弹簧质量阻尼系统
1 研究背景意义
弹簧质量阻尼系统种较普遍机械振动系统研究种系统生活科技具意义生活中处见种系统例汽车缓器种耗减运动量装置保证驾驶员行车安全必备装置者建筑抗震加固措施中引入阻尼器改变结构振特性增加结构阻尼吸收震量降低震作建筑物影响研究弹簧质量阻尼结构具现实意义
2 弹簧质量阻尼模型建立
数学模型定量描述系统动态特性揭示系统结构参数动态特性间关系数学表达式中微分方程基数学模型 机械液压电气热力学系统等微分方程描述微分方程解系统输入作输出响应建立数学模型研究系统预测动态响应前提 通常情况列写机械振动系统微分方程应力学中牛顿定律质量守恒定律等
弹簧质量阻尼系统常见机械振动系统机械系统图21示
图21 弹簧质量阻尼系统简图
中表示车质量表示缓器粘滞摩擦系数表示弹簧弹性系数（t）表示车受外力系统输入（t）（t）(t)表示车位移系统输出（t）(t)i12设缓器摩擦力活塞速度成正中1kg2kg100Ncm300Ncm3Nscm6Nscm
图21根牛顿第二定律建立系统动力学模型：
：
（21）
：
（22）
3 建立状态空间表达式
令原式化：
化简：
（23）
（24）
整理：
（25）
代入数：
系统状态空间表达式
4 化角标准型
系统矩阵An相等特征根时相应n相等特征量矩阵A特征矩阵
根矩阵
线性变换：
matlab进行角标准型运算matlab作种数学运算工具程度方便计算弹簧质量阻尼系统四阶状态空间表达式matlab简化计算
（1） 求特征值特征量
A[0 0 1 00 0 0 1400 300 9 6150 200 3 45]
B[0 00 01 00 05]
C[1 0 0 00 1 0 0]
[PJ]eig(A)
求结果：
P
00007 00402i 00007 + 00402i 00401 00698i 00401 + 00698i
00171 + 00157i 00171 00157i 00176 00792i 00176 + 00792i
08650 08650 06682 + 02084i 06682 02084i
03442 03621i 03442 + 03621i 07050 07050
J
03667 +215183i 0 0 0
0 03667 215183i 0 0
0 0 18833 + 84864i 0
0 0 0 18833 84864i
（2） P矩阵求逆
PNinv(P)
求结果：
PN
34167 + 97803i 21017 92399i 03466 02323i 04703 01054i
34167 97803i 21017 + 92399i 03466 + 02323i 04703 + 01054i
33554 + 34224i 37199 + 32032i 02886 00353i 05337 02409i
33554 34224i 37199 32032i 02886 + 00353i 05337 + 02409i
（3） 带入公式
解角标准型：
5求状态空间表达式解
（1） 求状态转移矩阵
中T特征量
状态转移矩阵：
5 控性观性
典控制理控性观性具实际意义概念典控制理中传递函数描述系统输入输出特性输出量控量系统果系统稳定输出量便受控输出量总测量需控观性提出现代控制理建立状态空间表达式描述系统基础状态方程描述输入u（t）引起状态x（t）变化程输出方程描述状态变化引起输出y（t）变化控观便定性描述输入u（t）状态x(t)控制力输出y（t）状态x（t）反应力分回答输入否控制状态变化控性
状态变化否输出反映出观性
外工程常状态变量作反馈信息状态x（t）值通常难测需测量y（t）中估计出状态果输出y（t）完全反映出系统状态x（t）法实现状态估计
控性定义：系统状态方程描述时定系统意初始状态找允许输入量限时间系统状态达终止状态称系统完全控状态方程x’(t)Ax(t)+Bu(t) 解：
果限时间0 < t < t1通输入量u(t)作系统状态引状态x(t1)[设x(t1)0] 应：
定x(0)AB条件求x(t)x(t1)u(t)换言：述方程解系统控
根凯莱－哈米尔顿定理 eAt eAt写成限级数：
果方程解等式右边左侧矩阵应满秩n时系统控
求控性：
n4 满秩系统控
观性定义：系统状态方程描述时定控制果系统初始状态x(0)限时间通系统输出y(t)唯确定称系统完全观确定部分初始状态称系统部分观状态方程x’(t)Ax(t)+Bu(t) y(t)Cx(t) 解
讨观性问题时输入定式右侧第二项确知设u(t)0
y(t)CeAtx(0)根凯莱－哈米尔顿定理 eAt eAt写成限级数：
果方程解等式右侧中间侧矩阵应满秩
中秩n(系统阶数)
求观性：
n4满秩系统观
6 求系统输入输出传递函数
两输入两输出系统求传递函数二阶传递函数阵中包含四传递函数
Transfer function from input 1 to output
s^2 + 45 s + 200
#1
s^4 45 s^3 + 5415 s^2 1800 s + 35e004
3 s + 150
#2
s^4 45 s^3 + 5415 s^2 1800 s + 35e004
Transfer function from input 2 to output
3 s + 150
#1
s^4 45 s^3 + 5415 s^2 1800 s + 35e004
05 s^2 45 s + 200
#2
s^4 45 s^3 + 5415 s^2 1800 s + 35e004
