选择题(10题50分)
1 命题: ax2−2ax+3>0 恒成立真命题实数 a 取值范围
A 0≤a<3 B 0≤a≤3 C 0
2 等式 x+3−x−1≤a2−3a 意实数 x 恒成立实数 a 取值范围
A −∞−1∪4+∞ B −∞−2∪5+∞
C 12 D −∞1∪2+∞
3 等式 x−2−x+2≥a 解实数 a 取值范围
A a≥−4 B a≤−4 C a≤4 D a≥4
4 设函数 fxx2−ax+a+3gxax−2a.存 x0∈R fx0<0 gx0<0 时成立实数 a 取值范围 .
A −∞2 B 04 C 6+∞ D 7+∞
5 R 定义运算 ⊗x⊗yx1−y .等式 x−a⊗x+a<1 意实数 x 成立
A −1
6 等式 x2+ax−2>0 区间 15 解 a 取值范围
A −235+∞ B −2351
C 1+∞ D −∞−235
7 等式 2−ax2−2a−2x+4>0 切实数 x 成立
A a−2 C aa<−2 D aa<−2 a>2
8 已知 a>0b>0满足 a3+b41 ab 值
A 2 B 3 C 4 D 6
9 等式 x2+ax+1≥0 切 x∈012 成立 a 取值范围
A a≥0 B a≤−2 C a≥−52 D a≤−3
10 已知等式 x+y1x+ay≥9 意正实数 xy 恒成立正实数 a 值
A 2 B 4 C 6 D 8
二填空题(5题25分)
11 已知函数 fx∣x2−ax∣意 x∈12fx≤2x2+2 恒成立实数 a 取值范围 .
12 关 x 等式 ∣x−1∣+∣x−3∣
13 函数 fx1ax2+3ax+1 定义域 R实数 a 取值范围 .
14 等式 3x2+2x+2x2+x+1≥m 意实数 x 成立实数 m 取值范围 .
15 满足 −1≤t≤3 切实数 t等式 x2−t2+t−3x+t2t−3>0 恒成立 x 取值范围 .
三解答题(3题39分)
16 k 取值时关 x 等式 2kx2+kx−38<0 切实数 x 成立
17 定义 R 函数 fx4x4x+2Snf1n+f2n+⋯+fn−1nn23⋯.
(1)求 Sn
(2)否存常数 M>0∀n≥2 1S2+1S3+⋯+1Sn+1≤M
18 意 a∈−11 函数 fxx2+a−4x+4−2a 值恒零求 x 取值范围.
答案
第部分
1 A 解析 a0 时等式恒成立
a>0 时 Δ4a2−12a<0 02 A
3 C 解析根题意
a≤x−2−x+2max
绝值意义
x−2−x+2≤4
a≤4.
4 D 解析题意a≠0.
① a>0 时 gx<0 x<2存 x0∈R fx0<0 gx0<0 时成立必 x2−ax+a+30 判式 Δ>0 a2−4a+3>0解 a>6 a<−2. a>0 a>6时二次函数 fxx2−ax+a+3 称轴 xa2二次函数两零点 2 2 存符合题意 x0 f2<0解 a>7.
② a<0 时 gx<0 x>2存 x0∈R fx0<0 gx0<0 时成立必 x2−ax+a+30 判式 Δ>0 a2−4a+3>0解 a>6 a<−2 a<0 a<−2时 a2<−1二次函数两零点 2 2 存符合题意 x0 f2<0解 a>7 a<0 矛盾.
综述a 取值范围 7+∞.
5 C
6 A 解析 Δa2+8>0 知方程 x2+ax−20 恒两等实根知两根积负
方程必正根负根.
等式区间 15 解充条件 f5>0
25+5a−2>0
解 a>−235
a 取值范围 −235+∞.
7 B
8 B 解析∵ a>0b>0满足 a3+b41
∴ 1≥2a3⋅b4化:ab≤3仅 a32b2 时取等号 ab 值 3.
9 C 解析题等价 −a≤x+1x 意 x∈012 恒成立.
记 fxx+1x函数勾函数 01 单调递减 fx 012 fxmin52 −a≤52 a≥−52.
10 B
解析x+y1x+ay1+a+yx+axy≥1+a+2aa+12xya>0仅 yax 时取等号
x+y⋅1x+ay 值 a+12 a+12≥9 恒成立.
a≥4.
第二部分
11 −225
解析fx≤2x2+2 等价 ∣x2−ax∣≤2x2+2 −2x2−2≤x2−ax≤2x2+2
①先研究 x2−ax≤2x2+2 意 x∈12 恒成立 a≥−x−2x 意 x∈12 恒成立
−x−2x−x+2x≤−22仅x2时取等号
a≥−22
②研究 −2x2−2≤x2−ax 意 x∈12 恒成立 a≤3x+2x 意 x∈12 恒成立
函数 y3x+2x 12 单调递增
3x+2xmin3+25
a≤5
综实数 a 取值范围 −225.
12 2+∞
解析题意 ∣x−1∣+∣x−3∣min
m>2.
13 a0≤a<49
解析 fx 定义域 R.
等式 ax2+3ax+1>0 恒成立.
① a0 时等式等价 1>0显然恒成立
② a≠0 时
a>0△<0⇔a>03a2−4a<0⇔a>0a9a−4<0⇔0①②知0≤a<49.
14 m≤2
解析等式 3x2+2x+2x2+x+1≥m化 3−mx2+2−mx+2−m≥0.
等式 3x2+2x+2x2+x+1≥m 意实数 x 成立
3−mx2+2−mx+2−m≥0.意实数 x 成立
m3 时化 x+1≤0满足求舍
m≠3 时变形满足 3−m>0Δ2−m2−43−m2−m≤0
解:m≤2.
15 x
解析原等式化 x−t2x−t−3>0
t2−t−3t2−t+3t−122+3−14>0
x
x
第三部分
16 k0 时显然成立 k≠0 时k<0k2−4⋅2k⋅−38<0 解 −3
2Snfkn+fn−knk1n−1n−1Snn−12.
(2) 存.1Skk2n+121+12+13+⋯+1n取 n2m 1Skk2n+1>212+12+14+14+18+18+18+18+⋯+12m21+12+12+⋯+12⏟m21+m2
m→+∞ 时21+m2→+∞存 M>0 ∀n≥21Skk2n+1≤M.
18 fxx2+a−4x+4−2ax−2a+x2−4x+4成关 a 次函数 ga
题意
g−1>0g1>0x2−5x+6>0x2−3x+2>0
解 x<1 x>3 .
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