专题十四 数系扩充复数引入
第四十讲 复数计算
2019 年
1（2019 全国 II 理 2）设 z3+2i复面 z 应点位
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2（2019 北京理 1）已知复数 1 2iz  zz
（A） 3 （B） 5 （C）3 （D）5
3（2019 浙江 11）复数 1
1iz  
（i 虚数单位）||z ___________
4（2019 天津理 9）i 虚数单位 5i
1i


值
5（2019 全国 III 理 2） (1 i) 2iz  z 
A． 1i B． 1+i C．1i D．1+i
6（2019 全国 I 理 2）设复数 z 满足 1iz  z 复面应点(xy)
A． 2 2+1 1()xy B． 2 2 1( 1)x y
C． 22 ( 1) 1yx    D． 22 ( +1) 1yx 
7．（2019 全国 II 理 2）设 z3+2i复面 应点位
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．（2019 江苏 2）已知复数( 2i)(1 i)a 实部 0中i 虚数单位实数 a 值
20102018 年
选择题
1．(2018 北京)复面复数 1
1i 轭复数应点位
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．(2018 全国卷Ⅰ)设 1i 2i1iz 
||z 
A．0 B． 1
2 C．1 D． 2

3．(2018 全国卷Ⅱ)1 2i
1 2i
 
A． 43i55 B． 43i55 C． 34i55 D． 34i55
4．(2018 全国卷Ⅲ)(1 i)(2 i)
A． 3i B． 3i C．3i D．3i
5．(2018 浙江)复数 2
1i (i 虚数单位)轭复数
A．1i B．1i C． 1i D． 1i
6．（ 2017 新课标Ⅰ）设面四命题
1p ：复数 z 满足 1
z R zR
2p ：复数 满足 2z R
3p ：复数 1z 2z 满足 12zz R 12zz
4p ：复数 z R．
中真命题
A． 1p 3p B． 1p 4p C． 2p 3p D． 2p 4p
7．（ 2017 新课标Ⅱ） 3i
1i


A． B． C． D．
8．（ 2017 新课标Ⅲ）设复数 z 满足(1 i) 2zi||z
A． 1
2 B． 2
2 C． 2 D．2
9．（ 2017 山东）已知 aR i 虚数单位 3iza 4zz a
A．1 1 B． 7 7 C． 3 D． 3
10．（2017 北京）复数(1 i)( i)a复面应点第二象限实数 a 取值范
围
A．( 1) B．( 1)  C．(1 ) D．( 1 ) 
11．(2016 年山东) 复数 z 满足 2 3 2z z i   中i 虚数单位 z

A．1+2i B．1  2i C． 1 2i D． 1 2i
12．(2016 年全国 I)设(1 ) 1i x yi   中 xy实数 ixy
A．1 B． 2 C． 3 D．2
13．(2016 年全国 II)已知 ( 3) ( 1)iz m m    复面应点第四象限实数 m
取值范围
A． 31 B． 13 C． 1 + D． 3
14．(2016 年全国 III) 12zi 4
1
i
zz



A．1 B． 1 C． i D． i
15．（ 2015 新课标 1）设复数 z 满足1
1
z iz
 
||z
A．1 B． 2 C． 3 D．2
16．（2015 广东）复数  32z i i（i 虚数单位） z 
A． 23i B． 23i C．32i D．32i
17．（ 2015 安徽）设i 虚数单位复数 2
1
i
i
复面应点位
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
18．（ 2015 山东）复数 z 满足
1
z ii 
中i 虚数单位 z
A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i
19．（ 2015 四川）设i 虚数单位复数 3 2i i
A． i B． 3i C． D．3i
20．（2015 湖北）i 虚数单位 607i 轭复数
A．i B． i C．1 D． 1
21．（ 2015 湖南）已知  21 1i iz
 （i 虚数单位）复数 z
A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i
22．（ 2014 新课标 1）设 iiz  1
1 || z
A．
2
1 B．
2
2 C．
2
3 D． 2

