311 函数概念(二)
节课选普通高中课程标准数学教科书必修（教A版）第三章函数概念性质节课第1课时
函数基知识高中数学核心容函数思想贯穿整初中高中数学
高学生说函数陌生概念局限初中阶段学生认知水学生善未学集合概念运动变化观点定义函数通正例函数反例函数次二次函数学理解函数意义函数概念理解深刻
高学生学集合概念进步运集合应观点刻画函数突出函数两集合间应关系领会集合思想应思想模型思想第课时重点放函数概念理解通生活中实际事例引出函数定义懂数学类生活密切联系通函数三素剖析进步理解充实函数涵教学程中分设计问题理解函数定义域应法函数图象特征两相函数条件等问题
学生初中阶段已知道函数定义域函数解析式意义实际问题符合实际意义变量范围教学中进步强调定义域集合表示
课程目标
学科素养
根函数定义判断两函数否函数
会求函数定义域
会求函数值域
1逻辑推理：函数判断
2数学运算：求函数定义域值域
1教学重点：函数概念函数三素
2教学难点：求函数值域
媒体
复回顾温知新
1函数概念：设AB非空数集果某确定应关系f集合A中意数x集合B中唯确定数y应称f：A→B集合A集合B函数（function）记作：yf(x) x∈A．
x做变量x取值范围A做函数定义域x值相应y值做函数值函数值集合{ f(x)| x∈A }做函数值域
2函数符号yf(x)理解：
（1）yf(x)yx函数数学表示仅函数符号 f(x)fx相
例：y3x+1写成f(x) 3x+1
x2时y7写成f(2)7
想想：f(a)表示什意思？f(a)f(x)什区？
般f(a)表示xa时函数值常量f(x)表示变量x函数般情况变量
（2）yf(x)函数符号意字母表示
yg(x)yh(x)
二探索新知
探究 函数
前提条件
定义域相
应关系完全样
结
函数
思考1：函数定义域应关系值域三素什判断两函数否函数定义域应关系？
提示：函数定义域应关系求出函数值域判断两函数否函数定义域应关系．
探索二 常见函数定义域值域
思考2：求二次函数值域时什分两种情况？
提示：a>0时二次函数图象开口抛物线观察图象值域{y|y≥}．
a<0时二次函数图象开口抛物线观察图象值域{y|y≤}．
例1判断正误(√错×)
(1)f(x)＝g(x)＝x函数．( )
(2)两函数定义域值域相两函数函数．( )
(3)函数f(x)＝x2－xg(t)＝t2－t函数．( )
[解析] (1)f(x)＝g(x)＝x定义域相函数．
(2)例f(x)＝g(x)＝定义域值域相两函数函数．
(3)函数f(x)＝x2－xg(t)＝t2－t定义域R应关系完全致两函数函数．
例2 (2019·江苏启东中学高检测)图中表示函数y＝f(x)图象( )
[解析] 函数定义知意作条垂直x轴直线x＝a直线函数图象交点知选项D中图象表示yx函数．
例3．函数y＝x2－3x定义域{－1023}值域( A )
A．{－204} B．{－2024}
C．{y|y≤－} D．{y|0≤y≤3}
例4表表示yx函数函数值域( )
A．{y|－1≤y≤1} B．R
C．{y|2≤y≤3} D．{－101}
[解析] 函数值－101三数值值域{－101}．
关键力·攻重难
题型 函数值域
1函数值域( )
A．(－30] B．(－31] C．[01] D．[15)
[分析] 首先二次函数开口方考虑二次函数称轴限定区间位置关系．
[解析] 知x＝2时x＝0时
x≠2函数值域(－31]．
[纳提升] 二次函数值域
(1)称轴限定区间左边函数限定区间左端点取值右端点取值
(2)称轴限定区间右边函数限定区间左端点取值右端点取值
(3)称轴限定区间函数称轴处取值限定区间中距离称轴较远端点取值．
题型二 函数
2判断列组函数否函数什？
(1)y＝y＝1
(2)y＝y＝x
(3)y＝·y＝