矩阵函数阵：
7 分析开环稳定性
稳定性定义系统受外界扰动系统状态方程解收敛性系统正常工作求系统受外界扰动然原衡状态破扰动消失然恢复原衡状态者趋衡状态继续工作线性系统稳定性输入作关研究系统稳定性研究系统否正常工作具重意义稳定性动控制系统正常工作必条件系统重特征仅分析系统否稳定 解决问题便样系统稳定典控制理稳定性判方法例代数判niquist判根轨迹判等现代控制理常李雅普诺夫第二法求稳定性
（1）利特征根方法
根述结果求特征根 03667 +215183i 03667 +215183i 18833 + 84864i 18833 84864i 四特征值全部坐标轴右半面系统稳定
（2）利利亚普诺夫第二法求解
中：
换成矩阵形式出A正定系统稳定
8 利状态反馈系统闭环极点配置合适值
状态反馈系统状态变量相应反馈系数馈送输入端参考输入相加作受控系统控制输入
原受控象 状态反馈闭环系统
闭环系统期极点选取原点：
1）n维控制系统n期极点
2）期极点物理实现实数轭复数
3）期极点位置选取需考虑系统品质影响（离虚轴位置）零点分布状况关系
4）离虚轴距离较导极点收敛慢系统性影响远极点收敛快系统极影响
闭环极点 03667 +215183i 03667 215183i 18833 + 84864i 18833 84864i
配置状态反馈系统应稳定期极点应虚轴左侧期闭环极点 11001+645549i 11001645549i 56499+254952 56499254952
极点配置矩阵
K
10e+003 *
12556 00375 00157 00332
09718 28969 00839 0004
验证极点配置结果正确：ans
11001 645549i 11001 +645549i 56499 254952i 56499 +254952i
求开环传递函数阶跃响应曲线（没状态反馈）：
没升时间
状态反馈传递函数：
状态空间表达式
Matlab解闭环传递函数：
s^2 + 6758 s + 1648
#1
s^4 + 135 s^3 + 4875 s^2 + 486e004 s + 2843e006
3895 s 3359
#2
s^4 + 135 s^3 + 4875 s^2 + 486e004 s + 2843e006
Transfer function from input 2 to output
1959 s + 1687
#1
s^4 + 135 s^3 + 4875 s^2 + 486e004 s + 2843e006
05 s^2 + 3371 s + 8278
#2
s^4 + 135 s^3 + 4875 s^2 + 486e004 s + 2843e006
反馈阶跃响应：
阶跃响应升时间0034s配置系统终稳定
9 设计全维状态观测器
系统状态物理够直接测量需系统量测参量输入u输出y估计系统状态 状态观测器基直接量测输出变量y控制变量u估计状态变量物理实现模拟动力学系统果系统状态完全观测根输出y测量唯确定系统初始状态满足定条件便测量yu中x间接重构出
全维渐进状态结构图：
系统原极点03667 +215183i 03667 +215183i 18833 + 84864i 18833 84864i
期极点应原极点25倍越快越
期极点 14668 +860732i 14668 860732i 75332 +339456i 75332 339456i
相应全维观测器：
10 带观测器输出状态空间表达式：
D0
分输出观测状态传递函数：
Transfer function from input y1 to output
1751 s^3 + 5899 s^2 + 123e005 s + 7911e006
y1_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
5262 s^3 + 3591 s^2 6844 s + 4369e005
y2_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
1751 s^3 + 5899 s^2 + 123e005 s + 7911e006
x1_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
5262 s^3 + 3591 s^2 6844 s + 4369e005
x2_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
3200 s^3 + 9295e004 s^2 + 7698e006 s + 3967e006
x3_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
1223 s^3 + 1405e005 s^2 8571 s + 5737e007
x4_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
Transfer function from input y2 to output
5113 s^3 + 1379 s^2 + 2945e004 s + 8583e005
y1_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
4985 s^3 + 5001 s^2 + 1152e005 s + 8303e006
