切解方法
证明：（ⅰ）显然
（ⅱ）记
解等价方程组
解
易见解
解
解
二者时成立否矛盾
两
解联立方程组求出切解
第六章 原根指标
1 设p单质数a1整数证明
(i)奇质数qa1数形2px+1整数中x整数
(ii) 单质数a+1数形2px+1整数中x整数
证明(i)设
设a模q质数 质数 p
q1偶数
记q12x假设
q2px+1证
(ii)设q奇质数
a模q指数．2p2p
(否)
q－1＝2m
记m＝pxq＝2px+1证
2 设模m指数试证模m指数
证明：设模m指数
股
反
证
例1 求123456模7指数
根定义1直接计算
d7(1) 1d7(2) 3d7(3) 6
d7(4) 3d7(5) 6d7(6) 2
例1中结果列表：
a
1
2
3
4
5
6
d7(a)
1
3
6
3
6
2
样表称指数表表模7指数表
面模10指数表：
a
1
3
7
9
d10(a)
1
4
4
2
1．写出模11指数表
解：计算d11(1) 1d11(2) 10d11(3) 5d11(4) 5d11(5) 5d11(6) 10d11(7) 10d11(8) 10d11(9) 5d11(10) 2列表
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
d11(a)
1
10
5
5
5
10
10
10
5
2
2．求模14全部原根
解：x º 35 (mod 14)模14全部原根
1．求模29正原根
解：j(29) 28 22×7
知2模29正原根
2．分求模293模2×293原根
解：2模29原根229 1 228 2281 (mod 292)知2模293原根2模293原根2偶数知2 + 293模2×293原根
3．解余方程：x12 º 16 (mod 17)
解：易3模17原根3i（i 0 1 2 L 15）构成模17简化剩余系列表
i
0 1 2 3 4 5 6 7
3i (mod 17)
1 3 9 10 13 5 15 11
i
8 9 10 11 12 13 14 15
3i (mod 17)
16 14 8 7 4 12 2 6
表知38 º 16 (mod 17)设x º 5 y (mod 17)12y º 8 (mod 16)解y1 º 2y2 º 6y3 º 10y4 º 14 (mod 16)查表x1 º 9x2 º 15x3 º 8x4 º 2 (mod 17)
3 指标n次剩余
1．设 切质数证明g模m原根充条件g模m次非剩余
证明：必性设g模m原根
2 Th5 知
g模m次剩余存
欧拉定理
矛盾
充分性g模m原根2 Th5 知
存：
设模m原根式两边关取指标：
记 指标定义：
余式 解
g次剩余矛盾
2．证明10模17模257（质数）原根证明化成循环数时循环节长度分16256．
证明：质子2
10模17方剩余题知10模17原根
仅质子2
理10模257原根
3§4证明知循环节长度t10关模17模257指数
t16256 证毕
3．试利指标表解余式
解：余式等价：
查表知：
式 5解
解：
查表知：原余式5解：
4．设模m（m．>2）原根存试证模m原根说指标总．
证明：模m原根存m4
设模m原根
m4模m原根3
指标
奇质数知
二者时成立否矛盾
（*）知
（mod m）指数矛盾
（mod m）
1指标
原根奇数
类似讨
（mod m）
1指标
5设模两原根试证：
（mod ）
（mod ）
证明：指标定义知：
（mod m）
两边原根取指标：
（mod ）
（mod ）
指标定义知：
（mod m）
两边原根取指标：
（mod ）
（mod ） （证毕）
第九章 数函数
§1． 函数
1．设函数证明函数．说明函数．
证明：首先证明：设跑全部子跑全部子跑全部子事实时反设显然．
函数． (65页)
函数．．
函数．
函数．
2． 设定义切正态数函数函数证明函数．
证明：反证假设函数存正态数选择样．函数矛盾
正态数
：
函数矛盾
3．证明：
证明：首先易证d正约数a完全剩余系中公约数d数
次正约数正约数
完全剩余系中住数公约数必定中某完全剩余系中公约数数
4．试计祘式
解：题较复杂分数步解：
反演公式
设两数函数反然
事实
反类似参见题56
②定义闭区间函数n正整数记
事实①证明明显果分数化成约分数形 分数里 bn约数．样形式分数次次．
③ 记
记
样②知
节推2．2 2．3：
5． 函数：
试证：
证明：设
推2．3知部ca时１c设函数
证明
证明证法题类似
7．设定义实数两函数1实数x说
反然．
证明
（）
记遍取数目
（）
较两式
式右边第页余诺项等0（推2．3）右式右边等
类似证明逆定理成立
初等数试卷
单项选择题：（1分题×20题20分）
１．设实数整数部分( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．．
２．列命题中正确( )
Ａ．整数公数中称公数
Ｂ．整数公倍数中称公倍数
Ｃ．整数绝值相倍数
Ｄ．整数绝值相约数
３．设二元次定方程（中整数全零）整数解方程切解表( )
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
４．列组数中构成勾股数( )
Ａ．５１２１３ Ｂ．７２４２５
Ｃ．３４５ Ｄ．８１６１７
５．列推导中正确( )
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