[分析] 判断两函数否函数须两函数定义域应关系否完全致．
[解析] (1)应关系相x取意义值y应1定义域y＝定义域{x|x≠0}y＝1定义域R两函数函数．
(2)应关系相y＝＝|x|＝定义域Ry＝x定义域Rx<0时应关系两函数函数．
(3)函数y＝·定义域成立x集合{x|－1≤x≤1}．条件函数解析式写y＝y＝定义域{x|－1≤x≤1}两函数定义域应关系完全相两函数函数．
[纳提升] 判断两函数f(x)g(x)函数方法步骤
(1)先定义域定义域两函数．(2)应关系应关系函数．(3)应关系相定义域相函数．
题型三 复合函数抽象函数定义域
3(1)函数f(x)定义域(－12)函数f(2x＋1)定义域_______________
(2)函数f(2x＋1)定义域(－12)函数f(x)定义域______________
(3)函数f(2x＋1)定义域(－12)函数f(x－1)定义域____________
[分析] (1)f(x)定义域(－12)x取值范围(－12)．f(2x＋1)中x取值范围(定义域)2x＋1∈(－12)求．
(2)f(2x＋1)定义域(－12)x取值范围(－12)求2x＋1取值范围f(x)定义域．
(3)先f(2x＋1)定义域求f(x)定义域f(x)定义域求f(x－1)定义域．
[解析] (1)－1<2x＋1<2－1(2)∵－1(3)f(2x＋1)定义域(－12)f(x)定义域(－15)
－1[纳提升] 函数y＝f[g(x)]定义域y＝f(t)t＝g(x)定义域决定：
(1)已知函数f(x)定义域数集A函数f[g(x)]定义域g(x)∈A解出．
(2)已知函数f[g(x)]定义域数集A函数f(x)定义域g(x)A中值域．
误区警示
函数概念理解误
1设集合M＝{x|0≤x≤2}集合N＝{y|0≤y≤2}出列四图形(图示)中表示集合MN函数关系数( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[错解] 函数应关系(1)(2)(3)正确选D．
[错分析] 考虑问题考虑定义域中元素x值域中否相应y值应．
[正解] 图(1)定义域M中(12]部分值域N中没应数符合函数定义图(2)中定义域值域应关系符合图(3)显然符合函数定义图(4)中定义域(02]元素值域(02]两元素应唯．图(2)正确．答案B．
[方法点拨] 函数定义中数角度描述函数应关系首先两非空数集间应外弄清定义域数集A值域数集B间关系．
学科素养
求函数值域方法——转化化思想数形结合思想应
1．分离常数法
求函数y＝值域．
[分析] 种求函数值域问题常化y＝a＋形式求函数值域．
[解析] ∵y＝＝＝3＋
∵≠0∴y≠3∴函数y＝值域{y|y∈Ry≠3}．
[纳提升] 求y＝种类型函数值域应采分离常数法函数化y＝a＋形式．
2．配方法
求函数值域
[解析] ∵
∴图象开口顶点(－14)x∈[－5－2]应抛物线段弧．
根x∈[－5－2]时抛物线升x＝－5时y取值x＝－2时y取值
值域[－123]．
[纳提升] 遇求解般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)值域时应采配方法函数化y＝a(x＋)2＋形式求函数值域．
3．换元法
求函数y＝x＋值域．
[分析] 忽略常数系数x隐含二次关系令＝tx＝(t2＋1)函数转化t变量二次函数原函数定义域意义确定t允许取值范围取值范围．
[解析] 设u＝(x≥)x＝(u≥0)
y＝＋u＝(u≥0)．u≥0知(u＋1)2≥1y≥
函数y＝x＋值域[＋∞)．
[纳提升] 求解带根号开方式次式函数值域直接求解困难费时费力遇样问题想字母代换掉带根号式子．值注意代换程中注意新变量取值范围．
