难点4 三二次关系
三二次元二次函数元二次方程元二次等式中学数学重容具丰富涵密切联系时研究包含二次曲线许容工具高考试题中半试题三二次问题关节帮助考生理解三者间区联系掌握函数方程等式思想方法
●难点磁场
已知x实数值二次函数f(x)x2－4ax+2a+12(a∈R)值非负求关x方程|a－1|+2根取值范围
●案例探究
［例1］已知二次函数f(x)ax2+bx+c次函数g(x)－bx中abc满足a>b>ca+b+c0(abc∈R)
(1)求证：两函数图象交两点AB
(2)求线段ABx轴射影A1B1长取值范围
命题意图：题考查考生函数中函数方程思想运力属★★★★★题目
知识托：解答题闪光点熟练应方程知识解决问题数形完美结合
错解分析：题表面重形题难点考生走入误区老想形找解问题突破口忽略数
技巧方法：利方程思想巧妙转化
(1)证明：消yax2+2bx+c0
Δ4b2－4ac4(－a－c)2－4ac4(a2+ac+c2)4［(a+c2］
∵a+b+c0a>b>c∴a>0c<0
∴c2>0∴Δ>0两函数图象交两点
(2)解：设方程ax2+bx+c0两根x1x2x1+x2－x1x2
|A1B1|2(x1－x2)2(x1+x2)2－4x1x2
∵a>b>ca+b+c0a>0c<0
∴a>－a－c>c解∈(－2－)
∵称轴方程
∈(－2－)时减函数
∴|A1B1|2∈(312)|A1B1|∈()
［例2］已知关x二次方程x2+2mx+2m+10
(1)方程两根中根区间(－10)根区间(12)求m范围
(2)方程两根均区间(01)求m范围
命题意图：题重点考查方程根分布问题属★★★★级题目
知识托：解答题闪光点熟知方程根二次函数性质具意义
错解分析：二次函数性质方程根进行限制时条件严谨解答题难点
技巧方法：设出二次方程应函数画出相应示意图然函数性质加限制
解：(1)条件说明抛物线f(x)x2+2mx+2m+1x轴交点分区间(－10)(12)画出示意图
∴
(2)抛物线x轴交点落区间(01)列等式组
(里0<－m<1称轴x－m应区间(01)通)
●锦囊妙计
1二次函数基性质
(1)二次函数三种表示法：
yax2+bx+cya(x－x1)(x－x2)ya(x－x0)2+n
(2)a>0f(x)区间［pq］值M值m令x0 (p+q)
－p≤－x0≤－－≥qf(p)Mf(q)m
2二次方程f(x)ax2+bx+c0实根分布条件
(1)方程f(x)0两根中根r根ra·f(r)<0
(2)二次方程f(x)0两根r
(3)二次方程f(x)0区间(pq)两根
(4)二次方程f(x)0区间(pq)根f(p)·f(q)<0f(p)0(检验)f(q)0(检验)检验根(pq)成立
(5)方程f(x)0两根根p根q(p3二次等式转化策略
(1)二次等式f(x)ax2+bx+c≤0解集：(－∞α)∪［β+∞a<0f(α)f(β)0
(2)a>0时f(α)
|β+|
(3)a>0时二次等式f(x)>0［pq］恒成立
(4)f(x)>0恒成立
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0切x∈R恒成立a取值范围( )
A(－∞2 B－22 C(－22 D(－∞－2)
2(★★★★)设二次函数f(x)x2－x+a(a>0)f(m)<0f(m－1)值( )
A正数 B负数
C非负数 D正数负数零
二填空题
3(★★★★★)已知二次函数f(x)4x2－2(p－2)x－2p2－p+1区间［－11］少存实数cf(c)>0实数p取值范围_________
4(★★★★★)二次函数f(x)二次项系数正意实数x恒f(2+x)f(2－x)f(1－2x2)三解答题
5(★★★★★)已知实数t满足关系式 (a>0a≠1)
(1)令tax求yf(x)表达式
(2)x∈(02时y值8求ax值
6(★★★★)果二次函数ymx2+(m－3)x+1图象x轴交点少原点右侧试求m取值范围
7(★★★★★)二次函数f(x)px2+qx+r中实数pqr满足0中m>0求证：
(1)pf()<0
(2)方程f(x)0(01)恒解
8(★★★★)服装厂生产某种风衣月销售量x(件)售价P(元件)间关系P160－2x生产x件成R500+30x元
(1)该厂月产量时月获利润少1300元？
(2)月产量少时获利润？利润少元？
参考答案
难点磁场
解：条件知Δ≤0(－4a）2－4(2a+12)≤0∴－≤a≤2
(1)－≤a＜1时原方程化：x－a2+a+6∵－a2+a+6－(a－)2+
∴a－时xmina时xmax
∴≤x≤
(2)1≤a≤2时xa2+3a+2(a+)2－