６．模１０简化剩余系( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
７．充分必条件( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
８．设余式解( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．解．
9设f(x)中f(x)解( )
A．
B．
C．
D．
10．余式
：（ ）
A．时pn B．超p
C．等p D．等n
11．2模p方剩余p列质数中 ( )
A．3 B．11 C．13 D．23
12．雅符号 ( )
A．
B．
C．
D．．
13．( )
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
14． 模12指数( )
A．124 B．124612 C．1234612 D．法确定
15． 模m单根存列数中m等 ( )
A． 2 B． 3 C． 4 D． 12
16．模5列式子成立 ( )
A． B．
C． D．
17．列函数中函数 ( )
A．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a)
B． 欧拉函数
C．超x质数数
D．数函数
18． 模指数>0>0模指数( )
A． B． C． D．法确定
19．均函数( )
A．函数 B．函数
C．函数 D．函数
20．设茂陛乌斯函数( )成立
A． B． C． D．
二．填空题：（题1分10分）
21． 345中高次n＝ ____________________
22． 元次定方程：中 …N均整数整数解充分必条件___________________
23．理数表成纯循环数充分必条件_______________________
24． 设次余式解解_________________________
25． 威尔生（wilson）定理：________________________________________
26． 勒德符号________________________________________
27． 模方剩余充分必条件_____________(欧拉判条件)
28． 模简化剩余系中原根数_______________________
29． 设模原根模原根_____________
30． _________________________________
三．简答题：（5分／题×4题＝20分）
31．命题意奇数方减18倍数？说明理
32．通模简化剩余系通模简化剩余系命题否正确？正确请证明正确请举反例
33．求模17简化剩余系中方剩余方非剩余
34．设标准分解式记正数正数数＝？ ＝？ 什？
四．计算题（7分／题×4题＝28分）
35． 求定方程6x+93y75切整数解
36． 解余方程组
37．解余式≡11(mod125)
38．求模13原根
五证明题：（7分题×2题14分）
39试证： （xy）1 y偶数整数解写成：
里奇数偶数
40设a正整数试证：
中表示展布a切正数式
六应题：（8分）
41求30中末尾0数
参考答案：．单项选择：ABCDDDACCBDCAADBCBAB
二．填空题：21．2122．23．24．25．+1素数26．1
27．28．29．中单数30．16
三．简答题：31．答：命题正确
必2倍数
86页
32．正确．证明见教材
33．摸简化剩余系中余数数方剩余
12489131516摸17方剩余356710111214摸17方非剩余
34．
证明：函数．
分令函数出
四．计算题
35．解：原定方程解
原方程 易见方程解
原方程解
原方程切整数解：（ ）
t整数
36．解：模567两两互质孙子定理余方程组关模
5×6×7＝210唯解分解余方程：
余方程组解：
：
37．解：余方程
方程解解：
解毕
38．解： 质数
g模13原根条件：
g12……12逐验证：26711模13原根
模13原根4求
五证明题：
39．证明：易验证解原方程解y偶数原方程化：
（）1
书中引理假设
b
显然>b (b)1
X－b z+ y2
子奇数b定奇偶证毕
40．证明：假定 正约数末
正约数
完全剩余系中数公约数
必定 中某数完全剩余系中
公约数数 ：
m 证毕
六．应题：
41．解：530中高次幂++
6+1+07
230高次幂++++
15+7+3+1+026
102×5 30末尾7零
2007年4月广东省高等教教育育学考试
初等数试卷
单项选择题（题15题题2分30分）
1．3642048三数公数（ ）
A．±1±3±4±5±6±12 B ±1±2±3±4±6±12
C ±2±3±4±6 D12345612
2设ab(整数集)p素数（ ）
A ab中恰p倍数 Bab中没p倍数
Cab中必p 倍数 D abp倍数
3设ab非零整数d(ab)列成立( )
A B
C D
4 意(正整数集)( )
A B
C D
5意实数必( )
A B
C D
6列定方程中整数解( )
A B
C D
7设ab( )
A(ab)(am) B(ab)(bm)
C(am)(mb) D(abm)(am)
8列集合中模15简化剩余系( )
A B
C D
9列余式中成立( )
A B
C D
10设余式解述断语中正确( )
A 该余式模mm1解
B 模m组完全剩余系中(bm)数满足该余式
