专题18 直角三角形
阅读思考代数角度考察方程正整数解古希腊找方程全部整数解：
中然数奇偶
17世纪法国数学家提出猜想：时方程正整数解
1994年美国普林斯顿学教授维尔斯证明费尔马猜想
直角三角形类特殊三角形丰富性质：
角关系：两锐角互余
边关系：斜边方等两直角边方
边角关系：直角边等斜边半
性质广泛应线段计算证明线段倍分关系证明线段方关系等方面
现阶段勾股定理求线段长度方法图形缺少条件直角条件通作辅助垂线方法构造直角三角形勾股定理应创造必条件运勾股定理逆定理通代数方法计算证明两直线垂直种方法
熟悉基图形基结：
例题求解
例l（1）直角△ABC三边长分5△ABC周长＝_____________△ABC面积＝_____________
（2）图已知Rt△ABC两直角边AC＝5BC＝12DBC点AD∠A分线时CD＝_____________
（太原市竞赛试题）
解题思路：（1）应分类讨（2）Rt△ACD中求出CD？角分线性质入手
例2图示方格纸中点ABC方格线交点∠ACB＝（ ）
A120° B135° C150° D165°
（希杯邀请赛试题）
解题思路：方格纸许隐含条件解例基础
例3图P△ABC边BC点PC＝2PB已知∠ABC＝45°∠APC＝60°求∠ACB度数
（祖杯邀请赛试题）
解题思路：简单角关系推出∠ACB度数综合运条件PC＝2PB∠APC＝60°构造出含30°直角三角形解例关键
例4图△ABC中∠C＝90°∠A＝30°分ABAC边△ABC外侧作等边△ABE等边△ACDDEAB交F求证：EF＝FD
（海市竞赛试题）
解题思路：已知FDRt△FAD斜边需作辅助线构造EF斜边直角三角形通全等三角形证明
例5证明含线段方间（差）关系时常常联想勾股定理图中缺少直角条件通作辅助线构造直角三角形
图四边形ABCD中∠ABC＝30°∠ADC＝60°AD＝CD求证：
（北京市竞赛试题）
解题思路：证结易联想勾股定理三条线段构成直角三角形应设法三条线段集中三角形中
例6运勾股定理时常常进行变形运法公式整数方程知识综合求解
斯特瓦尔特定理：
图设D△ABC边BC意点abc△ABC三边长请证明结成立
解题思路：题充分体现勾股定理运中数形结合思想
力训练
A级
1情况需线段数量关系判断线段垂直位置关系熟悉常勾股数组
图D△ABC边BC点已知AB＝13AD＝12AC＝15BD＝5BC＝_____________
2图Rt△ABC中∠C＝90°BE分∠ABC交ACEDE斜边AB垂直分线DE＝1cmAC＝_____________cm
3图四边形ABCD中已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1∠B＝90°∠DAB＝_____________
（海市竞赛试题）
4图△ABC中AB＝5AC＝13边BC中线AD＝6BC长_____________
（湖北省预赛试题）
5果三角形条边条边2倍角30 º三角形形状（ ）
A直角三角形 B 钝角三角形 C 锐角三角形 D确定
（山东省竞赛试题）
6图正方形边长1连结正方形三顶点△ABCAC边高（ ）
A B C D
（福州市中考试题）
7图长25分米梯子斜立竖直墙时梯足距墙底端7分米果梯子顶端墙滑4分米梯足滑（ ）
A 15分米 B 9分米 C 8分米 D 5分米
8图四边形ABCD中∠B＝∠D＝90°∠A＝60°AB＝4AD＝5等（ ）
A1 B 2 C D
9 图△ABC中AB＝BC＝CAAE＝CDADBE相交PBQ⊥ADQ求证：BP＝2PQ
（北京市竞赛试题）
10 图△ABC中AB＝AC
（1）PBC边中点连结AP求证：
（2）PBC边意点面结成立？成立请证明成立请说明理
（3）PBC边延长线点线段ABAPBPCP间什样关系？请证明结
11图直线OB次函数图象点A坐标（02）直线OB
找点C△ACO等腰三角形求点C坐标
12已知：图矩形ABCD角线BD折叠点C落处交ADEAD＝8AB＝4求△BED面积