∴a1时xmin6a2时xmax12∴6≤x≤12
综述≤x≤12
歼灭难点训练
1解析：a－20a2时等式－4＜0恒成立∴a2a－2≠0时a满足解－2＜a＜2a范围－2＜a≤2
答案：C
2解析：∵f(x)x2－x+a称轴xf(1)>0f(0)>0f(m)＜0∴m∈(01)
∴m－1＜0∴f(m－1)>0
答案：A
二3解析：需f(1)－2p2－3p+9>0f(－1)－2p2+p+1>0－3＜p＜－＜p＜1∴p∈(－3 )
答案：(－3）
4解析：f(2+x)f(2－x)知x2称轴距称轴较点坐标较
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|∴－2＜x＜0
答案：－2＜x＜0
三5解：(1）logalogat－3logty－3logta
tax知xlogat代入式x－3
∴logayx2－3x+3ya (x≠0)
(2)令ux2－3x+3(x－)2+ (x≠0)yau
①0＜a＜1yau值8
u(x－)2+(02应值u(02存值
②a>1yau值8u(x－)2+x∈(02应值
∴x时uminymin
8a16∴求a16x
6解：∵f(0)1>0
(1)m＜0时二次函数图象x轴两交点分y轴两侧符合题意
(2）m>0时解0＜m≤1
综述m取值范围{m|m≤1m≠0}
7证明：(1)
f(x)二次函数p≠0m>0pf()＜0
(2)题意f(0)rf(1)p+q+r
①p＜0时(1）知f()＜0
r>0f(0)>0f()＜0f(x)0(0)解
r≤0f(1)p+q+rp+(m+1)(－)+r>0
f()＜0f(x)0(1)解
②p＜0时理证
8解：(1）设该厂月获利y题意
y(160－2x)x－(500+30x)－2x2+130x－500
y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0∴(x－20)(x－45)≤0解20≤x≤45
∴月产量20~45件间时月获利少1300元
(2）(1）知y－2x2+130x－500－2(x－)2+16125
∵x正整数∴x3233时y取值1612元
∴月产量32件33件时获利润1612元
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三二次元二次函数元二次方程元二次等式中学数学重容具丰富涵密切联系时研究包含二次曲线许容工具高考试题中半试题三二次问题关节帮助考生理解三者间区联系掌握函数方程等式思想方法
●难点磁场
已知x实数值二次函数f(x)x2－4ax+2a+12(a∈R)值非负求关x方程|a－1|+2根取值范围
●案例探究
［例1］已知二次函数f(x)ax2+bx+c次函数g(x)－bx中abc满足a>b>ca+b+c0(abc∈R)
(1)求证：两函数图象交两点AB
(2)求线段ABx轴射影A1B1长取值范围
命题意图：题考查考生函数中函数方程思想运力属★★★★★题目
知识托：解答题闪光点熟练应方程知识解决问题数形完美结合
错解分析：题表面重形题难点考生走入误区老想形找解问题突破口忽略数
技巧方法：利方程思想巧妙转化
(1)证明：消yax2+2bx+c0
Δ4b2－4ac4(－a－c)2－4ac4(a2+ac+c2)4［(a+c2］
∵a+b+c0a>b>c∴a>0c<0
∴c2>0∴Δ>0两函数图象交两点
(2)解：设方程ax2+bx+c0两根x1x2x1+x2－x1x2
|A1B1|2(x1－x2)2(x1+x2)2－4x1x2
∵a>b>ca+b+c0a>0c<0
∴a>－a－c>c解∈(－2－)
∵称轴方程
∈(－2－)时减函数
∴|A1B1|2∈(312)|A1B1|∈()
［例2］已知关x二次方程x2+2mx+2m+10
(1)方程两根中根区间(－10)根区间(12)求m范围
(2)方程两根均区间(01)求m范围
命题意图：题重点考查方程根分布问题属★★★★级题目
知识托：解答题闪光点熟知方程根二次函数性质具意义
错解分析：二次函数性质方程根进行限制时条件严谨解答题难点
技巧方法：设出二次方程应函数画出相应示意图然函数性质加限制
解：(1)条件说明抛物线f(x)x2+2mx+2m+1x轴交点分区间(－10)(12)画出示意图
∴
(2)抛物线x轴交点落区间(01)列等式组
(里0<－m<1称轴x－m应区间(01)通)
●锦囊妙计
1二次函数基性质
(1)二次函数三种表示法：
yax2+bx+cya(x－x1)(x－x2)ya(x－x0)2+n
(2)a>0f(x)区间［pq］值M值m令x0 (p+q)
