高三数学第二轮专题复习之函数

高三数学第二轮专题复函数
章知识结构：
函数三素
函数表示法
函数性质
反函数
函数应
初等函数
基初等函数：
指数函数
数函数
数
指数
映射
函数射











二高考求
（1）解映射概念理解函数概念．
（2）解函数单调性奇偶性概念掌握判断简单函数单调性奇偶性方法利函数性质简化函数图绘制程．
（3）解反函数概念互反函数函数图间关系会求简单函数反函数．
（4）理解分数指数概念掌握理指数幂运算性质．掌握指数函数概念图性质．
（5）理解数概念掌握数运算性质．掌握数函数概念图性质．
（6）够运函数性质指数函数数函数性质解决某简单实际问题．
三热点分析
函数高考数学重点容函数观点思想方法贯穿整高中数学全程包括解决问题年高考试卷中选择题填空题解答题三种题型中年函数试题常考常新基函数背景应题综合题高考命题新趋势
考试热点：①考查函数表示法定义域值域单调性奇偶性反函数函数图象②函数方程等式数列相互关联概念通实际问题抽象分析建立相应函数模型解决问题考试热点
③考查运函数思想观察问题分析问题解决问题渗透数形结合分类讨基数学思想
四复建议
1 认真落实章知识点注意揭示概念数学质
①函数表示方法解析法外列表法图象法函数实质客观世界中量变化存关系
②中学数学中正反例函数次二次函数指数数函数三角函数称基初等函数余函数解析式基初等函数解析式形成 基初等函数图象性质联系起理解记忆
③掌握函数单调性奇偶性般判定方法联系相应函数图象特征加强函数单调性奇偶性应训练
④注意函数图象变换：移变换伸缩变换称变换等
⑤掌握复合函数定义域值域单调性奇偶性
⑥理解掌握反函数概念会求反函数弄清互反函数两函数定义域值域单调性关联图间称关系
2 函数知识托渗透基数学思想方法
①数形结合思想利函数图象解决问题
②建模方法实际问题中引进变量建立函数模型进提高解决应题力培养函数应意识
3 深刻理解函数概念加强章知识横联系
时俱进认识章容双基准确深刻理解函数概念正确灵活加运养成觉运函数观点思考处理问题惯高考范围没容例指数等式（方程）数等式（方程）等作深入研究导数证明函数单调性求函数值值启发学生建构更加完整函数知识结构
谓函数思想实质问题放动态背景考虑利函数观点较高角度处理式方程等式数列曲线等问题
五典型例题
例1 设 1
解：0解
例2 已知函数定义R奇函数x>0时试求反函数
解：
例3 已知函数奇函数求abc整数值
解：ab1c0
例4 ⑴已知求
⑵值试写出解析式
解：⑴ （）
⑵
例5 已知函数值n求表达式
解：

例6 设R偶函数区间递增成立求a取值范围
解：



求
例7 较
解：作差较


m > 10 < m < 1u > 0

例8 设（1）证明增函数（2）求
定义域
解：（1）
取

增函数

增函数
（2）定义域R值域（－1 1）
反解：


例9 定义R函数满足：意实数总时．
（1）试求值
（2）判断单调性证明结
（3）设试确定取值范围．
（4）试举出满足条件函数．
解：（1）中令．：
．
．
（2）判断单调性取设．
已知条件中取已知条件化：．
．
较需考虑正负．
中令．
∵ 时
∴ 时．
综知意均．
∴ ．
∴ 函数R单调递减．
（3）首先利单调性关函数值等式转化含式子．

