2021中考 考专题训练：移旋转
选择题
1 图△ABC着点B点E方移△DEF果BC5EC3移距离 ( )
A2 B3
C5 D7
2 图△ABC绕点C时针旋转△DEC点A应点D恰落边AB点B应点E连接BE列结定正确 ( )
AACAD BAB⊥EB
CBCDE D∠A∠EBC
3 图△ABCBC方移1 cm△DEF△ABC周长8 cm四边形ABFD周长 ( )
A8 cm B9 cm
C10 cm D11 cm
4 图面直角坐标系中边长2正方形边ABx轴AB边中点坐标原点O正方形绕点C逆时针方旋转90°点B应点B＇坐标 ( )
A(12) B(14)
C(32) D(10)
5 图△ABC中∠C＝90°AC＝4BC＝3△ABC绕点A逆时针旋转点C落线段AB点E处点B落点D处BD两点间距离( )
A B．2
C．3 D．2
6 图正方形ABCD中边长AB1正方形ABCD绕点A逆时针方旋转180°正方形AB1C1D1线段CD扫面积 ( )
A B Cπ D2π
7 图监控规边形艺术走廊活动情况现已AB两处安装监控探头(走廊探头观测区域圆心角取180°扇形)图中阴影部分A处监控探头观测区域．整艺术走廊监控需安装监控探头安装位置( )
A E处 B F处 C G处 D H处
8 图△ABC绕点B逆时针旋转α△EBD点A恰ED延长线∠CAD度数( )
A．90°－α B．α C．180°－α D．2α
二填空题
9 图五角星顶点正五边形五顶点．五角星基图形(图中阴影部分)绕中心点O少______次旋转次旋转______度．
10 副三角板图放置三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)三角板ADE边直线BC垂直α度数
11 图矩形ABCD中AD3矩形ABCD绕点A逆时针旋转矩形AEFG点B应点E落CDDEEFAB长
12 图正方形网格中格点△ABC绕某点时针旋转角α(0<α<180°)格点△A1B1C1点A点A1点B点B1点C点C1应点α
13 图示方格纸(1格长1单位长度)中△ABC顶点格点△ABC绕点O时针方旋转△A′B′C′顶点格点旋转角度数________．
14 问题背景图①△ABC绕点A逆时针旋转60°△ADEDEBC交点P推出结PA+PCPE
问题解决图②△MNG中MN6∠M75°MG4点O△MNG点点O△MNG三顶点距离值
15 图△ABC绕点A逆时针旋转150°△ADE时点BCD恰直线∠B度数________．
16 图AB⊥y轴△ABO绕点A逆时针旋转△AB1O1位置点B应点B1落直线y＝－x△AB1O1绕点B1逆时针旋转△A1B1O2位置点O1应点O2落直线y＝－x次进行……点B坐标(01)点O12坐标________．
三解答题
17 图正方形网格中正方形边长单位长度面直角坐标系中△OAB三顶点O(00)A(41)B(44)均格点
(1)画出△OAB关y轴称△OA1B1写出点A1坐标
(2)画出△OAB绕原点O时针旋转90°△OA2B2写出点A2坐标
(3)(2)条件求线段OA旋转程中扫面积(结果保留π)
18 图△ABC中∠BAC＝90°AB＝ACDEBC边点△ABD绕点A逆时针旋转△ACD′
(1)求∠DAD′度数
(2)∠DAE＝45°时求证：DE＝D′E
19 图P正方形ABCD点PA＝aPB＝2aPC＝3a(a＞0)．
(1)求∠APB度数
(2)求正方形ABCD面积．
20 副三角尺图①摆放等腰直角三角尺直角边DF恰垂直分ABAC相交点GBC＝2
(1)求GC长
