海初数学绝值难题解析
灵活应绝值基性质：
（1）|a|≥0（2）|ab|＝|a|·|b|（3）|ab|＝|a||b|(b≠0)
（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|
思考：|a＋b|＝|a|＋|b|什条件成立？
|a－b|＝|a|－|b|什条件成立？
常解题方法：
（1）化简绝值：分类讨思想（取绝值数非负数负数两种情况）
（2）运绝值意义：数形结合思想绝值值问题等
（3）零点分段法：求零点分段区段化简综合
第类：考察绝值代数意义理解分类讨思想运
1数轴表示ab两数点图示已知表示c点原点左侧请化简列式子：
（1）|a－b|－|c－b|
（2）|a－c|－|a＋c|
2 设x＜－1化简2－|2－|x－2||
3设3＜a＜4化简|a－3|＋|a－6|
4 已知|a－b|＝a＋b说法：（1）a定负数（2）b负数正确？
第二类：考察绝值基性质运
5 已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0求x＋y＋2012值？
6设ab时满足：
(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1 (2) |a－4|＝0 ab等少？
7设abc非零理数|a|＋a＝0|ab|＝ab|c|－c＝0
请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c|
8满足|a－b|＋ab＝1非负整数（ab）？
9已知abcd理数|a－b|≤9|c－d|≤16|a－b－c＋d|＝25
求|b－a|－|d－c|值？
第三类：绝值化简运零点分段法分类讨
种分类讨化简方法做零点分段法步骤：求零点分段区段化简综合
10根材料解决列问题：
（1） 化简：2|x－2|－|x＋4|
（2） 求|x－1|－4|x＋1|值
112x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4值恒常数常数值少？
答案
1(1) 解：∵a＜0b＞0 ∴a－b＜0
c＜0b＞0 ∴c－b＜0
原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a
(2) 解：∵a＜0c＜0 ∴a－c分类讨a＋c＜0
a－c≥0时a≥c原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a
a－c＜0时a＜c原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c
2解：∵x＜－1 ∴x－2＜0
原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x
3 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0a－6＜0
原式＝（a－3）－(a－6) ＝3
4 答：a－b≥0时a≥b|a－b|＝a－b已知|a－b|＝a＋ba－b＝a＋b
解b＝0时a≥0
a－b＜0时a＜b|a－b|＝b－a已知|a－b|＝a＋bb－a＝a＋b
解a＝0时b＞0
综述（1）正确
5 解：∵|x－1|≥0|y＋1|≥0 ∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0
∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0∴|x－1|＝0 |y＋1|＝0
∴x＝1y＝－1原式＝1－1＋2012＝2012
6．解：∵|a－2b|≥0|b－1|≥0 ∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0
∴ （1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1 |a－2b|＝0a＝2b
∵ |a－4|＝0 ∴a－4＝0a＝4
∵ a＝2b ∴ b＝2 ab＝4×2＝8
7 解：∵|a|＋a＝0a≠0 ∴a＜0
∵|ab|＝ab≥0 b≠0a＜0 ∴b＜0a＋b＜0
∵|c|－c＝0c≠0 ∴c＞0 c－b＞0a－c＜0
∴原式＝b＋（a＋b）－（c－b）＋c－a＝b
8 解：∵ab非负整数 ∴|a－b|非负整数ab非负整数
∴满足|a－b|＋ab＝1必须|a－b|＝1ab＝0 者|a－b|＝0ab＝1
分类讨：
|a－b|＝1ab＝0时a＝0b＝1 者 a＝1b＝0 两（ab）取值
|a－b|＝0ab＝1时a＝1b＝1（ab）取值
综述（ab）3取值满足题意
9 分析：题手果a－bc－d分作整体运绝值基性质：|x－y|≤|x|＋|y|快速解出
解：设x＝a－by＝c－d|a－b－c＋d|＝|xy|≤|x|＋|y|
∵|x|≤9|y|≤16 ∴|x|＋|y|≤25 |xy|≤|x|＋|y|≤25
∵已知|xy|＝25 ∴|x|＝9|y|＝16
∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7
10（1）解：（1）令x－2＝0x＋4＝0分求零点值：x＝2x＝4分区段讨：
x≤4时原式＝－2（x－2）＋（x＋4）＝－x＋8
4＜x≤2时原式＝－2（x－2）－（x＋4）＝－3x
x＞2时原式＝2（x－2）－（x＋4）＝x－8
（2）2） 零点分段法代数式简化然取值范围求出值加
较中选出值
令x－1＝0x＋1＝0分求零点值：x＝1x＝1分区段讨：
x≤1时原式＝－（x－1）＋4（x＋1）＝3x＋5 x1时取值等2
1＜x≤1时原式＝－（x－1）－4（x＋1）＝－5x－3时值
x＞1时原式＝（x－1）－4（x＋1）＝－3x＋3时值
综讨x1时原式取值等2
11 解：知道互相反数两数绝值相等利条性质绝值带x项符号负号变成正号便区段判断正负关系
原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4
令5x－4＝03x－1＝0分求零点值：x＝45 x＝13分区段讨：
x≤13时原式＝2x－（5x－4）－（3x－1）＋4＝－6x＋9时恒值
13＜x≤45时原式＝2x－（5x－4）＋（3x－1）＋4＝7时恒常数7
x＞45时原式＝2x＋（5x－4）＋（3x－1）＋4＝10x－1时恒值
综述原式恒常数常数等7
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灵活应绝值基性质：