C 模m组完全剩余系中(am)数满足该余式
D 模m组完全剩余系中(abm)数满足该余式
11设素数p>2ab分模p方剩余方非剩余列成( )
Aab模p方非剩余 B模p方非剩余
C模p方剩余 D 模p方非剩余
12设模m指数k( )
A B
C D
13模m原根存m( )
A15倍数 B16倍数
B812倍 D42倍数
14x模m指数aba>0b>0模m指数( )
A Bb
C Da
15设g 模m原根 K模c非负完全剩余系L ( )
A模m完全剩余系 B模m简化全剩余系
C模c完全剩余系 D模c简化全剩余系
二 填空题（题10题2分2分）
16设
17ab两整数b>0设mr表达ba带余式
18 标准分解中7指数
19理数表示成纯循环数充分必条件
20设m互相素数
21设abcm整数 时
22设互异奇素数(i12…k) 余式解时解数
23设m偶数模m原根充分必条件
24设a模m指数t成立充分必条件
25．m互素t整数
三计算题（题4题第2627题5分第2829题7分24分）
26．解定方程
27求3模52指数
28解余方程组
29．奇素p3模p二次剩余
四应题（题10分）
30．天星期三试求天星期？
五证明题（题2题题8分30分）
31．求证3模17原根
32已知383素数求证
2007年4月广东省高等教教育育学考试
初等数试题答案评分参考
单项选择题
1—5BCDAB 6—10ACDBC
11—15ADCDB
二填空题
16
17
1812
19
20．
21（am）1
22
23m24中正整数p 素数
24．
25．
三计算题
26．解：（12357）方程整数解
化简方程 (1分)
解
知方程特解 （3分）
般解（）（5分）
27解：24正数
1234681224 （2分）
次检验：
（4分）
3模52指数6 （5分）
28 解：
（3分）
余组解
（7分）
29解：显然二次互反律
（1分）
(3分)
（5分）
时3模p二次剩余 （7分）
四应题
30解： 求模7余数
欧拉定理 （2分）
（5分）
（7分）
（9分）
天星期日 （10分）
五 证明题
31证：求 素数2 （2分）
（4分）
（6分）
3模17原根 （8分）
32证：
（1分）
二次互转律
（4分）
（7分）
余方程 解 （8分）
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
§1 整概念·带余法
1．证明定理3
定理3 倍数意n整数倍数．
证明： 倍数
存整数
意整数
整数
2．证明
证明
连续三整数
知
3．形（xy意整数ab两全零整数）数中整数．
证： 全
整数集合中存正整数形整数
带余法
中整数知
（意整数）
4．ab意二整数证明：存两整数st
成立b奇数时st唯存．b偶数时结果？
证：作序列必序列某两项间
存整数成立
偶数时令
令样
奇数时令
令样综述存性证．
证唯性
奇数时设
矛盾
偶数时唯举例：时整数
§2 公数辗转相法
1．证明推41
推41 ab公数（ab）数相．
证：设ab公数|a|b
带余法
| |┄ |
数
反||数公数公数数相
2．证明：见书P2P3第3题证明
3．应§1题4证明意两整数公数存说明求法试说求法辗转相法实际算出（765019719）．
解：§1题4知：
类推知：
b限数
存求法：
4．证明节（1）式中
证：P3§1题4知（1）式中
§3 整进步性质公倍数
1．证明两整数ab互质充分必条件：存两整数st满足条件．
证明 必性推11知存两整数st满足：
充分性存整数stas+bt1ab全0
2．证明定理3
定理3
证：设
∴设
反
3．设 （1）
整数系数项式零（1）根数作分子分母约分数推出理数．
证：设（1）理根
（2）
q整式右端
（2）
p整式右端
（1）理根
假设理数次方程整系数方程述结知理根
理根矛盾理数
证设理数
知矛盾理数
§4 质数·算术基定理
1．试造超100质数表
解：Eratosthenes筛选法
（1）算出a
（2）10质数：2357
（3）划掉2357倍数剩100素数
超100正整数排列：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2．求8279884881057226635000标准式．
解：8|848
8|8568|B
4|324|C
9|（3+2+3+4+3+3）9|D
9|（3+5+9+3+7）9|E
理
3．证明推33推广n正整数情形．
推33 设ab意两正整数
中
证：
∴
∴
∴ 显然
∴ 理
推广
设
(中质数意n正整数)
4．应推33证明§3定理4（ii）
证：设
中p1 p2 L pk互相素数aibi（1 £ i £ k）非负整数
知(a b)[a b] ab．
５．质数（n>1）n2方幂．
证：（反证法）设奇数）
∵
∴ 合数矛盾ｎ定２方幂．
§5 函数[x]{x}数中应
1．求30标准分解式．
解：30素数2357111317192329
∴
2．设n正整数a实数证明：
(i)
(ii)
证：(i)设性质II知
ｍｍ+１间唯整数ｍ．
(ii) [证法]设
①时
②时
[证法二]
令
周期函数
[评注]：[证]充分体现 常规方法特点[证二]表现较高技巧
3．设意二实数证明：
(i)
(ii)
证明：（i）高斯函数[x]定义
（ii）设
面分两区间讨：
①
②
（ii）（证法2）称妨设
4 (i) 设函数闭区间连续非负证明式
表示面区域整点（整数坐标点）数
