定方程定方程组
教学目标
1利整奇偶性解定方程
2定方程试值技巧
3学会解定方程典例题
知识精讲
知识点说明
历史概述
定方程数中古老分支．古希腊丢番图早公元世纪开始研究定方程常称定方程丢番图方程．中国研究定方程早国家公元初五家井问题定方程组问题公元世纪张丘建算中百鸡问题标志着中国定方程理系统研究．宋代数学家秦九韶衍求术定方程余理联系起．
考点说明
类竞赛考试中定方程常应题形式出现外定方程常作解题重方法贯穿行程问题数问题等压轴题中．初高中数学进步学中定方程样着重位讲着重目学生学会利定方程工具够学中工具解题
二定方程基定义
1定义：定方程（组）指未知数数方程数方程（组）
2定方程解：定方程等号两端相等未知数值定方程解定方程解唯
3研究定方程解决三问题：①判断时解②解时确定解数③求出解
三定方程试值技巧
1奇偶性
2整特点（235等数字整特性）
3余数性质应（差积性质余性质）
例题精讲
模块利整性质解定方程
例 1 求方程 2x－3y＝8整数解
考点定方程 难度2星 题型解答
解析 方法：原方程易 2x＝8＋3yx＝4＋yy意值x应时xy值必定满足原方程样xy原方程组解原方程解表：中k意数．说明 y取值意性知述定方程穷组解．
方法二：根奇偶性知道2x偶数8偶数想2x－3y＝8成立y必偶数
y＝0x＝4y＝2x＝7y＝4x＝10……题穷解
答案穷解
巩固 求方程2x＋6y＝9整数解
考点定方程 难度2星 题型解答
解析 2x＋6y＝2(x＋3y)xy取整数2|2x＋6y29xy取什整数2x＋6y等9原方程整数解．
说明：题告诉非二元次方程整数解
答案整数解
例 2 求方程4x＋10y＝34正整数解
考点定方程 难度2星 题型解答
解析 410公约数22|34两边约2 2x＋5y＝175y位05两种情况2x偶数想175y位5y奇数2x位2x取值161116……
x＝1时17－2x＝15y＝3
x＝6时17－2x＝ 5y＝1
x＝11时17－2x＝17 －22解
方程两组整数解：
答案
巩固 求方程3x＋5y＝12整数解
考点定方程 难度2星 题型解答
解析 3x＋5y＝123x3倍数想12（3倍数）5y3倍数y3倍数y取值036912……
y＝0时12－5y＝12x＝4
x＝3时12－5y＝12－15解
方程解：
答案
巩固 解定方程：（中xy均正整数）
考点定方程 难度2星 题型解答
解析 方法：2x偶数想40（偶数）9y偶数y偶数化简方程知道y偶数方程解：
答案
模块二利余数性质解定方程
例 3 求定方程正整数解少组？
考点定方程 难度3星 题型解答
解析 题情况较逐试验．检验知12887倍数7倍数7倍数．
设原方程变123……16．值确定原方程组正整数解原方程16组正整数解．
答案16组
例 4 求方程3x＋5y＝31整数解
考点定方程 难度3星 题型解答
解析 方法：利欧拉分离法原方程 x＝ x＝10－2y＋方程整数解必须整数．
取y＝2x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7x＝7y＝2
y＝5x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2x＝2y＝5
y＝8x＝10－2y＋＝10－16＋3解
方程解：
方法二：利余数性质
3x3倍数313余15y3余1（2y3余1）根情况余数积性质进行判定：
取y＝12y＝22÷3＝0……2（舍）
y＝22y＝44÷3＝1……1（符合题意）
y＝32y＝66÷3＝2（舍）
y＝42y＝88÷3＝2……2（舍）
y＝52y＝1010÷3＝3……1（符合题意）
y＝62y＝1212÷3＝4（舍）
y＞6时结果超31符合题意
方程解：
答案
巩固 解方程（中xy均正整数）
考点定方程 难度3星 题型解答
解析 方法：4y4倍数894余17x4余1（7÷4≡3）成3x4余1根情况余数积性质进行判定（x＜13）
x＝13x＝33÷4≡3（舍）
x＝23x＝66÷4≡2（舍）
x＝33x＝99÷4≡1（符合题意）
x＝43x＝1212÷4≡0（舍）
x＝53x＝1515÷4≡3（舍）
x＝63x＝1818÷4≡2（舍）
x＝73x＝2121÷4≡1（符合题意）
x＝83x＝2424÷4≡0（舍）
x＝93x＝2727÷4≡3（舍）
x＝103x＝3030÷4≡2（舍）
x＝113x＝3333÷4≡1（符合题意）
x＝123x＝3636÷4≡0（舍）
方程解：
方法二：利欧拉分离法原方程取值4倍数方程解：
答案
模块三解定方程组
例 5 解方程 （ 中abc均正整数 ）
考点定方程 难度3星 题型解答
解析 根等式性质第方程整理根消元思想第二式子扩4倍相减：整理根等式性质偶数20偶数偶数偶数时时解方程解
答案
例 6 解定方程 (中xyz均正整数)
考点定方程 难度3星 题型解答
解析 根等式性质第方程整理根消元思想第二式子相减根等式性质两边时2：根等式性质4倍数1004倍数4倍数4倍数试值
答案
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定方程定方程组