．
直线圆面公点．
．
解：．
（4）．

六专题练
选择题
1．已知四函数：①y10x ②ylog01x ③ylg(x) ④y01x图象关原点成中心称：（C）
A．仅③④ B．仅①④ C．仅③② D．仅②④
2．设f(x)(x+1)（1） （1）
3．．已知定义实数集R函数f(x)满足：（1）f(x) f(x)（2）f(4+x) f(x) x
[02]时f(x)+1x[64]时f(x)等 （ D ）
（A） （B）
（C） （D）
4．．已知f(x)2 x+1值 （ A ）
（A） （B） （C） （D）5
5．已知函数f(x)+af(1)0值 （ A ）
（A）0 （B）2 （C）1 （D）1
6．函数（x≥0）反函数 （ A ）
（A） （B）y
（C）y （C）y
7．函数f(x)反函数 g（x）面命题成立 （ A ）
（A）f(x）奇函数单调递增g（x）奇函数单调递增
（B）f(x）g（x）图关直线x+y0称
（C）f(x）偶函数时g（x）偶函数
（D）f(x)g(x)图直线定相交点
8．函数yf(x)图点（01）函数yf(x+4)反函数图必点 （ A ）
（A）（14） （B）（41） （C）（41） （D）（14）
9．函数区间
减函数实数a取值范围( B )
A． B． C． D．
10．函数图象右移2单位移3单位函数
解析式( C )
A． B．
C． D．
11．二次函数中意设（ B ）
A． B．
C． D．关系确定
12．函数值域（ B ）
A． B． C． D．R
13．已知x减函数a值取范围（ B ）
A．(0 1) B．(1 2) C．(0 2) D．
二填空题
1．函数 定义域 （）
2．函数单调递增区间
3．函数定义域
三解答题
1．集合B求实数m取值范围
解：
题设知述方程必解
：⑴ 解
⑵二解
⑴⑵知：
2．设两方程公根问：
⑴ab间什关系⑵时求值值
解：⑴两方程相减：显然否两方程方程代入方程：
⑵
时
时值
3．时较
解：

时
时
时
4．x值时等式成立
解：时
时
时
时求
5已知函数
（1）函数区间（0+）增函数减函数？证明结
（2）时恒成立求正整数值
解：（1）

函数区间（0+∞）减函数
（2）（方法1）时恒成立令
正整数 值3……7′
面证明恒成立
证时恒成立
令

取值
时恒成立
正整数值3
（2）（方法2）时恒成立
恒成立
值

连续递增

存唯实根满足：
知：
值
正整数值3
第2讲
典型例题
例1 关x等式2·32x–3x+a2–a–3＞00≤x≤1时恒成立实数a取值范围
解：设t3xt∈［13］原等式化a2–a–3＞–2t2+tt∈［13］
等价a2–a–3f(t)–2t2+t［13］值
答案：(–∞–1)∪(2+∞)
例2 设定义奇函数图象图象关直线称时（c常数）
（1）求表达式
（2）意求证：
（3）意求证：1
解：（1）设g(x)点f(x)点P（xy）应
∴ ∵g（x）图象
∴
∵g(x)定义域x∈[23]f（x）图象g（x）图象关直线x1称
述解析式f(x)[–10]解析式
∵f(x)定义[–11]奇函数∴f(0)0∴c–4
x∈[01]时–x∈[–10]f(x)–f(–x)–

（2）x∈[01]时
∵∴
（3）∵∴
∴∴

例3 已知函数f(x)(a>0 a≠1)
(1) 求反函数f(x)求出定义域
(2) 设P(n))果P(n)<(n∈N)求a取值范围
解：(1) 设y f(x)log
∴ayx+
两端方整理：a2y2xay+20Þx
∴ ∵a>1时f(x)值域
0∴ f1 (x)定义域：a>1时x∈ 0(2) P(n)

an+an－(3n－3n)
∵(3a)n>0 ∴(an－3n)[(3a)n－1]<0Þ∵n∈N∴n+>Þa>1

例4 设函数f(x)定义域关原点称满足① ②存正常数af(a) 1求证：（1）f(x)奇函数（2）f(x)周期函数周期4a
证明：（1）令x x1 x2
f( x) f ( x2 x1)
－f (x1 －x2 ) －f (x)∴f (x)奇函数
（2）∵f( x+a ) f[x － ( －a ) ]
∴f (x+2a )
∴f ( x+4a)f (x)
∴f (x)4a周期周期函数
例5 已知函数f(x)logm
(1)f(x)定义域（β＞α＞0）判断f(x)定义域增减性加说明
(2)0＜m＜1时f(x)值域定义域区间
(β＞α＞0)否存？请说明理
解：（1）x＜–3x＞3
∵f(x)定义域∴α＞3
设β≥x1＞x2≥α
0＜m＜1时f(x)减函数m＞1时f(x)增函数
（2）f(x)值域
∵0＜m＜1 f(x)减函数
∴