(ii) 设pq两互质单正整数证明：
(iii) 设T 区域 整点数证明：
(iv) 设T 区域 整点数证明：
证明：(略)
5 设正整数p 质数证明：标准分解式中质数p指数
中
证明：标准分解式中质数p指数限
第二章 定方程
§2．1 题
1解列定方程
解： 原方程等价： 显然整数解
般解
原方程等价： 显然整数解
般解
2100分成两份份整份整
解：题意 求 正整数解解
般解：
外正整数解
3证明：二元次定方程
非负整数解
证明：时原方程没整数解 命题正确
时原方程非负整数解
原方程整数解
中中正负设
原方程般解：
求
仅 整数时取 否
等式整数解数 ：
整数时
整数时
证明2：二元次定方程ax + by N切整数解tÎZx ³ 0y ³ 0区间长度区间整数数+ 1
：
4证明：二元次定方程
时非负整数解 然
证明：先证点 时原方程非负整数解
次证N>abab时(ab)1原方程整数解（xy）般解求xbt0y会证明存满足等式整数取：
证明时原方程非负整数解．
1．证明定理2推
推 单位圆周座标理数点（称理点）写成
形式中ab全零整数
证明：设理数（m ¹ 0）满足方程x2 + y2 1l2 + n2 m2l ±2abdn ±(a2 b2)dm ±(a2 + b2)dl ±(a2 b2)dm ±2abdm ±(a2 + b2)d(x y) 反代入方程x2 + y2 1知样点单位圆周
2．求出定方程切正整数解公式
解：设定方程解
(1)3zx3z+x
3z+x
妨设
② 设
矛盾
样
③
④
引理设
证整数
必须a b均奇数
⑤
设
中奇偶
4．解定方程：x2 + 3y2 z2x > 0y > 0z > 0(x y ) 1
解：设(z x z + x) d易知d 12(z x)(z + x) 3y2z x 3da2z + x db2y dabz x db2z + x 3da2y daba > 0b > 0(a b ) 1(ⅰ) d 1：a > 0b > 0(a b ) 13ba b奇数 (ⅱ) d 2：x |b2 3a2|y 2abz b2 + 3a2a > 0b > 0(a b ) 13ba b奇偶反易验证(ⅰ)(ⅱ)原定方程解x > 0y > 0z > 0(x y) 1
3．证明等式方程切正整数解．
写成公式 ∣∣
中
证明定理1知道原方程解
c d奇偶
中 a b奇偶．
∣∣原方程正整数解
原方程正整数解
6．求方程x2 + y2 z4满足(x y ) 12½x正整数解
解：设xyzx2 + y2 z4满足(x y) 12½x正整数解x 2aby a2 b2z2 a2 + b2a > b > 0(a b) 1a b奇偶 z2 a2 + b2a 2uvb u2 v2 z u2 + v2 a u2 v2b 2uv z u2 + v2 u > v > 0(u v) 1u v奇偶x 4uv(u2 v2)y |u4 + v4 6u2v2|z u2 + v2u > v > 0(u v) 1u v奇偶反易验证原定方程整数解x > 0y > 0z > 0(x y) 12½x
中正负号意选取．
第三章 余
1余概念基性质
1 证明（i）(modm)
xy(modm)i12k
(modm)
特（modm）i01
（modm）
(ii)ab(modm)k
（iii）ab(modm)dabm正公数
(iv)ab(modm) ab(modd)．
证明 ：（i）性质戊
进步
性质丁：
（modm）
(ii) 定理1ab(modm)
定理1
（iii）定理1 ab(modm) abms(sz)
定理1立
(iv) 定理1 ab(modm)
2设正整数
试证11整充分必条件11整
证明 ：题(i)特殊情形立
．
3．找出整数37101整判別条件
解：
正整数
立
设正整数
立
4证明｜
证明：∵
∴
∴
∣
5单数
证明：（数学纳法）设
（1）时
结成立
（2）设时结成立：
时结成立∴时结成立
证明：2an正整数º 1 (mod 2n + 2) (4)
设a 2k + 1n 1时
a2 (2k + 1)2 4k(k + 1) + 1 º 1 (mod 23)
式(4)成立
设式(4)n k成立
º 1 (mod 2k + 2) Þ 1 + q2k + 2
中qÎZ
(1 + q2k + 2)2 1 + q ¢2k + 3 º 1 (mod 2k + 3)
中q ¢某整数说明式(4)n k + 1成立
纳法知式(4)正整数n成立
解：
§2 剩余类完全剩余系
1 证明模完全剩余类
证明：显然取值值需证样值关模两两互余
∣
∴时
．结成立
2 两两互质正整数分通模完全剩余类
通模完全剩余系中
证明：（数学纳法）
（1） 根节定理3知时结成立
（2） 设整数结成立两两互质令分通模完全剩余系时必模
完全剩余系中
现增加
令
易知
令
模完全剩余系模完全剩余系时节定理3必模完全剩余系结成立
3（i）证明整数中整数种方法表示成
形状中反中数
（ii）说明应特砝码天量出1H中意斤数
证明：（i）时模绝完全剩余系表示中整数事实时值两两互相等否
值
值
结成立
（ii）特制砝码分重斤称物体取1砝码放天右盘取1砝码放左盘（i）结知取适值时值等称物体斤数
4K两两互质正整数分模完全剩余系
通模完全剩余系
证明：（数学纳法）
（1）时分模完全剩余系时
值
时结成立
（2）设分模完全剩余系时
模完全剩余系
节定理2
模完全剩余系
分模完全剩余系时
2值纳假设
…
…
模完全剩余系
3．简化剩余系欧拉函数