（山西省中考试题）
B级
1△ABC三边abc满足条件：三角形长边高_____________
2图等腰Rt△ABC中∠A＝90°P△ABC点PA＝1PB＝3PC＝∠CPA＝_____________
3 △ABC中AB＝15AC＝13高AD＝12△ABC周长_____________
4图Rt△ABC中∠ACB＝90°CD⊥ABDAF分∠CAB交CDE交CBFEG∥AB交CBGCFGB关系（ ）
A CF＞GB B CF＝GB C CF＜GB D 法确定
5 △ABC中∠B钝角AB＝6CB＝8AD范围（ ）
A 8＜AC＜10 B 8＜AC＜14 C 2＜AC＜14 D 10＜AC＜14
（江苏省竞赛试题）
6满足两条直角边长均整数周长恰等面积整数倍直角三角形数（ ）
A 1 B 2 C 3 D4
（浙江省竞赛试题）
7图△ABC等腰直角三角形AB＝ACD斜边BC中点EF分ABAC边点DE⊥DFBE＝12CF＝5求△DEF面积
（四川省联赛试题）
8图Rt△ABC中∠A＝90°D斜边BC中点DE⊥DF求证：
（江苏省竞赛试题）
9探索性试题指问题中题设条件结完整深入探讨余存型命题探索定条件判断研究象否存
周长6面积整数直角三角形否存？存请出证明存请证明
（全国联赛试题）
10图△ABC中∠BAC＝45°AD⊥BCDBD＝3CD＝2求△ABC面积
（天津市竞赛试题）
11图△ABC中∠BAC＝90°AB＝ACEF分BC两点∠EAF＝45°试推断BECFEF间数量关系说明理
12已知Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC∠MCN＝45°
（1）图1MNAB时求证：
（2）图2∠MCN绕点C旋转MBA延长线时述结否成立？成立请证明成立请说明理
（天津市中考试题）
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阅读思考代数角度考察方程正整数解古希腊找方程全部整数解：
中然数奇偶
17世纪法国数学家提出猜想：时方程正整数解
1994年美国普林斯顿学教授维尔斯证明费尔马猜想
直角三角形类特殊三角形丰富性质：
角关系：两锐角互余
边关系：斜边方等两直角边方
边角关系：直角边等斜边半
性质广泛应线段计算证明线段倍分关系证明线段方关系等方面
现阶段勾股定理求线段长度方法图形缺少条件直角条件通作辅助垂线方法构造直角三角形勾股定理应创造必条件运勾股定理逆定理通代数方法计算证明两直线垂直种方法
熟悉基图形基结：
例题求解
例l（1）直角△ABC三边长分5△ABC周长＝_____________△ABC面积＝_____________
（2）图已知Rt△ABC两直角边AC＝5BC＝12DBC点AD∠A分线时CD＝_____________
（太原市竞赛试题）
解题思路：（1）应分类讨（2）Rt△ACD中求出CD？角分线性质入手
例2图示方格纸中点ABC方格线交点∠ACB＝（ ）
A120° B135° C150° D165°
（希杯邀请赛试题）
解题思路：方格纸许隐含条件解例基础
例3图P△ABC边BC点PC＝2PB已知∠ABC＝45°∠APC＝60°求∠ACB度数
（祖杯邀请赛试题）
解题思路：简单角关系推出∠ACB度数综合运条件PC＝2PB∠APC＝60°构造出含30°直角三角形解例关键
例4图△ABC中∠C＝90°∠A＝30°分ABAC边△ABC外侧作等边△ABE等边△ACDDEAB交F求证：EF＝FD
（海市竞赛试题）
解题思路：已知FDRt△FAD斜边需作辅助线构造EF斜边直角三角形通全等三角形证明
例5证明含线段方间（差）关系时常常联想勾股定理图中缺少直角条件通作辅助线构造直角三角形
图四边形ABCD中∠ABC＝30°∠ADC＝60°AD＝CD求证：
（北京市竞赛试题）
解题思路：证结易联想勾股定理三条线段构成直角三角形应设法三条线段集中三角形中
