课标解读
初中数学新课程标准中指出教师应激发学生学积极性学生提供充分事数学活动机会帮助探索合作交流程中真正理解掌握基数学知识技数学思想方法获广泛数学活动验学生数学学教师数学学组织者引导者合作者
新课程数学思想方法作基础知识重组成部分新课程标准中明确提出仅课标体现义务教育性质重表现学生实施创新教育培训创新思维重保证掌握数学思想掌握数学精髓
解题策略
初中数字中蕴含数学思想中数学思想方法包括转化思想数形结合思想分类讨思想函数方程思想等
考点深剖
★考点 整体思想
整体思想指研究象某部分(全部)成整体通观察分析找出整体局部联系客观寻求解决问题新途径整体局部应常规容易求某()未知量时特征组数代数式作 整体 问题解决
典例1（2018•岳阳）已知a2+2a13（a2+2a）+2值 ．
分析利整体思想代入计算
解答解：∵a2+2a1
∴3（a2+2a）+23×1+25
答案5．
★考点二 转化思想问题
转化思想转化思想需解决问题通演绎纳等转化手段结种相容易解决已解决方法问题原问题解决转化思想体现数学解题程中未知陌生复杂问题通演绎纳转化已知熟悉简单问题
典例2（2018•连云港）解方程：﹣0．
分析根等式性质整式方程根解整式方程答案．
★考点三 数形结合思想
数形结合思想数学研究现实世界空间形式数量关系科学某种程度说数学研究围绕着数形展开初中数学中数代数式方程函数等式等符号表达式初中数学中形图形图象曲线等形象表达式数形结合思想实质抽象数学语言数)直观图象(形)结合起数形结合思想关键抓住数形间质联系形直观表达数数精确研究形实现代数间相互转化数形结合思想包括形助数数辅形两方面代数问题化问题代数化数形时直观形数时难入微
典例3（2018•威海）解等式组解集数轴表示出．
分析根解元次等式组步骤中间找答案
解答解：解等式①x＞﹣4
解等式②x≤2
等式①②解集数轴表示图
原等式组解集﹣4＜x≤2．
★考点四 分类讨思想
分类讨思想根数学象质属性点差异点数学象区分种类分类较基础助揭示数学象间联系规律助学生总结纳数学知识解诀数学问题 解答某数学问题时时会遇种情况需种情况加分类逐类求解然综合
解分类讨法分类讨种逻辑方法种重数学思想时种重解题策略体现化整零积零整思想类整理方法分类原 (1) 分类中部分相互独立 (2) 饮分类标准 (3) 分类讨应逐级进行正确分类必须周全重复遗漏
典例4（2018•绍兴）数学课张老师举面例题：
例1 等腰三角形ABC中∠A110°求∠B度数．（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中∠A40°求∠B度数（答案：40°70°100°）
张老师启发学进行变式敏编题：
变式 等腰三角形ABC中∠A80°求∠B度数．
（1）请解答变式题．
（2）解（1）敏发现∠A度数∠B度数数果等腰三角形ABC中设∠Ax°∠B三度数时请探索x取值范围．
分析（1）等腰三角形顶角底角没明确分类讨
（2）分两种情况：①90≤x＜180②0＜x＜90结合三角形角定理求解．
（2）分两种情况：
①90≤x＜180时∠A顶角
∴∠B度数
②0＜x＜90时
∠A顶角∠B（）°
∠A底角∠B顶角∠B（180﹣2x）°
∠A底角∠B底角∠Bx°．
≠180﹣2x180﹣2x≠x≠x
x≠60时∠B三度数．
综述知0＜x＜90x≠60时∠B三度数．学科&网
★考点五 函数方程思想
函数方程思想函数方程思想函数观点方法分析问题解诀问题函数思想客观世界中事物运动变化相互联系相互制约普遍规律数学中具体反映函数方程思想质变量间应变化观点函数形式研究数量关系表示出然函数性质进行研究问题获解诀果函数形式解析式方式表示函数解析式作方程通解方程方程研究问题解诀方程思想
典例52018•天门）绿色生态农场生产销售某种机产品假设生产出产品全部售出．图线段EF折线ABCD分表示该机产品千克销售价y1（元）生产成y2（元）产量x（kg）间函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）产量x（kg）间函数关系式