1．证明定理2：互质整数
两模余模简化剩余系
证明：
两模余分取模剩余类
恰互质整数恰取模互质全部剩余类
2．1正整数整数通简化剩余系
中表示展布通切值式
证明：定理3知通简化剩余系：
中0＜＜
（）
＞2必偶数
易见
左边项存项
右边
特m2时
3．（i）证明p质数
(ii) 证明中展布a切正整数式
证明：（i）
(ii)设a标准分解式
a
4．k两两互质正整数 分通模简化剩余系
通模简化剩余系中
证明：（数学纳法）
（1） 定理4知k2时结成立
（2） 设k1时结成立分模时
模简化剩余系
显见定理4知通模简化剩余系注意：
通模m简化剩余系
．欧拉定理费马定理循环数应
１果天星期问天起天星期？
解：非负剩余天星期（时星期日）．
费马定理
天星期五．
２求余数
解：
欧拉定理易知
（１）
．（１）
．
计算知 ．
．
３证明列事实许定理１推：质数整数
证明定理１推然定理１推证明定理１
证明 应数学纳法：
时二项式展开
设时结成立
时
结成立
结中令：
定理１推成立
进步设
固整数述已证性质：
存
（）
类推．
定理成立
4证明：理数表成纯循环数充分必条件正数t余式成立式成立正整数t循环节长度
证明：必性结成立定理2知（b10）1
令t欧拉定理
充分性正数t满足
令t式成立正整数
参课51页证明：
表成循环数循环节长度t
第四章 余式
1 基概念次余式
例 解余式
解：（1245）
余项式3解
原余式
4
样
原余式3解 （ｔ＝０１２）
1 求列余式解
256x179
1215x560
1296x1125
337素数 原余式唯解
先解余式256x1
辗转相法
述余式解
原余式解
（12152755）5先解
243x112
方法解
原余式解
(12961935)9原余式9解
144x125
原余式解
2．求联立余式解
解：余式关性质
求解
3．(i)设正整数．证明
余式 解
(ii)设质数证明
余式解．
证明 (i) 唯解．
欧拉定理
解．
(ii) 唯解
连续整数积必整
令
解．
设p素数0 < a < p证明：
(mod p)
余方程ax º b (mod p)解
解：首先易知整数(a p) 1知方程ax º b (mod p)解唯须(mod p)代入ax º b (mod p)验证余方程解
4．设正整数实数证明余式
解．
证明 余式 必解
(i) 结成立
(ii) 令
结成立．
令
结成立
令
重复述讨： 结成立
令
``````
例解余方程组
解：互质原方程组模唯解
根孙子定理方程组解
注意
限步必
中结成立
孙子定理
试解列题：
（i） 十数余三七二数余二十三数余问数
（ii） 二数余五数余二七数余三九数余四问数
（杨辉：续古摘奇算法（1275））
解：（i）题意
孙子定理述方程组唯解
原方程组解
(ii)题意
2（i）设 三正整数证明：
．
（ii）设 证明：余式组
（1）
解充分必条件
解情况适合（1）切整数式求出：
中适合整数
应证明余式组
解充分必条件解情况适合切整数式求出：
中适合整数
证明：
设解
必性成立
反设
§1定理知方程必解
设解
令易见：
解充分性证
进步解
公倍数然倍数
解解必满足
余式组解
解知必
必性成立
证充分性首先推纳法易证：
知时充分性成立
现设余式组 解
设条件知
余式组
必解 （※）
显然（※）余式组解纳性原理结成立结述程成立
§3 高次余式解数解法
1 解余式
解：原余式等价
孙子定理
原余式6解：
2 解余式
解：
原余式等价
1） 先解
②解
设
孙子定理设
原四条式4解
§4．质数模余式
补充例子：
1．解余方程：
(ⅰ) 3x11 + 2x8 + 5x4 1 º 0 (mod 7)
(ⅱ) 4x20 + 3x12 + 2x7 + 3x 2 º 0 (mod 5)
解：(ⅰ) 原余方程等价3x5 + 5x4 + 2x2 1 º 0 (mod 7)x 0±1±2±3代入知者解 (ⅱ) 原余方程等价2x4 + 2x3 + 3x 2 º 0 (mod 5)x 0±1±2 代入知者解x º ±1 (mod 5)
2．判定
(ⅰ) 2x3 x2 + 3x 1 º 0 (mod 5)否三解
(ⅱ) x6 + 2x5 4x2 + 3 º 0 (mod 5)否六解？
解：(ⅰ) 2x3 x2 + 3x 1 º 0 (mod 5)等价x3 3x2 + 4x 3 º 0 (mod 5)x5 x (x3 3x2 + 4x 3)(x2 + 3x + 5) + (6x2 12x + 15)中r(x) 6x2 12x + 15系数5倍数原方程没三解 (ⅱ) 模5余方程原方程六解
定理5 p素数n½p 1pa
x n º a (mod p) (14)
解充条件
º1 (mod p) (15)
解解数n
证明 必性 方程(14)解x0px0Fermat定理
x0p 1 º1 (mod p)
充分性 式(15)成立
中P(x)关x整系数项式定理4知余方程(14)n解证毕
1 设︱ ．证明余式
解充分必条件解情况解
证明：
设
解
︱
令
解 恰解必解
2．设n整数（am）1已知余式
解证明余式切解
表成
中y余式解
证明：设均解
（am）1 （m） (m) 1
第三章定理3．3知必存y
．
原余式解表示
y满足
3．设(a m) 1km正整数设x0k º a (mod m)证明余方程
xk º a(mod m)
切解x表示成x º yx0 (mod m)中y满足余方程yk º 1 (mod m)