例6运勾股定理时常常进行变形运法公式整数方程知识综合求解
斯特瓦尔特定理：
图设D△ABC边BC意点abc△ABC三边长请证明结成立
解题思路：题充分体现勾股定理运中数形结合思想
力训练
A级
1情况需线段数量关系判断线段垂直位置关系熟悉常勾股数组
图D△ABC边BC点已知AB＝13AD＝12AC＝15BD＝5BC＝_____________
2图Rt△ABC中∠C＝90°BE分∠ABC交ACEDE斜边AB垂直分线DE＝1cmAC＝_____________cm
3图四边形ABCD中已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1∠B＝90°∠DAB＝_____________
（海市竞赛试题）
4图△ABC中AB＝5AC＝13边BC中线AD＝6BC长_____________
（湖北省预赛试题）
5果三角形条边条边2倍角30 º三角形形状（ ）
A直角三角形 B 钝角三角形 C 锐角三角形 D确定
（山东省竞赛试题）
6图正方形边长1连结正方形三顶点△ABCAC边高（ ）
A B C D
（福州市中考试题）
7图长25分米梯子斜立竖直墙时梯足距墙底端7分米果梯子顶端墙滑4分米梯足滑（ ）
A 15分米 B 9分米 C 8分米 D 5分米
8图四边形ABCD中∠B＝∠D＝90°∠A＝60°AB＝4AD＝5等（ ）
A1 B 2 C D
9 图△ABC中AB＝BC＝CAAE＝CDADBE相交PBQ⊥ADQ求证：BP＝2PQ
（北京市竞赛试题）
10 图△ABC中AB＝AC
（1）PBC边中点连结AP求证：
（2）PBC边意点面结成立？成立请证明成立请说明理
（3）PBC边延长线点线段ABAPBPCP间什样关系？请证明结
11图直线OB次函数图象点A坐标（02）直线OB
找点C△ACO等腰三角形求点C坐标
12已知：图矩形ABCD角线BD折叠点C落处交ADEAD＝8AB＝4求△BED面积
（山西省中考试题）
B级
1△ABC三边abc满足条件：三角形长边高_____________
2图等腰Rt△ABC中∠A＝90°P△ABC点PA＝1PB＝3PC＝∠CPA＝_____________
3 △ABC中AB＝15AC＝13高AD＝12△ABC周长_____________
4图Rt△ABC中∠ACB＝90°CD⊥ABDAF分∠CAB交CDE交CBFEG∥AB交CBGCFGB关系（ ）
A CF＞GB B CF＝GB C CF＜GB D 法确定
5 △ABC中∠B钝角AB＝6CB＝8AD范围（ ）
A 8＜AC＜10 B 8＜AC＜14 C 2＜AC＜14 D 10＜AC＜14
（江苏省竞赛试题）
6满足两条直角边长均整数周长恰等面积整数倍直角三角形数（ ）
A 1 B 2 C 3 D4
（浙江省竞赛试题）
7图△ABC等腰直角三角形AB＝ACD斜边BC中点EF分ABAC边点DE⊥DFBE＝12CF＝5求△DEF面积
（四川省联赛试题）
8图Rt△ABC中∠A＝90°D斜边BC中点DE⊥DF求证：
（江苏省竞赛试题）
9探索性试题指问题中题设条件结完整深入探讨余存型命题探索定条件判断研究象否存
周长6面积整数直角三角形否存？存请出证明存请证明
（全国联赛试题）
10图△ABC中∠BAC＝45°AD⊥BCDBD＝3CD＝2求△ABC面积
（天津市竞赛试题）
11图△ABC中∠BAC＝90°AB＝ACEF分BC两点∠EAF＝45°试推断BECFEF间数量关系说明理
12已知Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC∠MCN＝45°
（1）图1MNAB时求证：
（2）图2∠MCN绕点C旋转MBA延长线时述结否成立？成立请证明成立请说明理
（天津市中考试题）
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