－
2二次方程f(x)ax2+bx+c0实根分布条件
(1)方程f(x)0两根中根r根ra·f(r)<0
(2)二次方程f(x)0两根r
(3)二次方程f(x)0区间(pq)两根
(4)二次方程f(x)0区间(pq)根f(p)·f(q)<0f(p)0(检验)f(q)0(检验)检验根(pq)成立
(5)方程f(x)0两根根p根q(p
(1)二次等式f(x)ax2+bx+c≤0解集：(－∞α)∪［β+∞a<0f(α)f(β)0
(2)a>0时f(α)
|β+|
(3)a>0时二次等式f(x)>0［pq］恒成立
(4)f(x)>0恒成立
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0切x∈R恒成立a取值范围( )
A(－∞2 B－22 C(－22 D(－∞－2)
2(★★★★)设二次函数f(x)x2－x+a(a>0)f(m)<0f(m－1)值( )
A正数 B负数
C非负数 D正数负数零
二填空题
3(★★★★★)已知二次函数f(x)4x2－2(p－2)x－2p2－p+1区间［－11］少存实数cf(c)>0实数p取值范围_________
4(★★★★★)二次函数f(x)二次项系数正意实数x恒f(2+x)f(2－x)f(1－2x2)
5(★★★★★)已知实数t满足关系式 (a>0a≠1)
(1)令tax求yf(x)表达式
(2)x∈(02时y值8求ax值
6(★★★★)果二次函数ymx2+(m－3)x+1图象x轴交点少原点右侧试求m取值范围
7(★★★★★)二次函数f(x)px2+qx+r中实数pqr满足0中m>0求证：
(1)pf()<0
(2)方程f(x)0(01)恒解
8(★★★★)服装厂生产某种风衣月销售量x(件)售价P(元件)间关系P160－2x生产x件成R500+30x元
(1)该厂月产量时月获利润少1300元？
(2)月产量少时获利润？利润少元？
参考答案
难点磁场
解：条件知Δ≤0(－4a）2－4(2a+12)≤0∴－≤a≤2
(1)－≤a＜1时原方程化：x－a2+a+6∵－a2+a+6－(a－)2+
∴a－时xmina时xmax
∴≤x≤
(2)1≤a≤2时xa2+3a+2(a+)2－
∴a1时xmin6a2时xmax12∴6≤x≤12
综述≤x≤12
歼灭难点训练
1解析：a－20a2时等式－4＜0恒成立∴a2a－2≠0时a满足解－2＜a＜2a范围－2＜a≤2
答案：C
2解析：∵f(x)x2－x+a称轴xf(1)>0f(0)>0f(m)＜0∴m∈(01)
∴m－1＜0∴f(m－1)>0
答案：A
二3解析：需f(1)－2p2－3p+9>0f(－1)－2p2+p+1>0－3＜p＜－＜p＜1∴p∈(－3 )
答案：(－3）
4解析：f(2+x)f(2－x)知x2称轴距称轴较点坐标较
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|∴－2＜x＜0
答案：－2＜x＜0
三5解：(1）logalogat－3logty－3logta
tax知xlogat代入式x－3
∴logayx2－3x+3ya (x≠0)
(2)令ux2－3x+3(x－)2+ (x≠0)yau
①0＜a＜1yau值8
u(x－)2+(02应值u(02存值
②a>1yau值8u(x－)2+x∈(02应值
∴x时uminymin
8a16∴求a16x
6解：∵f(0)1>0
(1)m＜0时二次函数图象x轴两交点分y轴两侧符合题意
(2）m>0时解0＜m≤1
综述m取值范围{m|m≤1m≠0}
7证明：(1)
f(x)二次函数p≠0m>0pf()＜0
(2)题意f(0)rf(1)p+q+r
①p＜0时(1）知f()＜0
r>0f(0)>0f()＜0f(x)0(0)解
r≤0f(1)p+q+rp+(m+1)(－)+r>0
f()＜0f(x)0(1)解
②p＜0时理证
8解：(1）设该厂月获利y题意
y(160－2x)x－(500+30x)－2x2+130x－500
y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0∴(x－20)(x－45)≤0解20≤x≤45
∴月产量20~45件间时月获利少1300元
(2）(1）知y－2x2+130x－500－2(x－)2+16125
∵x正整数∴x3233时y取值1612元
∴月产量32件33件时获利润1612元
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