解：设x1xk º a(mod m)意解次余方程yx0 º x1 (mod m)解yyka º ykx0k º (yx0)k º x1k º a (mod m)yk º 1 (mod m)x1表示成x º yx0 (mod m)中y满足余方程yk º 1 (mod m)反易知形式xxk º a(mod m)解
第五章 二次余式方剩余
§1 般二次余式
1 余式中试求出切解
解：余式
易见偶数时余式解：
解
奇数时余式解：
解
2证明：余式 解充分必条件 解前余式切解余式解导出
证明：
配方
记
讨知解
解必性证
反解：
解
：
：
：
解充分性证
充分性讨知解解导出
§2 单质数方剩余方非剩余
1 求出模方剩余方非剩余
解：书中定理2知模简化剩余系中方剩余分序列
例2．试判断述余方程否解
（1）
（2）
（3）
中数余
模37方剩余：
13479101112162125262730333436
18数模37方非剩余：
25681314151718192022232429313235
2． 应前章结果证明模简化剩余系中定方剩余方非剩余存
证明两方剩余积方剩余方剩余方非剩余积方非剩余
应证明：模简化剩余系中方剩余方非剩余数
证明：1模简化剩余系中方剩余模简化剩余系中均方剩余考虑模绝简化剩余系：
方模数：
假设模简化剩余系中数数余模简化剩余系中数必两互相余矛盾必方非剩余存
方剩余方剩余方剩余方非剩余
方非剩余
设模简化剩余系中方剩余模简化剩余系中方非剩余知方非剩余显然互余反方剩余知证
3．证明：余式解
中
证明：解解
设解：：
令
整数
两式：
两式相：
取：
解
4．证明余式 解
证明：首先证明意： 式：
威尔生定理：
次令 代入式
原余式解
§3 勒符号
1．节方法判断列余式否解
中5035637691013质数
解：解
解
解
2求出方剩余质数般表达式方非剩余质数般表达式
解：
模方剩余时必
必
必
模方非剩余时必
必
必
3设正整数质数说明
证明：
证明：时节定理1推知方剩余应欧拉判条件
出
形素数
§4 前节定理证明
1 求方剩余质数般表达式什质数方非剩余？
解：互反律
时时
时
显然偶数时
奇数时
奇质数关模
时
时
样方剩余时方程组解
孙子定理知立
时方剩余
方非剩余时方程组解
孙子定理知立
时方非剩余
偶数奇数时
时方剩余
类似方非剩余
2求方非剩余质数般表达式
解：题知方非剩余质数满足：
模方非剩余
（§3推证）
满足素数形
中满足
时方非剩余
§5 雅符号
1 判断§3题1列余式否解
略
2 求出列余式解数：
中质数
解：
解数0．
解数2．
3． 解情况应定理1求余式
解
解情况应 §2 定理1§3定理1推求余式
解
解：余式解
知
原余式解
知
前式成立末
原余式解
原余式解
式成立末
§3定理1推知2模p方剩余
：
原余式解
原余式解．
§6 合数模情形
1 解余式
解：余式
令代入出
令代入
出
余式解
解：
（ⅱ）
四解
记代入：
解
记代入
：解：
记代入
解
解
余三解：
2．（ⅰ）证明余式余式等价（ⅱ）应（ⅰ）举出求余式切解方法
证明：（ⅰ）显然
（ⅱ）记
解等价方程组
解
易见解
解
解
二者时成立否矛盾
两
解联立方程组求出切解
第六章 原根指标
1 设p单质数a1整数证明
(i)奇质数qa1数形2px+1整数中x整数
(ii) 单质数a+1数形2px+1整数中x整数
证明(i)设
设a模q质数 质数 p
q1偶数
记q12x假设
q2px+1证
(ii)设q奇质数
a模q指数．2p2p
(否)
q－1＝2m
记m＝pxq＝2px+1证
2 设模m指数试证模m指数
证明：设模m指数
股
反
证
例1 求123456模7指数
根定义1直接计算
d7(1) 1d7(2) 3d7(3) 6
d7(4) 3d7(5) 6d7(6) 2
例1中结果列表：
a
1
2
3
4
5
6
d7(a)
1
3
6
3
6
2
样表称指数表表模7指数表
面模10指数表：
a
1
3
7
9
d10(a)
1
4
4
2
1．写出模11指数表
解：计算d11(1) 1d11(2) 10d11(3) 5d11(4) 5d11(5) 5d11(6) 10d11(7) 10d11(8) 10d11(9) 5d11(10) 2列表
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
d11(a)
1
10
5
5
5
10
10
10
5
2
2．求模14全部原根
解：x º 35 (mod 14)模14全部原根
1．求模29正原根
解：j(29) 28 22×7
知2模29正原根
2．分求模293模2×293原根
解：2模29原根229 1 228 2281 (mod 292)知2模293原根2模293原根2偶数知2 + 293模2×293原根
3．解余方程：x12 º 16 (mod 17)
解：易3模17原根3i（i 0 1 2 L 15）构成模17简化剩余系列表
i
0 1 2 3 4 5 6 7
3i (mod 17)
1 3 9 10 13 5 15 11
i
8 9 10 11 12 13 14 15
3i (mod 17)
16 14 8 7 4 12 2 6
表知38 º 16 (mod 17)设x º 5 y (mod 17)12y º 8 (mod 16)解y1 º 2y2 º 6y3 º 10y4 º 14 (mod 16)查表x1 º 9x2 º 15x3 º 8x4 º 2 (mod 17)