(2)图②△DEF绕点D时针旋转直角边DF点C直角边DEAC相交点H分点HC作AB垂线垂足分MN通观察猜想MDND数量关系验证猜想
(3)(2)条件△DEFDB方移△D′E′F′D′E′恰(1)中点G时请直接写出DD′长度．
21 △ABC△DEF两全等等腰直角三角形∠BAC＝∠EDF＝90°△DEF顶点E△ABC斜边BC中点重合．△DEF绕点E旋转旋转程中线段DE线段AB相交点P线段EF射线CA相交点Q
(1)图①点Q线段ACAP＝AQ时求证：
△BPE≌△CQE
(2)图②点Q线段CA延长线时
①求证：△BPE∽△CEQ
②BP＝2CQ＝9时求BC长．
22 (1)图 (a)△ABC中DBC边中点DE⊥DFDE交AB点EDF交AC点F连接EF
①求证：BE＋CF＞EF
②∠A＝90°探索线段BECFEF间数量关系加证明．
(2)图(b)四边形ABDC中∠B＋∠C＝180°BD＝CD∠BDC＝120°D顶点作60°角角两边分交ABACEF两点连接EF探索线段BECFEF间数量关系加证明．
23 矩形ABCD绕点A时针旋转α(0°＜α＜360°)矩形AEFG
(1)图①点EBD时求证：FD＝CD
(2)α值时GC＝GB？画出图形说明理．
24 已知：图四边形ABCD中∠ADC＝60°∠ABC＝30°AD＝CD
求证：BD2＝AB2＋BC2
2021中考 考专题训练：移旋转答案
选择题
1 答案A [解析]观察图形发现移前BE应点CF应点根移性质易移距离BE532
2 答案D [解析]旋转性质知ACCD∠A定60°证明ACAD选项A错误旋转角度确定选项B确定ABDE确定ABBC数量关系BCDE数量关系确定旋转性质知∠ACD∠BCEACDCBCEC2∠A180°∠ACD2∠EBC180°∠BCE证选项D正确
3 答案C [解析]周长8 cm△ABCBC方移1 cm△DEF
∴ADCF1 cmDFAC
∵AB+BC+AC8 cm
∴四边形ABFD周长AD+AB+BF+DF1+AB+BC+1+AC10 cm
4 答案C [解析]图旋转CB＇CB2∠BCB＇90°DCB＇三点线
∵四边形ABCD正方形OAB中点∴OB1∴B＇(2+12)B＇(32)选C
5 答案A [解析] ∵Rt△ABC中∠C＝90°AC＝4BC＝3∴AB＝5
∵△ABC绕点A逆时针旋转点C落线段AB点E处点B落点D处
∴AE＝4DE＝3∴BE＝1
Rt△BED中BD＝＝选A
6 答案B 解析图作出CD点运动路径连接CC1S线段CD扫阴影部分+S△ABC+S正方形ABCDAB1ACS线段CD扫阴影部分π·AC2π·AD2选B
7 答案D 解析根题意知AB处安装监控探头EFG处均探查区域探头放EF处时样存样问题放H处恰存．
8 答案C [解析] 题意∠CBD＝α∠C＝∠EDB
∵∠EDB＋∠ADB＝180°
∴∠C＋∠ADB＝180°
四边形角定理∠CAD＋∠CBD＝180°
∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α选C
二填空题
9 答案4 72
10 答案15°60°
11 答案3 [解析]∵DEEFAD3∠D90°
∴AE2AD2+DE218
∴ABAE3
12 答案90° [解析]∵旋转图形旋转中心应点距离相等
∴分作线段AA1CC1垂直分线两直线相交点D点D旋转中心连接ADA1D
α∠ADA190°
13 答案90° [解析] 找组应点AA′旋转中心连接起确定旋转角进旋转角度数90°
14 答案2 [解析]题意构造等边三角形MFN等边三角形MHO△MFH≌△MNO
∴OM+ON+OGHO+HF+OG∴距离值FG2