（2）直接写出生产成y2（元）产量x（kg）间函数关系式
（3）产量少时种产品获利润？利润少？
解答解：（1）设y1x间函数关系式y1kx+b
∵点（0168）（18060）
∴解：
∴产品销售价y1（元）产量x（kg）间函数关系式y1﹣x+168（0≤x≤180）
（3）设产量xkg时获利润W元
①0≤x≤50时Wx（﹣x+168﹣70）﹣（x﹣）2+
∴x50时W值值3400
②50＜x＜130时Wx[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]﹣（x﹣110）2+4840
∴x110时W值值4840
③130≤x≤180时Wx（﹣x+168﹣54）﹣（x﹣95）2+5415
∴x130时W值值4680．
该产品产量110kg时获利润值4840元．
★考点六 类思想
类思想数学创造型思维中重种思想方法帮助学者建立新旧知识联系桥梁实现知识正迁移已学知识已掌握解题方法迁移陌生问题中进问题解决具体策略分析问题深度→助新旧知识关联→合理进行知识迁移→运类思想→轻松解决疑难问题
典例6（2017山东滨州）根求解答列问题：
①方程x2﹣2x+10解
②方程x2﹣3x+20解
③方程x2﹣4x+30解
…
（2）根方程特征解特征请猜想：
①方程x2﹣9x+80解 [
②关x方程 解x11x2n．[
（3）请配方法解方程x2﹣9x+80验证猜想结正确性．[
分析（1）利式分解法解方程
（2）根方程特征解特征判定方程x2﹣9x+80解18②关x方程解x11x2n元二次方程二次项系数1次项系数1n相反数常数项1n积．
（3）利配方法解方程x2﹣9x+80判断猜想结正确．
（2）根方程特征解特征请猜想：
①方程x2﹣9x+80解x11x28
②关x方程x2﹣（1+n）x+n0解x11x2n．
（3）x2﹣9x﹣8
x2﹣9x+﹣8+
（x﹣）2
x﹣±
x11x28
猜想正确．
答案x1x21x11x22x11x23x2﹣（1+n）x+n0
讲透练活
变式1：（2018•玉林）已知aba+b+1（a﹣1）（b﹣1） ．
分析aba+b+1代入原式ab﹣a﹣b+1合．
解答解：aba+b+1时
原式ab﹣a﹣b+1
a+b+1﹣a﹣b+1
2
答案：2．学科&网
变式2：（2018•州）已知关xy二元次方程组组解a+b 5 ．
分析根方程组解定义问题转化关ab方程组求出ab解决问题
解答解：∵关xy二元次方程组组解
∴解
∴a+b5
答案5．
变式3：（2018•常德）分式方程﹣0解x ．
变式4：（2018•枣庄）图次函数ykx+b（kb常数k≠0）图象x轴y轴分交AB两点反例函数y（n常数n≠0）图象第二象限交点C．CD⊥x轴垂足DOB2OA3OD12．
（1）求次函数反例函数解析式
（2）记两函数图象交点E求△CDE面积
（3）直接写出等式kx+b≤解集．
分析（1）根三角形相似求出点C坐标次函数反例函数解析式
（2）联立解析式求交点坐标
（3）根数形结合等式转化次函数反例函数图象关系．
点A（60）B（012）代入ykx+b：
解：
∴次函数解析式：y﹣2x+12
（2）﹣﹣2x+12时解
x110x2﹣4
x10时y﹣8
∴点E坐标（10﹣8）
∴S△CDES△CDA+S△EDA
（3）等式kx+b≤函数图象表示次函数图象低反例函数图象
∴图象x≥10﹣4≤x＜0
变式5：（2017绥化）等腰△ABC中AD⊥BC交直线BC点DADBC△ABC顶角度数 ．w
分析分两种情况①BC腰②BC底根直角三角形30°角直角边等斜边半判断出∠ACD30°然分AD△ABC部外部两种情况求解．
变式6：（2017贵州安）图甲直线y﹣x+3x轴y轴分交点B点CBC两点抛物线yx2+bx+cx轴交点A顶点P．
（1）求该抛物线解析式
（2）该抛物线称轴否存点MCPM顶点三角形等腰三角形？存请直接写出符合条件点M坐标存请说明理