y2_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
5113 s^3 + 1379 s^2 + 2945e004 s + 8583e005
x1_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
4985 s^3 + 5001 s^2 + 1152e005 s + 8303e006
x2_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
1609 s^3 1337e005 s^2 + 1373e006 s 1853e007
x3_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
2246 s^3 + 2437e004 s^2 + 6754e006 s 4844e007
x4_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
Input groups
Name Channels
Measurement 12
Output groups
Name Channels
OutputEstimate 12
StateEstimate 3456
分析稳定性
根阶跃响应图系统稳定升时间00015s
附录：
A[0 0 1 00 0 0 1400 300 9 6150 200 3 45]
B[0 00 01 00 05]
C[1 0 0 00 1 0 0]
D0
Gss(ABCD)
Gctf(G)
Po[ 11001+645549i 11001645549i 56499+254952i 56499254952i]
Kplace(ABPo)
aAB*K
gss(aBCD)
gctf(g)
eig(a)＇
P1[14668+860732i 14668860732i 75332+339456i 75332339456i]
Lplace(A＇C＇P1)＇
estestim(GL)
step(est)
tf(est)
结束语：次作业正现代控制理书容串联起现代控制理状态空间表达式出发研究系统稳定性控制品质动控制原理输入输出出发研究系统份作业终目设计状态观测器改变系统控制品质通次作业锻炼查找信息力网者书籍培养学力做项务力通图书馆查阅相关书籍搜索引擎搜索相关容解答做作业困惑学matlab软件判断系统控观性稳定性状态空间表达式传递函数间化简世纪状态观测器服务总通次作业收获少传统考核 书学知识实践相结合机会真正锻炼方面力提高实践力
华北电力学
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1 研究背景意义
弹簧质量阻尼系统种较普遍机械振动系统研究种系统生活科技具意义生活中处见种系统例汽车缓器种耗减运动量装置保证驾驶员行车安全必备装置者建筑抗震加固措施中引入阻尼器改变结构振特性增加结构阻尼吸收震量降低震作建筑物影响研究弹簧质量阻尼结构具现实意义
2 弹簧质量阻尼模型建立
数学模型定量描述系统动态特性揭示系统结构参数动态特性间关系数学表达式中微分方程基数学模型 机械液压电气热力学系统等微分方程描述微分方程解系统输入作输出响应建立数学模型研究系统预测动态响应前提 通常情况列写机械振动系统微分方程应力学中牛顿定律质量守恒定律等
弹簧质量阻尼系统常见机械振动系统机械系统图21示
图21 弹簧质量阻尼系统简图
中表示车质量表示缓器粘滞摩擦系数表示弹簧弹性系数（t）表示车受外力系统输入（t）（t）(t)表示车位移系统输出（t）(t)i12设缓器摩擦力活塞速度成正中1kg2kg100Ncm300Ncm3Nscm6Nscm
图21根牛顿第二定律建立系统动力学模型：
：
（21）
：
（22）
3 建立状态空间表达式
令原式化：
化简：
（23）
（24）
整理：
（25）
代入数：
系统状态空间表达式
4 化角标准型
系统矩阵An相等特征根时相应n相等特征量矩阵A特征矩阵
根矩阵
线性变换：
matlab进行角标准型运算matlab作种数学运算工具程度方便计算弹簧质量阻尼系统四阶状态空间表达式matlab简化计算
（1） 求特征值特征量
A[0 0 1 00 0 0 1400 300 9 6150 200 3 45]
B[0 00 01 00 05]
C[1 0 0 00 1 0 0]
[PJ]eig(A)
求结果：
P
00007 00402i 00007 + 00402i 00401 00698i 00401 + 00698i
00171 + 00157i 00171 00157i 00176 00792i 00176 + 00792i
08650 08650 06682 + 02084i 06682 02084i
03442 03621i 03442 + 03621i 07050 07050
J
03667 +215183i 0 0 0
0 03667 215183i 0 0
0 0 18833 + 84864i 0
0 0 0 18833 84864i
（2） P矩阵求逆
PNinv(P)
求结果：
PN
34167 + 97803i 21017 92399i 03466 02323i 04703 01054i
34167 97803i 21017 + 92399i 03466 + 02323i 04703 + 01054i