3 指标n次剩余
1．设 切质数证明g模m原根充条件g模m次非剩余
证明：必性设g模m原根
2 Th5 知
g模m次剩余存
欧拉定理
矛盾
充分性g模m原根2 Th5 知
存：
设模m原根式两边关取指标：
记 指标定义：
余式 解
g次剩余矛盾
2．证明10模17模257（质数）原根证明化成循环数时循环节长度分16256．
证明：质子2
10模17方剩余题知10模17原根
仅质子2
理10模257原根
3§4证明知循环节长度t10关模17模257指数
t16256 证毕
3．试利指标表解余式
解：余式等价：
查表知：
式 5解
解：
查表知：原余式5解：
4．设模m（m．>2）原根存试证模m原根说指标总．
证明：模m原根存m4
设模m原根
m4模m原根3
指标
奇质数知
二者时成立否矛盾
（*）知
（mod m）指数矛盾
（mod m）
1指标
原根奇数
类似讨
（mod m）
1指标
5设模两原根试证：
（mod ）
（mod ）
证明：指标定义知：
（mod m）
两边原根取指标：
（mod ）
（mod ）
指标定义知：
（mod m）
两边原根取指标：
（mod ）
（mod ） （证毕）
第九章 数函数
§1． 函数
1．设函数证明函数．说明函数．
证明：首先证明：设跑全部子跑全部子跑全部子事实时反设显然．
函数． (65页)
函数．．
函数．
函数．
2． 设定义切正态数函数函数证明函数．
证明：反证假设函数存正态数选择样．函数矛盾
正态数
：
函数矛盾
3．证明：
证明：首先易证d正约数a完全剩余系中公约数d数
次正约数正约数
完全剩余系中住数公约数必定中某完全剩余系中公约数数
4．试计祘式
解：题较复杂分数步解：
反演公式
设两数函数反然
事实
反类似参见题56
②定义闭区间函数n正整数记
事实①证明明显果分数化成约分数形 分数里 bn约数．样形式分数次次．
③ 记
记
样②知
节推2．2 2．3：
5． 函数：
试证：
证明：设
推2．3知部ca时１c
证明
证明证法题类似
7．设定义实数两函数1实数x说
反然．
证明
（）
记遍取数目
（）
较两式
式右边第页余诺项等0（推2．3）右式右边等
类似证明逆定理成立
初等数试卷
单项选择题：（1分题×20题20分）
１．设实数整数部分( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．．
２．列命题中正确( )
Ａ．整数公数中称公数
Ｂ．整数公倍数中称公倍数
Ｃ．整数绝值相倍数
Ｄ．整数绝值相约数
３．设二元次定方程（中整数全零）整数解方程切解表( )
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
４．列组数中构成勾股数( )
Ａ．５１２１３ Ｂ．７２４２５
Ｃ．３４５ Ｄ．８１６１７
５．列推导中正确( )
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
６．模１０简化剩余系( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
７．充分必条件( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
８．设余式解( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．解．
9设f(x)中f(x)解( )
A．
B．
C．
D．
10．余式
：（ ）
A．时pn B．超p
C．等p D．等n
11．2模p方剩余p列质数中 ( )
A．3 B．11 C．13 D．23
12．雅符号 ( )
A．
B．
C．
D．．
13．( )
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
14． 模12指数( )
A．124 B．124612 C．1234612 D．法确定
15． 模m单根存列数中m等 ( )
A． 2 B． 3 C． 4 D． 12
16．模5列式子成立 ( )
A． B．
C． D．
17．列函数中函数 ( )
A．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a)
B． 欧拉函数
C．超x质数数
D．数函数
18． 模指数>0>0模指数( )
A． B． C． D．法确定
19．均函数( )
A．函数 B．函数
C．函数 D．函数
20．设茂陛乌斯函数( )成立
A． B． C． D．
二．填空题：（题1分10分）
21． 345中高次n＝ ____________________
22． 元次定方程：中 …N均整数整数解充分必条件___________________
23．理数表成纯循环数充分必条件_______________________
24． 设次余式解解_________________________
25． 威尔生（wilson）定理：________________________________________
26． 勒德符号________________________________________
27． 模方剩余充分必条件_____________(欧拉判条件)
28． 模简化剩余系中原根数_______________________