αβ方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)03两根
∴ ∴0＜m＜
0＜m＜时满足题意条件m存
例6 已知函数f(x)x2–(m+1)x+m(m∈R)
(1)tanAtanB方程f(x)+40两实根AB锐角三角形ABC两角求证：m≥5
(2)意实数α恒f(2+cosα)≤0证明m≥3
(3)(2)条件函数f(sinα)值8求m
解： （1）证明：f(x)+40x2–(m+1)x+m+40题意：
AB锐角三角形两角
∴＜A+B＜π
∴tan(A+B)＜0
∴∴m≥5
(2)证明：∵f(x)(x–1)(x–m)
–1≤cosα≤1∴1≤2+cosα≤3恒f(2+cosα)≤0
1≤x≤3时恒f(x)≤0(x–1)(x–m)≤0
∴m≥xxmax3∴m≥xmax3
(3)解：∵f(sinα)sin2α–(m+1)sinα+m
≥2∴sinα–1时f(sinα)值8
1+(m+1)+m8∴m3

例7 已知函数定义域实数集（1）求实数m允许值组成集合M（2）求证：恒
证明（1）∵定义域实数集

（2）令

例8 设（a>0a≠1）求证：（1）函数yf(x)图象意两点直线斜率恒0（2）f(3)>3
解：（1）令txf(x) (t∈R)
∴f(x) (x∈R)
设f()－f()
(1)a>1时…f()(2)0∴<时恒f()0
（2）f(3)
∵a>0a≠1 ∴ ∴述等式取等号∴f(x)>3
例9 已知函数f(x)lg(定义域（0+∞）问否存样abf(x)恰（1+∞）取正值f(3)lg4存求出ab值存说明理
解：∵a>1>b>0∴>1∴x>log
f(x)定义域（0+∞）∴log0K1∴f(x)lg
设0<∵a>1>b>0∴a< a－b< b
∴0< a－b< a－ b∴0<<1∴lg<0
∴∴f(x)（0+∞）增函数
∴x(1+∞）时必f(x)>f(1)lg(a－b)
∵f(x)（1+∞）取正值∴lg(a－b)0 a－b1 (1)
f(3)lg4 ∴lglg4 4 (2)
解(1)(2)：bb满足条件

例10 设二次函数f(x) ax2 +bx+c (a>0b≠0)
(1) 已知|f(0)||f(1)||f(1)|1试求f(x)解析式f(x)值
(2) 已知f(x)称轴方程x1f(x)图象x轴截弦长2时试求a b c满足条件
(3) 已知|b|解：(1)|f(0)||f(1)||f(1)|知|c|1|a+b+c|1|ab+c|1
∴(a+b+c)2(ab+c)24(a+c)b0
∵b≠0 ∴a+c0：ac
∵a>0 ∴a1 c1 时b+1 ∴f(x)x2 + x1
f(x)(x + )2 ∴[f(x)]
(2)题意b2a∵a>0b≠0 ∴b<0
令f(x)0两根x1x2函数yf(x)图象x轴两交点(x10)(x20)
满足题设充条件

∴a>0 c0 b<0b－2a求
(3)方法1：
∵|2b||(a+b+c)(ab+c)|<|a+b+c|+|ab+c|<2 ∴|b|1 |b||a| ∴1
|c||f(0)|1 |f(
f(x)示开口抛物线|x|<1|f(x)|值应x1x1x时取|f(1)|<1 |f(1)|1 |f()| |f(x)|证
方法2：
令f(x)uf(1)+vf(1)+(1uv)f(0) f(x)(a+b+c)u+(ab+c)v+(1uv)c
ax2 +bx+ca(u+v)+b(uv)+c
∴
∴f(x)
|f(1)| 1 |f(1)|1 |f(0)|1
∴< x∈[1 1]
|x|·
综|f(0)|1 |f (1)|1 |f(1)|1 |x|1时|f(x)|
解法3：成两独立条件先表示
∵
∴
∴
∴ 时根绝值等式性质：

∴



综问题获证
二专题练
选择题
1．(2005年春考·北京卷·理2)函数y|log2x|图象 （ A ）
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
1
1
1
1
1
1
1
1
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
2．(2005年春考·北京卷·文2)函数 （ B ）

3 (2005年春考·海卷16)设函数定义域列三命题：
（1）存常数意函数值
（2）存意函数
值
（3）存意函数值
命题中真命题数 ( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．(2005年高考·海卷·理13文13)函数该函数 （ A ）
A．单调递减值 B．单调递减值
C．单调递增值 D．单调递增值
5．(2005年高考·海卷·理16)设定义域R函数关方程7实数解充条件 （ C ）
A． B． C． D．
1
y
O
1
1
6．(2005年高考·福建卷·理5文6)函数图象图中ab常数列结正确 （ D ）
A． B．
C． D．
7．(2005年高考·福建卷·理12)定义R3周期奇函数方程0区间（06）解数值 （ D ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．(2005年高考·福建卷·文12)定义R3周期偶函数方程0区间（06）解数值 （ B ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．(2005年高考·广东卷9)面直角坐标系中函数图象关直线称 现图象轴左移2单位 轴移1单位图象两条线段组成折线（图2示）函数表达式（ A ）
A．
B．
C． D．