教学目标
1利整奇偶性解定方程
2定方程试值技巧
3学会解定方程典例题
知识精讲
知识点说明
历史概述
定方程数中古老分支．古希腊丢番图早公元世纪开始研究定方程常称定方程丢番图方程．中国研究定方程早国家公元初五家井问题定方程组问题公元世纪张丘建算中百鸡问题标志着中国定方程理系统研究．宋代数学家秦九韶衍求术定方程余理联系起．
考点说明
类竞赛考试中定方程常应题形式出现外定方程常作解题重方法贯穿行程问题数问题等压轴题中．初高中数学进步学中定方程样着重位讲着重目学生学会利定方程工具够学中工具解题
二定方程基定义
1定义：定方程（组）指未知数数方程数方程（组）
2定方程解：定方程等号两端相等未知数值定方程解定方程解唯
3研究定方程解决三问题：①判断时解②解时确定解数③求出解
三定方程试值技巧
1奇偶性
2整特点（235等数字整特性）
3余数性质应（差积性质余性质）
例题精讲
模块利整性质解定方程
例 1 求方程 2x－3y＝8整数解
考点定方程 难度2星 题型解答
解析 方法：原方程易 2x＝8＋3yx＝4＋yy意值x应时xy值必定满足原方程样xy原方程组解原方程解表：中k意数．说明 y取值意性知述定方程穷组解．
方法二：根奇偶性知道2x偶数8偶数想2x－3y＝8成立y必偶数
y＝0x＝4y＝2x＝7y＝4x＝10……题穷解
答案穷解
巩固 求方程2x＋6y＝9整数解
考点定方程 难度2星 题型解答
解析 2x＋6y＝2(x＋3y)xy取整数2|2x＋6y29xy取什整数2x＋6y等9原方程整数解．
说明：题告诉非二元次方程整数解
答案整数解
例 2 求方程4x＋10y＝34正整数解
考点定方程 难度2星 题型解答
解析 410公约数22|34两边约2 2x＋5y＝175y位05两种情况2x偶数想175y位5y奇数2x位2x取值161116……
x＝1时17－2x＝15y＝3
x＝6时17－2x＝ 5y＝1
x＝11时17－2x＝17 －22解
方程两组整数解：
答案
巩固 求方程3x＋5y＝12整数解
考点定方程 难度2星 题型解答
解析 3x＋5y＝123x3倍数想12（3倍数）5y3倍数y3倍数y取值036912……
y＝0时12－5y＝12x＝4
x＝3时12－5y＝12－15解
方程解：
答案
巩固 解定方程：（中xy均正整数）
考点定方程 难度2星 题型解答
解析 方法：2x偶数想40（偶数）9y偶数y偶数化简方程知道y偶数方程解：
答案
模块二利余数性质解定方程
例 3 求定方程正整数解少组？
考点定方程 难度3星 题型解答
解析 题情况较逐试验．检验知12887倍数7倍数7倍数．
设原方程变123……16．值确定原方程组正整数解原方程16组正整数解．
答案16组
例 4 求方程3x＋5y＝31整数解
考点定方程 难度3星 题型解答
解析 方法：利欧拉分离法原方程 x＝ x＝10－2y＋方程整数解必须整数．
取y＝2x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7x＝7y＝2
y＝5x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2x＝2y＝5
y＝8x＝10－2y＋＝10－16＋3解
方程解：
方法二：利余数性质
3x3倍数313余15y3余1（2y3余1）根情况余数积性质进行判定：
取y＝12y＝22÷3＝0……2（舍）
y＝22y＝44÷3＝1……1（符合题意）
y＝32y＝66÷3＝2（舍）
y＝42y＝88÷3＝2……2（舍）
y＝52y＝1010÷3＝3……1（符合题意）
y＝62y＝1212÷3＝4（舍）
y＞6时结果超31符合题意
方程解：
答案
巩固 解方程（中xy均正整数）
考点定方程 难度3星 题型解答
解析 方法：4y4倍数894余17x4余1（7÷4≡3）成3x4余1根情况余数积性质进行判定（x＜13）
x＝13x＝33÷4≡3（舍）
x＝23x＝66÷4≡2（舍）
x＝33x＝99÷4≡1（符合题意）
x＝43x＝1212÷4≡0（舍）
x＝53x＝1515÷4≡3（舍）
x＝63x＝1818÷4≡2（舍）
x＝73x＝2121÷4≡1（符合题意）
x＝83x＝2424÷4≡0（舍）
x＝93x＝2727÷4≡3（舍）
x＝103x＝3030÷4≡2（舍）
x＝113x＝3333÷4≡1（符合题意）
x＝123x＝3636÷4≡0（舍）
方程解：
方法二：利欧拉分离法原方程取值4倍数方程解：
答案
模块三解定方程组
例 5 解方程 （ 中abc均正整数 ）
考点定方程 难度3星 题型解答
解析 根等式性质第方程整理根消元思想第二式子扩4倍相减：整理根等式性质偶数20偶数偶数偶数时时解方程解
答案
例 6 解定方程 (中xyz均正整数)
考点定方程 难度3星 题型解答
解析 根等式性质第方程整理根消元思想第二式子相减根等式性质两边时2：根等式性质4倍数1004倍数4倍数4倍数试值
答案
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