29． 设模原根模原根_____________
30． _________________________________
三．简答题：（5分／题×4题＝20分）
31．命题意奇数方减18倍数？说明理
32．通模简化剩余系通模简化剩余系命题否正确？正确请证明正确请举反例
33．求模17简化剩余系中方剩余方非剩余
34．设标准分解式记正数正数数＝？ ＝？ 什？
四．计算题（7分／题×4题＝28分）
35． 求定方程6x+93y75切整数解
36． 解余方程组
37．解余式≡11(mod125)
38．求模13原根
五证明题：（7分题×2题14分）
39试证： （xy）1 y偶数整数解写成：
里奇数偶数
40设a正整数试证：
中表示展布a切正数式
六应题：（8分）
41求30中末尾0数
参考答案：．单项选择：ABCDDDACCBDCAADBCBAB
二．填空题：21．2122．23．24．25．+1素数26．1
27．28．29．中单数30．16
三．简答题：31．答：命题正确
必2倍数
86页
32．正确．证明见教材
33．摸简化剩余系中余数数方剩余
12489131516摸17方剩余356710111214摸17方非剩余
34．
证明：函数．
分令函数出
四．计算题
35．解：原定方程解
原方程 易见方程解
原方程解
原方程切整数解：（ ）
t整数
36．解：模567两两互质孙子定理余方程组关模
5×6×7＝210唯解分解余方程：
余方程组解：
：
37．解：余方程
方程解解：
解毕
38．解： 质数
g模13原根条件：
g12……12逐验证：26711模13原根
模13原根4求
五证明题：
39．证明：易验证解原方程解y偶数原方程化：
（）1
书中引理假设
b
显然>b (b)1
X－b z+ y2
子奇数b定奇偶证毕
40．证明：假定 正约数末
正约数
完全剩余系中数公约数
必定 中某数完全剩余系中
公约数数 ：
m 证毕
六．应题：
41．解：530中高次幂++
6+1+07
230高次幂++++
15+7+3+1+026
102×5 30末尾7零
2007年4月广东省高等教教育育学考试
初等数试卷
单项选择题（题15题题2分30分）
1．3642048三数公数（ ）
A．±1±3±4±5±6±12 B ±1±2±3±4±6±12
C ±2±3±4±6 D12345612
2设ab(整数集)p素数（ ）
A ab中恰p倍数 Bab中没p倍数
Cab中必p 倍数 D abp倍数
3设ab非零整数d(ab)列成立( )
A B
C D
4 意(正整数集)( )
A B
C D
5意实数必( )
A B
C D
6列定方程中整数解( )
A B
C D
7设ab( )
A(ab)(am) B(ab)(bm)
C(am)(mb) D(abm)(am)
8列集合中模15简化剩余系( )
A B
C D
9列余式中成立( )
A B
C D
10设余式解述断语中正确( )
A 该余式模mm1解
B 模m组完全剩余系中(bm)数满足该余式
C 模m组完全剩余系中(am)数满足该余式
D 模m组完全剩余系中(abm)数满足该余式
11设素数p>2ab分模p方剩余方非剩余列成( )
Aab模p方非剩余 B模p方非剩余
C模p方剩余 D 模p方非剩余
12设模m指数k( )
A B
C D
13模m原根存m( )
A15倍数 B16倍数
B812倍 D42倍数
14x模m指数aba>0b>0模m指数( )
A Bb
C Da
15设g 模m原根 K模c非负完全剩余系L ( )
A模m完全剩余系 B模m简化全剩余系
C模c完全剩余系 D模c简化全剩余系
二 填空题（题10题2分2分）
16设
17ab两整数b>0设mr表达ba带余式
18 标准分解中7指数
19理数表示成纯循环数充分必条件
20设m互相素数
21设abcm整数 时
22设互异奇素数(i12…k) 余式解时解数
23设m偶数模m原根充分必条件
24设a模m指数t成立充分必条件
25．m互素t整数
三计算题（题4题第2627题5分第2829题7分24分）
26．解定方程
27求3模52指数
28解余方程组
29．奇素p3模p二次剩余
四应题（题10分）
30．天星期三试求天星期？
五证明题（题2题题8分30分）
31．求证3模17原根
32已知383素数求证
2007年4月广东省高等教教育育学考试
初等数试题答案评分参考
单项选择题
1—5BCDAB 6—10ACDBC
11—15ADCDB
二填空题
16
17
1812
19
20．
21（am）1
22
23m24中正整数p 素数
24．
25．
三计算题
26．解：（12357）方程整数解
化简方程 (1分)
解
知方程特解 （3分）
般解（）（5分）
27解：24正数
1234681224 （2分）
次检验：
（4分）
3模52指数6 （5分）
28 解：
（3分）
余组解
（7分）
29解：显然二次互反律
（1分）
(3分)
（5分）
时3模p二次剩余 （7分）
四应题
30解： 求模7余数
欧拉定理 （2分）
（5分）
（7分）
（9分）
天星期日 （10分）
五 证明题
31证：求 素数2 （2分）
（4分）
（6分）
3模17原根 （8分）
32证：
（1分）
二次互转律
（4分）
（7分）
余方程 解 （8分）
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