23．（ 2014 新课标 1）
3
2
(1 )
(1 )
i
i


A．1 i B． 1 i C．1 i D． 1 i
24．（ 2014 新课标 2）设复数 1z 2z 复面应点关虚轴称 1 2zi 12zz 
A． 5 B．5 C． 4 i D． 4 i
25．（ 2014 新课标 2）13
1
i
i
 
A．1 2i B． 1 2i C．12i D． 12i
26．（ 2014 山东）已知 iRba  虚数单位 ia  bi2 互轭复数  2）（ bia
A． i45 B． i45 C． i43 D． i43
27．（ 2014 广东）已知复数 z 满足(3 4 ) 25iz
A． 34i B． 34i C．34i D．34i
28．（ 2014 安徽）设i 虚数单位 z 表示复数 z 轭复数． 1 iz  z izi   
A． 2 B． 2i C． 2 D． 2i
29．（ 2014 福建）复数 (3 2 )z i i 轭复数 z 等
A． 23i B． 23i C． 23i D． 23i
30．（ 2014 天津）i 虚数单位复数 7
34
i
i
+ +
A．1 i B． 1 i+ C． 17 31
25 25i+ D． 17 25
77i+
31．（ 2014 重庆）实部 2 虚部 1 复数应点位复面
A．第象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
32．（ 2013 新课标 1）复数 z 满足(3 4i) | 4 3i |z   虚部
A．－4 B． 4
5 C．4 D． 4
5
33．（ 2013 新课标 2）设复数 z 满足 12i z i
A． 1 i B． 1 i C．1 i D．1 i
34．（2013 山东）复数 z 满足  3 2 5zi   (i 虚数单位) 轭复数 z
A．2+i B．2  i C． 5+i D．5 i

35．（ 2013 安徽）设i 虚数单位 z 复数 z 轭复数 22z zi z   z
A．1+i B．1 i C． 1+i D． 1 i
36．（ 2013 广东）复数 z 满足 24iz i 复面 z 应点坐标
A． 24 B． 2 4 C． 4 2 D． 42
37．（ 2013 江西）已知集合  12M zi i 虚数单位  34N  {4}MN
复数 z
A．  2i B．2i C． 4i D．4i
38．（ 2013 湖北）复面复数 2
1
iz i 
（i 虚数单位）轭复数应点位
A． 第象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
39．（ 2013 北京）复面复数 (2 )ii 应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
40．（2013 四川）图复面点 A 表示复数 z 图中表
示 z 轭复数点
A． A B．B C．C D．D
41．（2013 辽宁）复数 1
1z i 
模
A． 1
2 B． 2
2 C． 2 D． 2
42．（ 2012 新课标）复数 z＝ 3
2
i
i


轭复数
A． 2 i B． 2 i C． 1 i D． 1 i
43．（2012 北京）复面复数 10
3
i
i
应点坐标（ ）
A．（ 13） B．（ 31） C．( 13 ） D． 31（）
44．（ 2012 广东）设i 虚数单位复数 56i
i

A． 65i B．65i C． 65i D． 65i
45．（ 2012 辽宁）复数 2 2+
i
i
A． 34
55i B． 34+55i C． 41 5 i D． 31+ 5 i

46．（ 2012 湖南）复数 ( 1)z i i（i 虚数单位）轭复数
A． 1 i B． 1 i C．1 i D．1 i
47．（2012 天津）i 虚数单位复数 7
3
i
i


A． 2 i B． 2 i C． 2 i D． 2 i
48．（ 2012 浙江）已知i 虚数单位 3
1
i
i
 
A．12i B． 2 i C． 2 i D．12i
49．（ 2012 江西）复数 1zi(i 虚数单位) z z 轭复数 22zz 虚部
A．0 B．  1 C．1 D．－2
50．（ 2012 山东）复数 z 满足   iiz 7112  （i 虚数单位）
(A) i53 (B) i53 (C) i53 (D) i53
51．（ 2012 陕西）设 a b R i 虚数单位 0ab  复数 ba i 纯虚数
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
52．（ 2011 山东）复数 z 2
2
i
i