33554 + 34224i 37199 + 32032i 02886 00353i 05337 02409i
33554 34224i 37199 32032i 02886 + 00353i 05337 + 02409i
（3） 带入公式
解角标准型：
5求状态空间表达式解
（1） 求状态转移矩阵
中T特征量
状态转移矩阵：
5 控性观性
典控制理控性观性具实际意义概念典控制理中传递函数描述系统输入输出特性输出量控量系统果系统稳定输出量便受控输出量总测量需控观性提出现代控制理建立状态空间表达式描述系统基础状态方程描述输入u（t）引起状态x（t）变化程输出方程描述状态变化引起输出y（t）变化控观便定性描述输入u（t）状态x(t)控制力输出y（t）状态x（t）反应力分回答输入否控制状态变化控性
状态变化否输出反映出观性
外工程常状态变量作反馈信息状态x（t）值通常难测需测量y（t）中估计出状态果输出y（t）完全反映出系统状态x（t）法实现状态估计
控性定义：系统状态方程描述时定系统意初始状态找允许输入量限时间系统状态达终止状态称系统完全控状态方程x’(t)Ax(t)+Bu(t) 解：
果限时间0 < t < t1通输入量u(t)作系统状态引状态x(t1)[设x(t1)0] 应：
定x(0)AB条件求x(t)x(t1)u(t)换言：述方程解系统控
根凯莱－哈米尔顿定理 eAt eAt写成限级数：
果方程解等式右边左侧矩阵应满秩n时系统控
求控性：
n4 满秩系统控
观性定义：系统状态方程描述时定控制果系统初始状态x(0)限时间通系统输出y(t)唯确定称系统完全观确定部分初始状态称系统部分观状态方程x’(t)Ax(t)+Bu(t) y(t)Cx(t) 解
讨观性问题时输入定式右侧第二项确知设u(t)0
y(t)CeAtx(0)根凯莱－哈米尔顿定理 eAt eAt写成限级数：
果方程解等式右侧中间侧矩阵应满秩
中秩n(系统阶数)
求观性：
n4满秩系统观
6 求系统输入输出传递函数
两输入两输出系统求传递函数二阶传递函数阵中包含四传递函数
Transfer function from input 1 to output
s^2 + 45 s + 200
#1
s^4 45 s^3 + 5415 s^2 1800 s + 35e004
3 s + 150
#2
s^4 45 s^3 + 5415 s^2 1800 s + 35e004
Transfer function from input 2 to output
3 s + 150
#1
s^4 45 s^3 + 5415 s^2 1800 s + 35e004
05 s^2 45 s + 200
#2
s^4 45 s^3 + 5415 s^2 1800 s + 35e004
矩阵函数阵：
7 分析开环稳定性
稳定性定义系统受外界扰动系统状态方程解收敛性系统正常工作求系统受外界扰动然原衡状态破扰动消失然恢复原衡状态者趋衡状态继续工作线性系统稳定性输入作关研究系统稳定性研究系统否正常工作具重意义稳定性动控制系统正常工作必条件系统重特征仅分析系统否稳定 解决问题便样系统稳定典控制理稳定性判方法例代数判niquist判根轨迹判等现代控制理常李雅普诺夫第二法求稳定性
（1）利特征根方法
根述结果求特征根 03667 +215183i 03667 +215183i 18833 + 84864i 18833 84864i 四特征值全部坐标轴右半面系统稳定
（2）利利亚普诺夫第二法求解
中：
换成矩阵形式出A正定系统稳定
8 利状态反馈系统闭环极点配置合适值
状态反馈系统状态变量相应反馈系数馈送输入端参考输入相加作受控系统控制输入
原受控象 状态反馈闭环系统
闭环系统期极点选取原点：
1）n维控制系统n期极点
2）期极点物理实现实数轭复数
3）期极点位置选取需考虑系统品质影响（离虚轴位置）零点分布状况关系
4）离虚轴距离较导极点收敛慢系统性影响远极点收敛快系统极影响
闭环极点 03667 +215183i 03667 215183i 18833 + 84864i 18833 84864i
配置状态反馈系统应稳定期极点应虚轴左侧期闭环极点 11001+645549i 11001645549i 56499+254952 56499254952
极点配置矩阵
K
10e+003 *
12556 00375 00157 00332
09718 28969 00839 0004
验证极点配置结果正确：ans
11001 645549i 11001 +645549i 56499 254952i 56499 +254952i
求开环传递函数阶跃响应曲线（没状态反馈）：
没升时间
状态反馈传递函数：
状态空间表达式
Matlab解闭环传递函数：
s^2 + 6758 s + 1648
#1
s^4 + 135 s^3 + 4875 s^2 + 486e004 s + 2843e006
3895 s 3359
#2
s^4 + 135 s^3 + 4875 s^2 + 486e004 s + 2843e006
Transfer function from input 2 to output
1959 s + 1687
#1
s^4 + 135 s^3 + 4875 s^2 + 486e004 s + 2843e006
05 s^2 + 3371 s + 8278
#2
s^4 + 135 s^3 + 4875 s^2 + 486e004 s + 2843e006
反馈阶跃响应：