10．(2005年高考·湖北卷·理4文4)函数图象致 （ D ）








11．(2005年高考·湖北卷·理6文7)四函数中时恒成立函数数 （ B ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．(2005年高考·湖南卷·理2)函数f(x)＝定义域　 （　A）
　　A．－∞0]　　 B．[0＋∞　 C．（－∞0）　 D．（－∞＋∞）
13．(2005年高考·湖南卷·文3)函数f(x)＝定义域　 （　A）
A．－∞0]　　 B．[0＋∞　 C．（－∞0）　 D．（－∞＋∞）
14．(2005年高考·湖南卷·文10)某公司甲乙两销售种品牌车利润（单位：万元）分L1506x－015 x 2L22 x中x销售量（单位：辆）该公司两销售15辆车获利润 （ B ）
A．45606 B．456 C．4556 D．4551
15．(2005年高考·辽宁卷5)函数反函数 （ C ）
A． B． C． D．
16．(2005年高考·辽宁卷6)取值范围 （ C ）
A． B． C． D．
17．(2005年高考·辽宁卷7)R定义运算等式意实数成立 （ C ）
A． B． C． D．
18．(2005年高考·辽宁卷10)已知定义R单调函数实数 （ A ）
A． B． C． D．
19．(2005年高考·辽宁卷12)定函数图象列图中意关系式数列满足该函数图象（ A ）
A B C D
20．(2005年高考·江西卷·理10文10)已知实数a b满足等式列五关系式
①0 中成立关系式 （ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．(2005年高考·江西卷·文4)函数定义域 （ A ）
A．（12）∪（23） B．
C．（13） D．[13]
22．(2005年高考·重庆卷·理3文3)函数定义R偶函数减函数x取值范围 （ D ）
A． B． C．D．（－22）
23．(2005年高考·重庆卷·文5)等式组解集 ( C )
A． B． C． D．
24．(2005年高考·江苏卷2)函数反函数解析表达式 ( A )
A． B．
C． D．
25．(2005年高考·浙江卷·理3)设f(x)＝f[f()]＝ ( B )
A． B． C．－ D．
26．(2005年高考·浙江卷·文4)设f(x)＝|x－1|－|x|f[f()]＝ ( D )
A．－ B．0 C． D． 1
27．(2005年高考·浙江卷·文9)函数y＝ax2＋1图象直线y＝x相切a＝ ( B )
A． B． C． D．1
28．(2005年高考·山东卷·理2文3)函数反函数图致（ B）