15 答案15° [解析] 旋转性质知AB＝AD
∠BAD＝150°∴∠B＝∠ADB＝×(180°－150°)＝15°
16 答案9＋3 [解析] y＝1代入y＝－x解x＝－
∴AB＝OA＝2直线y＝－xx轴夹锐角30°
图知旋转程中3次循环中OO2＝O2O4＝O4O6＝O6O8＝O8O10＝O10O12＝2＋＋1＝3＋
∴OO12＝6×(3＋)＝18＋6
∴点O12坐标＝OO12＝9＋3
三解答题
17 答案
解(1)图略A1(41)
(2)图略A2(14)
(3)∵OA∴线段OA扫面积
18 答案
解：(1)∵△ABD绕点A逆时针旋转△ACD′
∴∠DAD′＝∠BAC
∵∠BAC＝90°∴∠DAD′＝90°
(2)证明：∵△ABD绕点A逆时针旋转△ACD′
∴AD＝AD′∠DAD′＝∠BAC＝90°
∵∠DAE＝45°
∴∠D′AE＝∠DAD′－∠DAE＝90°－45°＝45°
∴∠D′AE＝∠DAE
△AED△AED′中
∴△AED≌△AED′(SAS)
∴DE＝D′E
19 答案
解：(1)△ABP绕点B时针旋转90°△CBQ连接PQ图
∠APB＝∠BQCPB⊥QBPB＝QB＝2a
AP＝QC＝a
∴PQ＝2 a
△PQC中∵PC2＝9a2PQ2＋QC2＝9a2∴PC2＝PQ2＋QC2
∴△PQC直角三角形∠PQC＝90°
∵△PBQ等腰直角三角形
∴∠BPQ＝∠BQP＝45°
∠APB＝∠CQB＝90°＋45°＝135°
(2)连接AC
∵∠APQ＝∠APB＋∠BPQ＝135°＋45°＝180°
∴APQ三点条直线．
Rt△AQC中AC2＝AQ2＋QC2＝(a＋2 a)2＋a2＝(10＋4 )a2
∴正方形ABCD面积S＝AB2＝＝(5＋2 )a2
20 答案
解：(1)Rt△ABC中
∵∠B＝60°BC＝2
∴AB＝4AC＝6
∵DF垂直分AB∴AD＝2
∵∠DAG＝30°
∴DG＝2AG＝4
∴GC＝AC－AG＝6－4＝2
(2)MD＝ND
证明：∵DAB中点∠ACB＝90°
∴CD＝DB＝AD
∵∠B＝60°∴△CDB等边三角形
∴∠CDB＝60°
∵CN⊥DB∴ND＝DB
∵∠EDF＝90°
∴∠EDA＝180°－∠EDF－∠CDB＝30°
∵∠A＝30°
∴∠A＝∠EDA∴HA＝HD
∵HM⊥AD∴MD＝AD
∵AD＝DB∴MD＝ND
(3)连接DGDG⊥AD′
(2)知∠A＝∠EDA
移知∠E′D′A＝∠EDA
∴∠A＝∠E′D′A
∵D′E′恰(1)中点G(时点D′点B重合)
∴D′G＝AG
∴DD′＝AD＝2
21 答案
(1)证明：∵△ABC等腰直角三角形
∴AB＝AC∠B＝∠C＝45°
∵AP＝AQ
∴BP＝CQ
∵EBC中点
∴BE＝EC
∴△BPE△CQE中
∴△BPE≌△CQE(SAS)
(2)①证明：∵∠BEF＝∠C＋∠CQE∠BEF＝∠BEP＋∠DEF
∠C＝∠DEF＝45°
∴∠CQE＝∠BEP
∵∠B＝∠C
∴△BPE∽△CEQ
②解：①知△BPE∽△CEQ
∴
∴BE·CE＝BP·CQ
∵BE＝EC
∴BE2＝BP·CQ
∵BP＝2CQ＝9
∴BE2＝2×9＝18
∴BE＝3
∴BC＝2BE＝6
22 答案
解：(1)①证明：图(a)△DBE绕点D旋转180°△DCG连接FG△DCG≌△DBE
∴DG＝DECG＝BE
∵DE⊥DF
∴DF垂直分线段EG∴FG＝EF
∵△CFG中CG＋CF＞FG
∴BE＋CF＞EF
②BE2＋CF2＝EF2
证明：∵∠A＝90°∴∠B＋∠ACD＝90°
①∠FCG＝∠FCD＋∠DCG＝∠FCD＋∠B＝90°
∴Rt△CFG中勾股定理CG2＋CF2＝FG2∴BE2＋CF2＝EF2