阶跃响应升时间0034s配置系统终稳定
9 设计全维状态观测器
系统状态物理够直接测量需系统量测参量输入u输出y估计系统状态 状态观测器基直接量测输出变量y控制变量u估计状态变量物理实现模拟动力学系统果系统状态完全观测根输出y测量唯确定系统初始状态满足定条件便测量yu中x间接重构出
全维渐进状态结构图：
系统原极点03667 +215183i 03667 +215183i 18833 + 84864i 18833 84864i
期极点应原极点25倍越快越
期极点 14668 +860732i 14668 860732i 75332 +339456i 75332 339456i
相应全维观测器：
10 带观测器输出状态空间表达式：
D0
分输出观测状态传递函数：
Transfer function from input y1 to output
1751 s^3 + 5899 s^2 + 123e005 s + 7911e006
y1_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
5262 s^3 + 3591 s^2 6844 s + 4369e005
y2_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
1751 s^3 + 5899 s^2 + 123e005 s + 7911e006
x1_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
5262 s^3 + 3591 s^2 6844 s + 4369e005
x2_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
3200 s^3 + 9295e004 s^2 + 7698e006 s + 3967e006
x3_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
1223 s^3 + 1405e005 s^2 8571 s + 5737e007
x4_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
Transfer function from input y2 to output
5113 s^3 + 1379 s^2 + 2945e004 s + 8583e005
y1_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
4985 s^3 + 5001 s^2 + 1152e005 s + 8303e006
y2_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
5113 s^3 + 1379 s^2 + 2945e004 s + 8583e005
x1_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
4985 s^3 + 5001 s^2 + 1152e005 s + 8303e006
x2_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
1609 s^3 1337e005 s^2 + 1373e006 s 1853e007
x3_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
2246 s^3 + 2437e004 s^2 + 6754e006 s 4844e007
x4_e
s^4 + 18 s^3 + 8664 s^2 + 1152e005 s + 896e006
Input groups
Name Channels
Measurement 12
Output groups
Name Channels
OutputEstimate 12
StateEstimate 3456
分析稳定性
根阶跃响应图系统稳定升时间00015s
附录：
A[0 0 1 00 0 0 1400 300 9 6150 200 3 45]
B[0 00 01 00 05]
C[1 0 0 00 1 0 0]
D0
Gss(ABCD)
Gctf(G)
Po[ 11001+645549i 11001645549i 56499+254952i 56499254952i]
Kplace(ABPo)
aAB*K
gss(aBCD)
gctf(g)
eig(a)＇
P1[14668+860732i 14668860732i 75332+339456i 75332339456i]
Lplace(A＇C＇P1)＇
estestim(GL)
step(est)
tf(est)
结束语：次作业正现代控制理书容串联起现代控制理状态空间表达式出发研究系统稳定性控制品质动控制原理输入输出出发研究系统份作业终目设计状态观测器改变系统控制品质通次作业锻炼查找信息力网者书籍培养学力做项务力通图书馆查阅相关书籍搜索引擎搜索相关容解答做作业困惑学matlab软件判断系统控观性稳定性状态空间表达式传递函数间化简世纪状态观测器服务总通次作业收获少传统考核 书学知识实践相结合机会真正锻炼方面力提高实践力
华北电力学
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