（i 虚数单位）复面应点象限
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
53．（ 2011 安徽）设 i 虚数单位复数 ai
i


纯虚数实数 a
A．2 B．  2 C．   D． 

54．(2011 新课标)复数 2
12
i
i


轭复数
A． 3
5 i B． 3
5 i C． i D．i
55．（ 2011 湖南） a b R i 虚数单位()a i i b i  
A． 1 1ab B． 1 1ab   C． 1 1ab    D． 1 1ab  
56．（2011 广东）设复数 z 满足(1+i ) 2中 虚数单位
A．1+ B．1 C．2+2 D．22
57．（ 2011 辽宁）i 虚数单位  753
1111
iiii
A．0 B．2i C． i2 D．4

58．（ 2011 福建）i 虚数单位集合 S  101
A．iS B． 2iS C． 3iS D． 2 Si 
59．（ 2011 浙江）复数 z 轭复数记作 z i 虚数单位 1 (1 )z i z z   
A．3  i B．3+i C．1+3i D．3
60．（ 2010 新课标）已知复数 2
3
(1 3 )
iz
i


z z 轭复数 zz
A． 1
4 B． 1
2 C．1 D．2
61．(2010 安徽)i 虚数单位
33
i
i



A． 13
4 12 i B． 13
4 12 i C． 13
26i D． 13
26i
二填空题
62．(2018 天津)i 虚数单位复数 6 7i
1 2i
  ．
63．(2018 海)已知复数 z 满足(1 i) 1 7iz   （i 虚数单位）||z ．
64．(2018 江苏)复数 z 满足i 1 2iz   中 i 虚数单位 z 实部 ．
65．（ 2017 浙江）已知 ab∈R 2i 3 4iab  （）（i 虚数单位） 22ab ab ．
66．（ 2017 天津）已知 aRi 虚数单位 i
2i
a 

实数 a 值 ．
67．（ 2017 江苏）已知复数 (1 i)(1 2i)z    中i 虚数单位 z 模______．
68．(2016 年北京)设 aR 复数(1 )( )i a i复面应点位实轴
a ____
69．(2016 年天津)已知 abRi 虚数单位(1 )(1 )i bi a   a
b
值____
70．（ 2015 天津）i 虚数单位复数(1 2 )( )i a i纯虚数实数 a 值 ．
71．（ 2015 重庆）设复数 ( R)a bi a b模 3 ( )( )a bi a bi＝ ．
72．(2014 江苏)已知复数 2(5 2 )zi (i 虚数单位) z 实部 ．

73．（ 2014 浙江）已知i 虚数单位计算 2
1
(1 )
i
i


＝____________．
74．（ 2014 北京）复数
21
1
i
i

________．
75．（ 2014 湖南）复数 2
3 i
i
 （i 虚数单位）实部等_________．
76．（ 2013 重庆）已知复数 5
12
iz i 
（i 虚数单位） _________z  ．
77．（ 2013 天津）已知 ab∈Ri 虚数单位．(a + i)(1 + i) bi a + bi ．
78．（2012 湖北） 3
1
bi
i

 a bi （ab实数i 虚数单位） ab ________
79．（ 2011 江苏）设复数ｚ满足 izi 23)1(  （i 虚数单位） z 实部___．
专题十四 数系扩充复数引入
第四十讲 复数计算
答案部分
2019 年
1．C  解析： 32iz  知 32iz   复面应点 (32)  第三象限
选 C 
3 解析： 11i
1i 2z 
11 2
44 2z 
4解析 题意知
22
22
5i5i 51 26 131i 1i 211
 
 
5．解析  (1 i) 2iz  2i 2i(1 i) 1i1i 2z 
．选 D．
6   解法： z 复面应点 x y（）
izxy i1izxy  （） 22i11zxy |
2211xy （ ） 选 C．
解法二： i1z 1i 1izz  复数 z 复面应点 11
11满足条件方程 C 选 C．
7．C 解析： 32iz  知 32iz   复面应点 (32)  第三象限
选 C
8解析 (2i)(1i)(2)(2)iaaa实部 0 20a   2a  ．
20102018 年
1．D解析 11i1i11i1 i (1 i)(1 i) 2 2 2
 