(2)EF＝BE＋CF
证明：图(b)．∵CD＝BD∠BDC＝120°
∴△CDF绕点D逆时针旋转120°△BDM
∴△BDM≌△CDF
∴DM＝DFBM＝CF∠BDM＝∠CDF∠DBM＝∠C
∵∠ABD＋∠C＝180°
∴∠ABD＋∠DBM＝180°
∴点ABM线
∴∠EDM＝∠EDB＋∠BDM＝∠EDB＋∠CDF＝∠BDC－∠EDF＝120°－60°＝60°＝∠EDF
△DEM△DEF中
∴△DEM≌△DEF
∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋CF
23 答案
解：(1)证明：连接EGAFEG＝AF
旋转性质EG＝BD∴AF＝BD
∵AD＝BC∴Rt△ADF≌Rt△BCD
∴FD＝CD
(2)分两种情况：①点G位BC垂直分线BC右边图(a)．
∵GC＝GB
∴∠GCB＝∠GBC∴∠GCD＝∠GBA
CD＝BA∴△GCD≌△GBA
∴DG＝AG
∵AG＝AD
∴△ADG等边三角形
∴∠DAG＝60°∴α＝60°
②点G位BC垂直分线BC左边图(b)．
理△ADG等边三角形
∴∠DAG＝60°时α＝300°
综述α60°300°时GC＝GB
24 答案
证明：图△ADB绕点D时针旋转60°△CDE连接BE
∠ADB＝∠CDE∠A＝∠DCEAB＝CEBD＝DE
∵∠ADC＝60°∴∠BDE＝60°
∴△DBE等边三角形
∴BD＝BE
∵∠ECB＝360°－∠BCD－∠DCE＝360°－∠BCD－∠A＝360°－(360°－∠ADC－∠ABC)＝90°
∴△ECB直角三角形
∴BE2＝CE2＋BC2BD2＝AB2＋BC2
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选择题
1 图△ABC着点B点E方移△DEF果BC5EC3移距离 ( )
A2 B3
C5 D7
2 图△ABC绕点C时针旋转△DEC点A应点D恰落边AB点B应点E连接BE列结定正确 ( )
AACAD BAB⊥EB
CBCDE D∠A∠EBC
3 图△ABCBC方移1 cm△DEF△ABC周长8 cm四边形ABFD周长 ( )
A8 cm B9 cm
C10 cm D11 cm
4 图面直角坐标系中边长2正方形边ABx轴AB边中点坐标原点O正方形绕点C逆时针方旋转90°点B应点B＇坐标 ( )
A(12) B(14)
C(32) D(10)
5 图△ABC中∠C＝90°AC＝4BC＝3△ABC绕点A逆时针旋转点C落线段AB点E处点B落点D处BD两点间距离( )
A B．2
C．3 D．2
6 图正方形ABCD中边长AB1正方形ABCD绕点A逆时针方旋转180°正方形AB1C1D1线段CD扫面积 ( )
A B Cπ D2π
7 图监控规边形艺术走廊活动情况现已AB两处安装监控探头(走廊探头观测区域圆心角取180°扇形)图中阴影部分A处监控探头观测区域．整艺术走廊监控需安装监控探头安装位置( )
A E处 B F处 C G处 D H处
8 图△ABC绕点B逆时针旋转α△EBD点A恰ED延长线∠CAD度数( )
A．90°－α B．α C．180°－α D．2α
二填空题
9 图五角星顶点正五边形五顶点．五角星基图形(图中阴影部分)绕中心点O少______次旋转次旋转______度．
10 副三角板图放置三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)三角板ADE边直线BC垂直α度数