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节课选普通高中课程标准数学教科书必修（教A版）第三章函数概念性质节课第1课时
函数基知识高中数学核心容函数思想贯穿整初中高中数学
高学生说函数陌生概念局限初中阶段学生认知水学生善未学集合概念运动变化观点定义函数通正例函数反例函数次二次函数学理解函数意义函数概念理解深刻
高学生学集合概念进步运集合应观点刻画函数突出函数两集合间应关系领会集合思想应思想模型思想第课时重点放函数概念理解通生活中实际事例引出函数定义懂数学类生活密切联系通函数三素剖析进步理解充实函数涵教学程中分设计问题理解函数定义域应法函数图象特征两相函数条件等问题
学生初中阶段已知道函数定义域函数解析式意义实际问题符合实际意义变量范围教学中进步强调定义域集合表示
课程目标
学科素养
根函数定义判断两函数否函数
会求函数定义域
会求函数值域
1逻辑推理：函数判断
2数学运算：求函数定义域值域
1教学重点：函数概念函数三素
2教学难点：求函数值域
媒体
复回顾温知新
1函数概念：设AB非空数集果某确定应关系f集合A中意数x集合B中唯确定数y应称f：A→B集合A集合B函数（function）记作：yf(x) x∈A．
x做变量x取值范围A做函数定义域x值相应y值做函数值函数值集合{ f(x)| x∈A }做函数值域
2函数符号yf(x)理解：
（1）yf(x)yx函数数学表示仅函数符号 f(x)fx相
例：y3x+1写成f(x) 3x+1
x2时y7写成f(2)7
想想：f(a)表示什意思？f(a)f(x)什区？
般f(a)表示xa时函数值常量f(x)表示变量x函数般情况变量
（2）yf(x)函数符号意字母表示
yg(x)yh(x)
二探索新知
探究 函数
前提条件
定义域相
应关系完全样
结
函数
思考1：函数定义域应关系值域三素什判断两函数否函数定义域应关系？
提示：函数定义域应关系求出函数值域判断两函数否函数定义域应关系．
探索二 常见函数定义域值域
思考2：求二次函数值域时什分两种情况？
提示：a>0时二次函数图象开口抛物线观察图象值域{y|y≥}．
a<0时二次函数图象开口抛物线观察图象值域{y|y≤}．
例1判断正误(√错×)
(1)f(x)＝g(x)＝x函数．( )
(2)两函数定义域值域相两函数函数．( )
(3)函数f(x)＝x2－xg(t)＝t2－t函数．( )
[解析] (1)f(x)＝g(x)＝x定义域相函数．
(2)例f(x)＝g(x)＝定义域值域相两函数函数．
(3)函数f(x)＝x2－xg(t)＝t2－t定义域R应关系完全致两函数函数．
例2 (2019·江苏启东中学高检测)图中表示函数y＝f(x)图象( )
[解析] 函数定义知意作条垂直x轴直线x＝a直线函数图象交点知选项D中图象表示yx函数．
例3．函数y＝x2－3x定义域{－1023}值域( A )
A．{－204} B．{－2024}
C．{y|y≤－} D．{y|0≤y≤3}
例4表表示yx函数函数值域( )
A．{y|－1≤y≤1} B．R
C．{y|2≤y≤3} D．{－101}
[解析] 函数值－101三数值值域{－101}．
关键力·攻重难
题型 函数值域
1函数值域( )
A．(－30] B．(－31] C．[01] D．[15)
[分析] 首先二次函数开口方考虑二次函数称轴限定区间位置关系．
[解析] 知x＝2时x＝0时
x≠2函数值域(－31]．
[纳提升] 二次函数值域
(1)称轴限定区间左边函数限定区间左端点取值右端点取值
(2)称轴限定区间右边函数限定区间左端点取值右端点取值
(3)称轴限定区间函数称轴处取值限定区间中距离称轴较远端点取值．
题型二 函数
2判断列组函数否函数什？