（3）0＜x＜3时抛物线求点E△CBE面积值（图乙丙供画图探究）．
解答解：
（1）∵直线y﹣x+3x轴y轴分交点B点C
∴B（30）C（03）
BC坐标代入抛物线解析式解
∴抛物线解析式yx2﹣4x+3
（2）∵yx2﹣4x+3（x﹣2）2﹣1
∴抛物线称轴x2P（2﹣1）
设M（2t）C（03）
∴MCMP|t+1|PC2
∵△CPM等腰三角形
∴MCMPMCPCMPPC三种情况
①MCMP时|t+1|解t时M（2）
②MCPC时2解t﹣1（P点重合舍）t7时M（27）
③MPPC时|t+1|2解t﹣1+2t﹣1﹣2时M（2﹣1+2）（2﹣1﹣2）
综知存满足条件点M坐标（2）（27）（2﹣1+2）（2﹣1﹣2）
（3）图E作EF⊥x轴交BC点F交x轴点D
变式7：（2017蒙古赤峰）△OPA△OQB分OPOQ直角边等腰直角三角形点CDE分OAOBAB中点．
（1）∠AOB90°时图1连接PEQE直接写出EPEQ关系
（2）△OQB绕点O逆时针方旋转∠AOB锐角时图2（1）中结否成立？成立请出证明成立请加说明．
（3）△OQB绕点O旋转∠AOB钝角时延长PCQD交点G△ABG等边三角形图3求∠AOB度数．
分析（1）先判断出点POQ条直线判断出△APE≌△BFE直角三角形斜边中线等斜边半出结
（2）先判断出CEDQPCDE进判断出△EPC≌△QED出结
（3）先判断出CQGP分OBOA垂直分线进出∠GBO∠GOB∠GOA∠GAO出结．21教育名师原创作品学科&网
∵∠AEP∠BEF
∴△APE≌△BFE
∴PEEF
∴点ERt△PQF斜边PF中点
∴EPEQ
（2）成立
证明：∵点CE分OAAB中点
∴CE∥OBCEOB
∴∠DOC∠ECA
∵点DRt△OQB斜边中点
∴DQOB
∴CEDQ
理：PCDE∠DOC∠BDE
∴∠ECA∠BDE
∵∠PCE∠EDQ
∴△EPC≌△QED
∴EPEQ
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课标解读
初中数学新课程标准中指出教师应激发学生学积极性学生提供充分事数学活动机会帮助探索合作交流程中真正理解掌握基数学知识技数学思想方法获广泛数学活动验学生数学学教师数学学组织者引导者合作者
新课程数学思想方法作基础知识重组成部分新课程标准中明确提出仅课标体现义务教育性质重表现学生实施创新教育培训创新思维重保证掌握数学思想掌握数学精髓
解题策略
初中数字中蕴含数学思想中数学思想方法包括转化思想数形结合思想分类讨思想函数方程思想等
考点深剖
★考点 整体思想
整体思想指研究象某部分(全部)成整体通观察分析找出整体局部联系客观寻求解决问题新途径整体局部应常规容易求某()未知量时特征组数代数式作 整体 问题解决
典例1（2018•岳阳）已知a2+2a13（a2+2a）+2值 ．
分析利整体思想代入计算
解答解：∵a2+2a1
∴3（a2+2a）+23×1+25
答案5．
★考点二 转化思想问题
转化思想转化思想需解决问题通演绎纳等转化手段结种相容易解决已解决方法问题原问题解决转化思想体现数学解题程中未知陌生复杂问题通演绎纳转化已知熟悉简单问题
典例2（2018•连云港）解方程：﹣0．
分析根等式性质整式方程根解整式方程答案．
★考点三 数形结合思想
数形结合思想数学研究现实世界空间形式数量关系科学某种程度说数学研究围绕着数形展开初中数学中数代数式方程函数等式等符号表达式初中数学中形图形图象曲线等形象表达式数形结合思想实质抽象数学语言数)直观图象(形)结合起数形结合思想关键抓住数形间质联系形直观表达数数精确研究形实现代数间相互转化数形结合思想包括形助数数辅形两方面代数问题化问题代数化数形时直观形数时难入微
典例3（2018•威海）解等式组解集数轴表示出．
分析根解元次等式组步骤中间找答案
解答解：解等式①x＞﹣4
解等式②x≤2
等式①②解集数轴表示图
原等式组解集﹣4＜x≤2．
★考点四 分类讨思想