11 图矩形ABCD中AD3矩形ABCD绕点A逆时针旋转矩形AEFG点B应点E落CDDEEFAB长
12 图正方形网格中格点△ABC绕某点时针旋转角α(0<α<180°)格点△A1B1C1点A点A1点B点B1点C点C1应点α
13 图示方格纸(1格长1单位长度)中△ABC顶点格点△ABC绕点O时针方旋转△A′B′C′顶点格点旋转角度数________．
14 问题背景图①△ABC绕点A逆时针旋转60°△ADEDEBC交点P推出结PA+PCPE
问题解决图②△MNG中MN6∠M75°MG4点O△MNG点点O△MNG三顶点距离值
15 图△ABC绕点A逆时针旋转150°△ADE时点BCD恰直线∠B度数________．
16 图AB⊥y轴△ABO绕点A逆时针旋转△AB1O1位置点B应点B1落直线y＝－x△AB1O1绕点B1逆时针旋转△A1B1O2位置点O1应点O2落直线y＝－x次进行……点B坐标(01)点O12坐标________．
三解答题
17 图正方形网格中正方形边长单位长度面直角坐标系中△OAB三顶点O(00)A(41)B(44)均格点
(1)画出△OAB关y轴称△OA1B1写出点A1坐标
(2)画出△OAB绕原点O时针旋转90°△OA2B2写出点A2坐标
(3)(2)条件求线段OA旋转程中扫面积(结果保留π)
18 图△ABC中∠BAC＝90°AB＝ACDEBC边点△ABD绕点A逆时针旋转△ACD′
(1)求∠DAD′度数
(2)∠DAE＝45°时求证：DE＝D′E
19 图P正方形ABCD点PA＝aPB＝2aPC＝3a(a＞0)．
(1)求∠APB度数
(2)求正方形ABCD面积．
20 副三角尺图①摆放等腰直角三角尺直角边DF恰垂直分ABAC相交点GBC＝2
(1)求GC长
(2)图②△DEF绕点D时针旋转直角边DF点C直角边DEAC相交点H分点HC作AB垂线垂足分MN通观察猜想MDND数量关系验证猜想
(3)(2)条件△DEFDB方移△D′E′F′D′E′恰(1)中点G时请直接写出DD′长度．
21 △ABC△DEF两全等等腰直角三角形∠BAC＝∠EDF＝90°△DEF顶点E△ABC斜边BC中点重合．△DEF绕点E旋转旋转程中线段DE线段AB相交点P线段EF射线CA相交点Q
(1)图①点Q线段ACAP＝AQ时求证：
△BPE≌△CQE
(2)图②点Q线段CA延长线时
①求证：△BPE∽△CEQ
②BP＝2CQ＝9时求BC长．
22 (1)图 (a)△ABC中DBC边中点DE⊥DFDE交AB点EDF交AC点F连接EF
①求证：BE＋CF＞EF
②∠A＝90°探索线段BECFEF间数量关系加证明．
(2)图(b)四边形ABDC中∠B＋∠C＝180°BD＝CD∠BDC＝120°D顶点作60°角角两边分交ABACEF两点连接EF探索线段BECFEF间数量关系加证明．
23 矩形ABCD绕点A时针旋转α(0°＜α＜360°)矩形AEFG
(1)图①点EBD时求证：FD＝CD
(2)α值时GC＝GB？画出图形说明理．
24 已知：图四边形ABCD中∠ADC＝60°∠ABC＝30°AD＝CD
求证：BD2＝AB2＋BC2
2021中考 考专题训练：移旋转答案
选择题
1 答案A [解析]观察图形发现移前BE应点CF应点根移性质易移距离BE532
2 答案D [解析]旋转性质知ACCD∠A定60°证明ACAD选项A错误旋转角度确定选项B确定ABDE确定ABBC数量关系BCDE数量关系确定旋转性质知∠ACD∠BCEACDCBCEC2∠A180°∠ACD2∠EBC180°∠BCE证选项D正确
3 答案C [解析]周长8 cm△ABCBC方移1 cm△DEF