(1)y＝y＝1
(2)y＝y＝x
(3)y＝·y＝
[分析] 判断两函数否函数须两函数定义域应关系否完全致．
[解析] (1)应关系相x取意义值y应1定义域y＝定义域{x|x≠0}y＝1定义域R两函数函数．
(2)应关系相y＝＝|x|＝定义域Ry＝x定义域Rx<0时应关系两函数函数．
(3)函数y＝·定义域成立x集合{x|－1≤x≤1}．条件函数解析式写y＝y＝定义域{x|－1≤x≤1}两函数定义域应关系完全相两函数函数．
[纳提升] 判断两函数f(x)g(x)函数方法步骤
(1)先定义域定义域两函数．(2)应关系应关系函数．(3)应关系相定义域相函数．
题型三 复合函数抽象函数定义域
3(1)函数f(x)定义域(－12)函数f(2x＋1)定义域_______________
(2)函数f(2x＋1)定义域(－12)函数f(x)定义域______________
(3)函数f(2x＋1)定义域(－12)函数f(x－1)定义域____________
[分析] (1)f(x)定义域(－12)x取值范围(－12)．f(2x＋1)中x取值范围(定义域)2x＋1∈(－12)求．
(2)f(2x＋1)定义域(－12)x取值范围(－12)求2x＋1取值范围f(x)定义域．
(3)先f(2x＋1)定义域求f(x)定义域f(x)定义域求f(x－1)定义域．
[解析] (1)－1<2x＋1<2－1
－1
(1)已知函数f(x)定义域数集A函数f[g(x)]定义域g(x)∈A解出．
(2)已知函数f[g(x)]定义域数集A函数f(x)定义域g(x)A中值域．
误区警示
函数概念理解误
1设集合M＝{x|0≤x≤2}集合N＝{y|0≤y≤2}出列四图形(图示)中表示集合MN函数关系数( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[错解] 函数应关系(1)(2)(3)正确选D．
[错分析] 考虑问题考虑定义域中元素x值域中否相应y值应．
[正解] 图(1)定义域M中(12]部分值域N中没应数符合函数定义图(2)中定义域值域应关系符合图(3)显然符合函数定义图(4)中定义域(02]元素值域(02]两元素应唯．图(2)正确．答案B．
[方法点拨] 函数定义中数角度描述函数应关系首先两非空数集间应外弄清定义域数集A值域数集B间关系．
学科素养
求函数值域方法——转化化思想数形结合思想应
1．分离常数法
求函数y＝值域．
[分析] 种求函数值域问题常化y＝a＋形式求函数值域．
[解析] ∵y＝＝＝3＋
∵≠0∴y≠3∴函数y＝值域{y|y∈Ry≠3}．
[纳提升] 求y＝种类型函数值域应采分离常数法函数化y＝a＋形式．
2．配方法
求函数值域
[解析] ∵
∴图象开口顶点(－14)x∈[－5－2]应抛物线段弧．
根x∈[－5－2]时抛物线升x＝－5时y取值x＝－2时y取值
值域[－123]．
[纳提升] 遇求解般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)值域时应采配方法函数化y＝a(x＋)2＋形式求函数值域．
3．换元法
求函数y＝x＋值域．
[分析] 忽略常数系数x隐含二次关系令＝tx＝(t2＋1)函数转化t变量二次函数原函数定义域意义确定t允许取值范围取值范围．
[解析] 设u＝(x≥)x＝(u≥0)
y＝＋u＝(u≥0)．u≥0知(u＋1)2≥1y≥
函数y＝x＋值域[＋∞)．
[纳提升] 求解带根号开方式次式函数值域直接求解困难费时费力遇样问题想字母代换掉带根号式子．值注意代换程中注意新变量取值范围．
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