分类讨思想根数学象质属性点差异点数学象区分种类分类较基础助揭示数学象间联系规律助学生总结纳数学知识解诀数学问题 解答某数学问题时时会遇种情况需种情况加分类逐类求解然综合
解分类讨法分类讨种逻辑方法种重数学思想时种重解题策略体现化整零积零整思想类整理方法分类原 (1) 分类中部分相互独立 (2) 饮分类标准 (3) 分类讨应逐级进行正确分类必须周全重复遗漏
典例4（2018•绍兴）数学课张老师举面例题：
例1 等腰三角形ABC中∠A110°求∠B度数．（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中∠A40°求∠B度数（答案：40°70°100°）
张老师启发学进行变式敏编题：
变式 等腰三角形ABC中∠A80°求∠B度数．
（1）请解答变式题．
（2）解（1）敏发现∠A度数∠B度数数果等腰三角形ABC中设∠Ax°∠B三度数时请探索x取值范围．
分析（1）等腰三角形顶角底角没明确分类讨
（2）分两种情况：①90≤x＜180②0＜x＜90结合三角形角定理求解．
（2）分两种情况：
①90≤x＜180时∠A顶角
∴∠B度数
②0＜x＜90时
∠A顶角∠B（）°
∠A底角∠B顶角∠B（180﹣2x）°
∠A底角∠B底角∠Bx°．
≠180﹣2x180﹣2x≠x≠x
x≠60时∠B三度数．
综述知0＜x＜90x≠60时∠B三度数．学科&网
★考点五 函数方程思想
函数方程思想函数方程思想函数观点方法分析问题解诀问题函数思想客观世界中事物运动变化相互联系相互制约普遍规律数学中具体反映函数方程思想质变量间应变化观点函数形式研究数量关系表示出然函数性质进行研究问题获解诀果函数形式解析式方式表示函数解析式作方程通解方程方程研究问题解诀方程思想
典例52018•天门）绿色生态农场生产销售某种机产品假设生产出产品全部售出．图线段EF折线ABCD分表示该机产品千克销售价y1（元）生产成y2（元）产量x（kg）间函数关系．
（1）求该产品销售价y1（元）产量x（kg）间函数关系式
（2）直接写出生产成y2（元）产量x（kg）间函数关系式
（3）产量少时种产品获利润？利润少？
解答解：（1）设y1x间函数关系式y1kx+b
∵点（0168）（18060）
∴解：
∴产品销售价y1（元）产量x（kg）间函数关系式y1﹣x+168（0≤x≤180）
（3）设产量xkg时获利润W元
①0≤x≤50时Wx（﹣x+168﹣70）﹣（x﹣）2+
∴x50时W值值3400
②50＜x＜130时Wx[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]﹣（x﹣110）2+4840
∴x110时W值值4840
③130≤x≤180时Wx（﹣x+168﹣54）﹣（x﹣95）2+5415
∴x130时W值值4680．
该产品产量110kg时获利润值4840元．
★考点六 类思想
类思想数学创造型思维中重种思想方法帮助学者建立新旧知识联系桥梁实现知识正迁移已学知识已掌握解题方法迁移陌生问题中进问题解决具体策略分析问题深度→助新旧知识关联→合理进行知识迁移→运类思想→轻松解决疑难问题
典例6（2017山东滨州）根求解答列问题：
①方程x2﹣2x+10解
②方程x2﹣3x+20解
③方程x2﹣4x+30解
…
（2）根方程特征解特征请猜想：
①方程x2﹣9x+80解 [
②关x方程 解x11x2n．[
（3）请配方法解方程x2﹣9x+80验证猜想结正确性．[
分析（1）利式分解法解方程
（2）根方程特征解特征判定方程x2﹣9x+80解18②关x方程解x11x2n元二次方程二次项系数1次项系数1n相反数常数项1n积．
（3）利配方法解方程x2﹣9x+80判断猜想结正确．
（2）根方程特征解特征请猜想：
①方程x2﹣9x+80解x11x28
②关x方程x2﹣（1+n）x+n0解x11x2n．
（3）x2﹣9x﹣8
x2﹣9x+﹣8+
（x﹣）2
x﹣±
x11x28
猜想正确．