（1）|a|≥0（2）|ab|＝|a|·|b|（3）|ab|＝|a||b|(b≠0)
（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|
思考：|a＋b|＝|a|＋|b|什条件成立？
|a－b|＝|a|－|b|什条件成立？
常解题方法：
（1）化简绝值：分类讨思想（取绝值数非负数负数两种情况）
（2）运绝值意义：数形结合思想绝值值问题等
（3）零点分段法：求零点分段区段化简综合
第类：考察绝值代数意义理解分类讨思想运
1数轴表示ab两数点图示已知表示c点原点左侧请化简列式子：
（1）|a－b|－|c－b|
（2）|a－c|－|a＋c|
2 设x＜－1化简2－|2－|x－2||
3设3＜a＜4化简|a－3|＋|a－6|
4 已知|a－b|＝a＋b说法：（1）a定负数（2）b负数正确？
第二类：考察绝值基性质运
5 已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0求x＋y＋2012值？
6设ab时满足：
(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1 (2) |a－4|＝0 ab等少？
7设abc非零理数|a|＋a＝0|ab|＝ab|c|－c＝0
请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c|
8满足|a－b|＋ab＝1非负整数（ab）？
9已知abcd理数|a－b|≤9|c－d|≤16|a－b－c＋d|＝25
求|b－a|－|d－c|值？
第三类：绝值化简运零点分段法分类讨
种分类讨化简方法做零点分段法步骤：求零点分段区段化简综合
10根材料解决列问题：
（1） 化简：2|x－2|－|x＋4|
（2） 求|x－1|－4|x＋1|值
112x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4值恒常数常数值少？
答案
1(1) 解：∵a＜0b＞0 ∴a－b＜0
c＜0b＞0 ∴c－b＜0
原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a
(2) 解：∵a＜0c＜0 ∴a－c分类讨a＋c＜0
a－c≥0时a≥c原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a
a－c＜0时a＜c原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c
2解：∵x＜－1 ∴x－2＜0
原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x
3 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0a－6＜0
原式＝（a－3）－(a－6) ＝3
4 答：a－b≥0时a≥b|a－b|＝a－b已知|a－b|＝a＋ba－b＝a＋b
解b＝0时a≥0
a－b＜0时a＜b|a－b|＝b－a已知|a－b|＝a＋bb－a＝a＋b
解a＝0时b＞0
综述（1）正确
5 解：∵|x－1|≥0|y＋1|≥0 ∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0
∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0∴|x－1|＝0 |y＋1|＝0
∴x＝1y＝－1原式＝1－1＋2012＝2012
6．解：∵|a－2b|≥0|b－1|≥0 ∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0
∴ （1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1 |a－2b|＝0a＝2b
∵ |a－4|＝0 ∴a－4＝0a＝4
∵ a＝2b ∴ b＝2 ab＝4×2＝8
7 解：∵|a|＋a＝0a≠0 ∴a＜0
∵|ab|＝ab≥0 b≠0a＜0 ∴b＜0a＋b＜0
∵|c|－c＝0c≠0 ∴c＞0 c－b＞0a－c＜0
∴原式＝b＋（a＋b）－（c－b）＋c－a＝b
8 解：∵ab非负整数 ∴|a－b|非负整数ab非负整数
∴满足|a－b|＋ab＝1必须|a－b|＝1ab＝0 者|a－b|＝0ab＝1
分类讨：
|a－b|＝1ab＝0时a＝0b＝1 者 a＝1b＝0 两（ab）取值
|a－b|＝0ab＝1时a＝1b＝1（ab）取值
综述（ab）3取值满足题意
9 分析：题手果a－bc－d分作整体运绝值基性质：|x－y|≤|x|＋|y|快速解出
解：设x＝a－by＝c－d|a－b－c＋d|＝|xy|≤|x|＋|y|
∵|x|≤9|y|≤16 ∴|x|＋|y|≤25 |xy|≤|x|＋|y|≤25
∵已知|xy|＝25 ∴|x|＝9|y|＝16
∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7
10（1）解：（1）令x－2＝0x＋4＝0分求零点值：x＝2x＝4分区段讨：
x≤4时原式＝－2（x－2）＋（x＋4）＝－x＋8
4＜x≤2时原式＝－2（x－2）－（x＋4）＝－3x
x＞2时原式＝2（x－2）－（x＋4）＝x－8
（2）2） 零点分段法代数式简化然取值范围求出值加
较中选出值
令x－1＝0x＋1＝0分求零点值：x＝1x＝1分区段讨：
x≤1时原式＝－（x－1）＋4（x＋1）＝3x＋5 x1时取值等2
1＜x≤1时原式＝－（x－1）－4（x＋1）＝－5x－3时值
x＞1时原式＝（x－1）－4（x＋1）＝－3x＋3时值
综讨x1时原式取值等2
11 解：知道互相反数两数绝值相等利条性质绝值带x项符号负号变成正号便区段判断正负关系
原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4
令5x－4＝03x－1＝0分求零点值：x＝45 x＝13分区段讨：
x≤13时原式＝2x－（5x－4）－（3x－1）＋4＝－6x＋9时恒值
13＜x≤45时原式＝2x－（5x－4）＋（3x－1）＋4＝7时恒常数7
x＞45时原式＝2x＋（5x－4）＋（3x－1）＋4＝10x－1时恒值
综述原式恒常数常数等7
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