A． B． C． D．
29．(2005年高考·山东卷·理11)列等式定成立 （ A ）
A． B．
C．
D．
30．(2005年高考·山东卷·文2)列关系正确 （ C）
A． B．
C． D．
31．(2005年高考·天津卷·文2)已知 ( A )
A． 2b>2a>2c B．2a>2b>2c C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b
32．(2005年高考·天津卷·理9)设函数反函数成立x取值范围 （ A ）
A． B． C． D．
33．(2005年高考·天津卷·理10)函数区间单调递增a取值范围 （ B ）
A． B． C． D．
34．(2005年高考·天津卷·文9)函数区间恒f(x)>0f(x)单调递增区间 (　D)
A． B． C．(0+¥) D．
35．(2005年高考·天津卷·文10)设f(x)定义R6周期函数f(x)(03)单调递增yf(x)图象关直线x3称面正确结 (　B)
A． f(15)C． f(65)36．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理7)设二次函数图象列：a值 （ C ）
A．1 B．－1 C． D．
37．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理8文8)设函数取值范围（ B ）
A． B． C． D．
38．(2005年高考·全国卷Ⅰ·文7)反函数 （ C ）
A． B．
C． D．
39．(2005年高考·全国卷II·理3)函数反函数 （ B ）
A． B．
C． D．
40．(2005年高考·全国卷II·文3)函数反函数 （ B ）
A． B．
C． D．
41．(2005年高考·全国卷Ⅲ·理6文6) （ C ）
A．a42．(2005年高考·全国卷Ⅲ·文5)设 （ A ）
A．－2二填空题
1．(2005年春考·北京卷·理14)关等式解集实数取值范围__________关等式解集空集实数取值范围__________．文14仅前空
2 (2005年春考·海卷1)方程解集
3 (2005年春考·海卷4)函数反函数
4．(2005年高考·北京卷·理13文13)函数定义域中意结：
① ②
③ ④
时述结中正确结序号 ②③
5．(2005年高考·北京卷·文11)函数定义域
6．(2005年高考·海卷·理1文1)函数反函数__________
7．(2005年高考·海卷·理2文2)方程解__________ x0
8．(2005年高考·福建卷·理16文16)面完整命题补充完整成真命题：
函数图象图象关 称函数
（注：填认成真命题件情形必考虑情形） ①x轴－3－log2x ②y轴3+log2(－x) ③原点－3－log2(x) ④直线yx 2x－3
9．(2005年高考·广东卷11)函数定义域 {x|x<0}
10．(2005年高考·湖北卷·文13)函数定义域
11．(2005年高考·湖南卷·理14文14)设函数f(x)图象关点（12）称存反函数f－1(x)f (4)＝0f－1(4)＝　 　－2
12．(2005年高考·江西卷·理13文13)函数奇函数a
13．(2005年高考·江苏卷13)命题否命题_____________________
14．(2005年高考·江苏卷15)函数定义域_____________________
15．(2005年高考·江苏卷16)k ______________1
16．(2005年高考·江苏卷17)已知ab常数_________2
17．(2005年高考·浙江卷·理11文11)函数y＝(x∈Rx≠－2)反函数_________．
18．(2005年高考·天津卷·理16)设f(x)定义R奇函数yf (x)图象关直线称f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)________________ 0
19．(2005年高考·天津卷·文15)设函数函数定义域__________(21)È(12)
21．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理13文13)正整数m满足155

三解答题
1．（题满分12分）(2005年春考·北京卷·理15)
设函数定义域集合M函数定义域集合N．求：
（1）集合MN
（2）集合．
题考查集合基知识考查逻辑思维力运算力．满分12分．
解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

2．（题满分12分）(2005年春考·北京卷·文15)
记函数定义域集合M函数定义域集合N．求：
（1）集合MN
（2）集合．
题考查集合基知识考查逻辑思维力运算力．满分12分．
解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

3．（题满分14分）(2005年高考·广东卷19)
设函数闭区间[07]（Ⅰ）试判断函数奇偶性
（Ⅱ）试求方程闭区间[－20052005]根数证明结
解 (I)　闭区间[07]．奇函数矛盾．奇函数．

　知函数周期函数．
偶函数．．
意（37]函数图象关称区间[711）意均．前面结矛盾．
函数非奇非偶函数．
(II) 第(I)题解答知道区间（010）两解．函数周期函数．区间[－20002000]方程解．
区间[20002010]方程两解．

区间[20002005]方程两解．
区间[－2010－2000]方程两解．

区间[－2005－2000]方程解．
　　综述方程[－20052005]802解
(2005年高考·浙江卷·理16)已知函数f(x)g(x)图象关原点称f(x)＝x2＝2x．
(Ⅰ)求函数g(x)解析式
(Ⅱ)解等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

4．(2005年高考·浙江卷·理16文20)已知函数f(x)g(x)图象关原点称f(x)＝x2＋2x．
(Ⅰ)求函数g(x)解析式
(Ⅱ)解等式g(x)≥f(x)－|x－1|
(Ⅲ)(文20)h(x)＝g(x)－f(x)＋1[－11]增函数求实数取值范围．
解：(Ⅰ)设函数图象意点关原点称点

∵点函数图象
∴
(Ⅱ)
时时等式解
时解
原等式解集
（Ⅲ）(文20)
①

②
ⅰ）
ⅱ）

5．（题满分12分）(2005年高考·全国卷Ⅰ·文19)
已知二次函数二次项系数a等式解集（13）
（1）方程两相等根求解析式
（2）值正数求a取值范围
题考查二次函数方程根系数关系考查运数学知识解决问题力满分12分
解：（Ⅰ）
①
方程 ②
方程②两相等根

代入①解析式

（Ⅱ）

解
值正数时实数a取值范围
6．（题满分12分）(2005年高考·全国卷II·理17)
设函数取值范围
题考查指数函数性质等式性质解法考查分析问题力计算力满分12分
解：增函数等价　　　　①
（1） 时①式恒成立
（2） 时①式化
（3） 时①式解
综取值范围







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