答案x1x21x11x22x11x23x2﹣（1+n）x+n0
讲透练活
变式1：（2018•玉林）已知aba+b+1（a﹣1）（b﹣1） ．
分析aba+b+1代入原式ab﹣a﹣b+1合．
解答解：aba+b+1时
原式ab﹣a﹣b+1
a+b+1﹣a﹣b+1
2
答案：2．学科&网
变式2：（2018•州）已知关xy二元次方程组组解a+b 5 ．
分析根方程组解定义问题转化关ab方程组求出ab解决问题
解答解：∵关xy二元次方程组组解
∴解
∴a+b5
答案5．
变式3：（2018•常德）分式方程﹣0解x ．
变式4：（2018•枣庄）图次函数ykx+b（kb常数k≠0）图象x轴y轴分交AB两点反例函数y（n常数n≠0）图象第二象限交点C．CD⊥x轴垂足DOB2OA3OD12．
（1）求次函数反例函数解析式
（2）记两函数图象交点E求△CDE面积
（3）直接写出等式kx+b≤解集．
分析（1）根三角形相似求出点C坐标次函数反例函数解析式
（2）联立解析式求交点坐标
（3）根数形结合等式转化次函数反例函数图象关系．
点A（60）B（012）代入ykx+b：
解：
∴次函数解析式：y﹣2x+12
（2）﹣﹣2x+12时解
x110x2﹣4
x10时y﹣8
∴点E坐标（10﹣8）
∴S△CDES△CDA+S△EDA
（3）等式kx+b≤函数图象表示次函数图象低反例函数图象
∴图象x≥10﹣4≤x＜0
变式5：（2017绥化）等腰△ABC中AD⊥BC交直线BC点DADBC△ABC顶角度数 ．w
分析分两种情况①BC腰②BC底根直角三角形30°角直角边等斜边半判断出∠ACD30°然分AD△ABC部外部两种情况求解．
变式6：（2017贵州安）图甲直线y﹣x+3x轴y轴分交点B点CBC两点抛物线yx2+bx+cx轴交点A顶点P．
（1）求该抛物线解析式
（2）该抛物线称轴否存点MCPM顶点三角形等腰三角形？存请直接写出符合条件点M坐标存请说明理
（3）0＜x＜3时抛物线求点E△CBE面积值（图乙丙供画图探究）．
解答解：
（1）∵直线y﹣x+3x轴y轴分交点B点C
∴B（30）C（03）
BC坐标代入抛物线解析式解
∴抛物线解析式yx2﹣4x+3
（2）∵yx2﹣4x+3（x﹣2）2﹣1
∴抛物线称轴x2P（2﹣1）
设M（2t）C（03）
∴MCMP|t+1|PC2
∵△CPM等腰三角形
∴MCMPMCPCMPPC三种情况
①MCMP时|t+1|解t时M（2）
②MCPC时2解t﹣1（P点重合舍）t7时M（27）
③MPPC时|t+1|2解t﹣1+2t﹣1﹣2时M（2﹣1+2）（2﹣1﹣2）
综知存满足条件点M坐标（2）（27）（2﹣1+2）（2﹣1﹣2）
（3）图E作EF⊥x轴交BC点F交x轴点D
变式7：（2017蒙古赤峰）△OPA△OQB分OPOQ直角边等腰直角三角形点CDE分OAOBAB中点．
（1）∠AOB90°时图1连接PEQE直接写出EPEQ关系
（2）△OQB绕点O逆时针方旋转∠AOB锐角时图2（1）中结否成立？成立请出证明成立请加说明．
（3）△OQB绕点O旋转∠AOB钝角时延长PCQD交点G△ABG等边三角形图3求∠AOB度数．
分析（1）先判断出点POQ条直线判断出△APE≌△BFE直角三角形斜边中线等斜边半出结
（2）先判断出CEDQPCDE进判断出△EPC≌△QED出结
（3）先判断出CQGP分OBOA垂直分线进出∠GBO∠GOB∠GOA∠GAO出结．21教育名师原创作品学科&网
∵∠AEP∠BEF
∴△APE≌△BFE
∴PEEF
∴点ERt△PQF斜边PF中点
∴EPEQ
（2）成立
证明：∵点CE分OAAB中点
∴CE∥OBCEOB
∴∠DOC∠ECA
∵点DRt△OQB斜边中点
∴DQOB
∴CEDQ
理：PCDE∠DOC∠BDE
∴∠ECA∠BDE
∵∠PCE∠EDQ
∴△EPC≌△QED
∴EPEQ
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