轭复数 11i22 应点
11()22 选 D．
2．C解析
21i (1i)2i 2i i 2i i1i (1 i)(1 i)
 z |z| 1 选 C．
3．D解析12i(12i)(12i) 3 4i12i(12i)(12i) 5 5

选 D．
4．D解析 2(1 i)(2 i) 2 i 2i i 3 i．选 D．
5．B解析 22(1i)1i1 i (1 i)(1 i)

复数 2
1i
轭复数1i ．选 B．
6．B解析设 izab（ abR ） 22
11i
(i)
ab
zabab
 R 0b  z R
1p 正确 2222(i) 2izababab  R 0ab  0a  0b  确
定 z R 2p 正确 z R 0b  时 izaba R 4p 正确．选 B．
7．D解析 3 i (3 i)(1 i) 2i1 i (1 i)(1 i)
 
选 D．
8．C解析 (1 i) 2zi  2i 1i1iz  
22|| 1 1 2z ．选 C．
9．A解析 3 4za izz  2 34a   1a   选 A
10．B解析 (1 i)( i) ( 1) (1 )izaaa   应点第二象限∴
10
10
a
a

 

解 1a  选 B
11．B解析设 ()zabiabR  zabi 
22()332zz abiabiabi i     
1 2ab 12zi 选 B．
12．B解析(1 ) 1ix x xi yi 1xy 
∴ 22|||1|122xyi i 选 B．
13．A解析已知复数 z 复面应点坐标(31)mm 
30m  10m  解∴ 31m 选 A．
14．C解析 44
1(12)(12)1
iiizz ii
选 C．
15．A解析题意知1 zizi+
21(1)
1(1)(1)
iiziiii
++
|z| 1 ．
16．A解析∵ 23zi + 23zi ．
17．B解析题意 22(1)2211(1)(1)2
iiii iiii
 
应点坐标 (11)
位第二象限选 B．
18．A解析 2(1 ) 1 1ziiiiizi  ．
19．C解析 3
2
22 2iiiiiiii+．
20．A解析 iiii   31514607 选 B．
21．D解析题意 ii
i
i
iz 

 11
2
1
)1( 2
选 D．
22．B解析 iiz  1
1 11
22i ∴ 22112|| () ()222z ．
23．D解析
3
2
(1 )
(1 )
i
i

 13322122
iii iii
    
．
24．A解析 2 2zi ∴ 12zz  (2 )( 2 ) 5ii  ．
25．B解析13
1
i
i
  12i ．
26．D解析已知 2 1ab∴ 22()(2)34abi ii  ．
27．D解析 (3 4 ) 25iz  25 25(3 4 ) (3 4 )34 25
izii

选 D．
28．C解析 1 (1 ) ( 1) ( 1) 2ziiz iiiiii
       
29．C解析∵ (3 2 )zii  23i ∴ 23zi  ．
30．A解析 ()()
()()
73472525134 3434 25
iiiiiiii
++++
．
31．B解析实部2虚部 1 复数2 +1应点位复面第二象限选
B．
32．D解析题知 z |4 3 |
34
i
i


2243(34)
(3 4 )(3 4 )
i
ii

 34
55i z 虚部 4
5
选 D．
33．A解析 

212221111 2
iiiiziiii
  
．
34．D解析32 5zi 53552zizii 
．
35．A解析设 zabi  zabi  22zzi z 
  222222abiabii abi a bi
izb
a
a










 11
1
22
2bba
22
选 A．
36．C解析 24 42izii
应点坐标 4 2 选 C．
37．C解析 {4}MN 知 4zi  4zi  ．
38．D解析 2 11
izii
1zi．
39．A解析 212iii  选 A．
40．B解析设 ( )A xy表示复数 zxyi  z 轭复数 zxyi  应点位
( )B xy ．
41．B解析已知 111
(1 )(1 ) 2 2
iziii
 