∴ADCF1 cmDFAC
∵AB+BC+AC8 cm
∴四边形ABFD周长AD+AB+BF+DF1+AB+BC+1+AC10 cm
4 答案C [解析]图旋转CB＇CB2∠BCB＇90°DCB＇三点线
∵四边形ABCD正方形OAB中点∴OB1∴B＇(2+12)B＇(32)选C
5 答案A [解析] ∵Rt△ABC中∠C＝90°AC＝4BC＝3∴AB＝5
∵△ABC绕点A逆时针旋转点C落线段AB点E处点B落点D处
∴AE＝4DE＝3∴BE＝1
Rt△BED中BD＝＝选A
6 答案B 解析图作出CD点运动路径连接CC1S线段CD扫阴影部分+S△ABC+S正方形ABCDAB1ACS线段CD扫阴影部分π·AC2π·AD2选B
7 答案D 解析根题意知AB处安装监控探头EFG处均探查区域探头放EF处时样存样问题放H处恰存．
8 答案C [解析] 题意∠CBD＝α∠C＝∠EDB
∵∠EDB＋∠ADB＝180°
∴∠C＋∠ADB＝180°
四边形角定理∠CAD＋∠CBD＝180°
∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α选C
二填空题
9 答案4 72
10 答案15°60°
11 答案3 [解析]∵DEEFAD3∠D90°
∴AE2AD2+DE218
∴ABAE3
12 答案90° [解析]∵旋转图形旋转中心应点距离相等
∴分作线段AA1CC1垂直分线两直线相交点D点D旋转中心连接ADA1D
α∠ADA190°
13 答案90° [解析] 找组应点AA′旋转中心连接起确定旋转角进旋转角度数90°
14 答案2 [解析]题意构造等边三角形MFN等边三角形MHO△MFH≌△MNO
∴OM+ON+OGHO+HF+OG∴距离值FG2
15 答案15° [解析] 旋转性质知AB＝AD
∠BAD＝150°∴∠B＝∠ADB＝×(180°－150°)＝15°
16 答案9＋3 [解析] y＝1代入y＝－x解x＝－
∴AB＝OA＝2直线y＝－xx轴夹锐角30°
图知旋转程中3次循环中OO2＝O2O4＝O4O6＝O6O8＝O8O10＝O10O12＝2＋＋1＝3＋
∴OO12＝6×(3＋)＝18＋6
∴点O12坐标＝OO12＝9＋3
三解答题
17 答案
解(1)图略A1(41)
(2)图略A2(14)
(3)∵OA∴线段OA扫面积
18 答案
解：(1)∵△ABD绕点A逆时针旋转△ACD′
∴∠DAD′＝∠BAC
∵∠BAC＝90°∴∠DAD′＝90°
(2)证明：∵△ABD绕点A逆时针旋转△ACD′
∴AD＝AD′∠DAD′＝∠BAC＝90°
∵∠DAE＝45°
∴∠D′AE＝∠DAD′－∠DAE＝90°－45°＝45°
∴∠D′AE＝∠DAE
△AED△AED′中
∴△AED≌△AED′(SAS)
∴DE＝D′E
19 答案
解：(1)△ABP绕点B时针旋转90°△CBQ连接PQ图
∠APB＝∠BQCPB⊥QBPB＝QB＝2a
AP＝QC＝a
∴PQ＝2 a
△PQC中∵PC2＝9a2PQ2＋QC2＝9a2∴PC2＝PQ2＋QC2
∴△PQC直角三角形∠PQC＝90°
∵△PBQ等腰直角三角形
∴∠BPQ＝∠BQP＝45°
∠APB＝∠CQB＝90°＋45°＝135°
(2)连接AC
∵∠APQ＝∠APB＋∠BPQ＝135°＋45°＝180°
∴APQ三点条直线．
Rt△AQC中AC2＝AQ2＋QC2＝(a＋2 a)2＋a2＝(10＋4 )a2
∴正方形ABCD面积S＝AB2＝＝(5＋2 )a2
20 答案
解：(1)Rt△ABC中
∵∠B＝60°BC＝2
∴AB＝4AC＝6
∵DF垂直分AB∴AD＝2
∵∠DAG＝30°
∴DG＝2AG＝4
∴GC＝AC－AG＝6－4＝2
(2)MD＝ND
证明：∵DAB中点∠ACB＝90°
∴CD＝DB＝AD
∵∠B＝60°∴△CDB等边三角形
∴∠CDB＝60°
∵CN⊥DB∴ND＝DB
∵∠EDF＝90°
∴∠EDA＝180°－∠EDF－∠CDB＝30°
∵∠A＝30°
∴∠A＝∠EDA∴HA＝HD
∵HM⊥AD∴MD＝AD
∵AD＝DB∴MD＝ND
(3)连接DGDG⊥AD′
(2)知∠A＝∠EDA
移知∠E′D′A＝∠EDA
∴∠A＝∠E′D′A
∵D′E′恰(1)中点G(时点D′点B重合)
∴D′G＝AG
∴DD′＝AD＝2
21 答案
(1)证明：∵△ABC等腰直角三角形
∴AB＝AC∠B＝∠C＝45°
∵AP＝AQ
∴BP＝CQ
∵EBC中点
∴BE＝EC
∴△BPE△CQE中
∴△BPE≌△CQE(SAS)
(2)①证明：∵∠BEF＝∠C＋∠CQE∠BEF＝∠BEP＋∠DEF
∠C＝∠DEF＝45°
∴∠CQE＝∠BEP
∵∠B＝∠C
∴△BPE∽△CEQ
②解：①知△BPE∽△CEQ
∴
∴BE·CE＝BP·CQ
∵BE＝EC
∴BE2＝BP·CQ
∵BP＝2CQ＝9
∴BE2＝2×9＝18
∴BE＝3
∴BC＝2BE＝6
22 答案
解：(1)①证明：图(a)△DBE绕点D旋转180°△DCG连接FG△DCG≌△DBE
∴DG＝DECG＝BE
∵DE⊥DF
∴DF垂直分线段EG∴FG＝EF
∵△CFG中CG＋CF＞FG
∴BE＋CF＞EF
②BE2＋CF2＝EF2
证明：∵∠A＝90°∴∠B＋∠ACD＝90°
①∠FCG＝∠FCD＋∠DCG＝∠FCD＋∠B＝90°
∴Rt△CFG中勾股定理CG2＋CF2＝FG2∴BE2＋CF2＝EF2
(2)EF＝BE＋CF
证明：图(b)．∵CD＝BD∠BDC＝120°
∴△CDF绕点D逆时针旋转120°△BDM
∴△BDM≌△CDF
∴DM＝DFBM＝CF∠BDM＝∠CDF∠DBM＝∠C
∵∠ABD＋∠C＝180°
∴∠ABD＋∠DBM＝180°
∴点ABM线
∴∠EDM＝∠EDB＋∠BDM＝∠EDB＋∠CDF＝∠BDC－∠EDF＝120°－60°＝60°＝∠EDF
△DEM△DEF中
∴△DEM≌△DEF
∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋CF
23 答案
解：(1)证明：连接EGAFEG＝AF
旋转性质EG＝BD∴AF＝BD
∵AD＝BC∴Rt△ADF≌Rt△BCD
∴FD＝CD
(2)分两种情况：①点G位BC垂直分线BC右边图(a)．
∵GC＝GB
∴∠GCB＝∠GBC∴∠GCD＝∠GBA
CD＝BA∴△GCD≌△GBA
∴DG＝AG
∵AG＝AD
∴△ADG等边三角形
∴∠DAG＝60°∴α＝60°
②点G位BC垂直分线BC左边图(b)．
理△ADG等边三角形
∴∠DAG＝60°时α＝300°
综述α60°300°时GC＝GB
24 答案
证明：图△ADB绕点D时针旋转60°△CDE连接BE
∠ADB＝∠CDE∠A＝∠DCEAB＝CEBD＝DE
∵∠ADC＝60°∴∠BDE＝60°
∴△DBE等边三角形
∴BD＝BE
∵∠ECB＝360°－∠BCD－∠DCE＝360°－∠BCD－∠A＝360°－(360°－∠ADC－∠ABC)＝90°
∴△ECB直角三角形
∴BE2＝CE2＋BC2BD2＝AB2＋BC2
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