2|| 2Z  ．
42．D解析∵ z 3
2
i
i

 1 i∴ z 轭复数 1 i  选 D．
43．A解析 10 10 (3 ) 133(3 )(3 )
iii iiii

应复面点 A．
44．D解析题意： 2
56 (56) 65iiiiii
选 D．
45．A解析 

222 34 3 42+ 2+ 2 5 5 5
iiiiiii
选 A．
46．A解析 (1)zii  1 i轭复数定义 1zi ．
47．B解析 7
3
i
i

 (7 )(3 )
(3 )(3 )
ii
ii

 21 7 3 1
10
ii  2 i ．
48．D解析 3(3)(1)24121(1)(1)2
iiiiiiii

．
49．A解析 1zi ∴ 1zi  ∴ 22zz 0．
50．A解析 iiii
i
iz 535
)1114(722
5
)2)(711(
2
711 
 答案选 A．
解：设 )( Rbabiaz  iiabbaibia 711)2(2)2)(( 
根复数相等知 72112  abba 解 53  ba iz 53 ．
51．B解析 0ab  0a 0b 复数 ba i 纯虚数 0a 0b
0ab  复数 ba i 纯虚数必充分条件选 B．
52．D解析 z 2
2
i
i

 34
55i 复面应点象限第四象限．
53．A解析设 ()ai bi b Ri
 
1+ (2) 2ai bi i b bi  1 2ba
选 A．
54．C解析 2
12
i
i

 (2 )(1 2 ) 5
iii 轭复数 C．
55．D解析 ()1aii aibi根复数相等条件知 1 1ab  ．
56．B解析 22(1)11(1)(1)
iziiii
 
．
57．A解析∵ 2 1i   ∴  753
1111
iiii
11110iiii ．
58．B解析∵ 2 1i   1 S ∴ 2iS ．
59．A解析 (1 ) (2 )(1 i) 3 izz i ．
60．A解析 2
3
(1 3 )
iz
i


31 3
4223
i
i
  
∴ 3
4
iz  
2 1|| 4zz z ．
61．B解析 (3 3) 3 3 1 3
39 12 4 1233
iiii i
i

．
62． 4i 解析 67i(67i)(12i)205i 4i12i(12i)(12i) 5

．
63．5解析题意 17i(17i)(1i) 68i 34i1i (1 i)(1 i) 2z 

22|||34i|3 4 5z      ．
64．2解析复数 12i (1 2i)( i) 2 iiz 实部 2．
65．52解析∵ 222(i) 2i34iab a b ab∴ 223ab  2ab 
22222222()()4 9 16 25ab ab ab ∴ 225ab  2ab  ．
66． 2 解析 ( )(2)(21)(2)21 2
2(2)(2) 555
ai ai iaaiaa iiii
    
实数
2 05
a   2a  ．
67． 10 解析|||1i||12i|2 510z      ．
68． 1 解析(1 )( ) ( 1) ( 1)ia i aai    已知 10a   解 1a  ．
69．2解析(1 )(1 )1 (1 )ibibbia 1 2 2aba b ．
70． 2 解析  12 2 12iai a ai纯度数 20a  
2a  ．
71．3 解析 3abi 22 3ab 223ab 
22()()3abiabia b．
72．21解析 2(5 2 )zi 21 20i z 实部 21．
73． 1
2
i解析 2
11(1)1
(1 ) 222
iiiii
ii
 
．
74．  1解析
21
1
i
i

2
2
(1 ) 1(1 )
i
i
  
．
75．  3解析 2
3 i
i
 3 i．实部 3 ．
76． 5 解析 5(1 2) 2(1 2 )(1 2 )
iiziii
 
22|| 2 1 5z ．
77．12i 解析题意 10
1
a
ab

 
1
2
a
b

 
a + bi12i ．
78．3解析 3
1
bi abii
 
    31biabi i ab bai  ab
实数复数相等充条件
3

ab
bab
 
  
解
0
3
a
b

 
3ab．
79．1解析 32 113izii
  ∴ z 实部 1．


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