§34二次函数
复目标
1．二次函数定义：形〔a≠0abc常数〕函数二次函数．
2．二次函数图象性质：
〔1〕二次函数图象条抛物线．顶点〔－〕称轴x－a＞0时抛物线开口图象低点x＞－yx增增x＜－yx增减a＜0时抛物线开口图象高点x＞－yx增减x＜－yx增增．
〔2〕a＞0时x－时函数值a＜0时x －时函数值
3．图象移：二次函数yax2 (a≠0〕图象进行移ya(x－h)2＋k图象．
yax2图象左〔h<0〕右(h＞0〕移|h|单位(k>0)(k<0)移|k|单位ya(x－h)2 +k图象顶点〔hk〕称轴直线xh形状开口方抛物线yax2相．
4 二次函数图象系数关系：
(1) a符号：a符号抛物线开口方决定．抛物线开口a＞0物线开口a＜0．
〔2〕b符号出符号称轴决定假设称轴y轴b0假设称轴y轴左侧－＜0＞0ab号假设称轴y轴右侧－＞0＜0．ab异号．左右异〞．
〔3〕c符号：c符号抛物线y轴交点位置确定．假设抛物线交y轴正半轴
c＞0抛物线交y轴负半轴．c＜0假设抛物线原点c0．
〔4〕△符号：△符号抛物线x轴交点数决定．假设抛物线x轴交点△0两交点△＞0没交点△＜0 ．
5．二次函数表达式求法：
⑴假设抛物线三点坐标利定系数法求
⑵假设抛物线顶点坐标称轴方程采顶点式：中顶点(hk)称轴直线xh
⑶假设抛物线x轴交点坐标采交点式：中x轴交点坐标〔x10〕〔x20〕
6．二次函数元二次方程关系：
〔1〕元二次方程二次函数函数y值0时情况．
〔2〕二次函数图象x轴交点三种情况：两交点交点没交点二次函数图象x轴交点时交点横坐标y0时变量x值元二次方程ax2＋bx＋c0根．
〔3〕二次函数图象 x轴两交点时元二次方程两相等实数根二次函数图象x轴交点时元二次方程ax2＋bx＋c＝0两相等实数根二次函数y＝ax2+ bx+c图象 x轴没交点时元二次方程没实数根．
典例精析
例1(1) 抛物线 局部图象图
次x轴相交时坐标〔 〕
A．〔50〕 B〔60〕
C．〔70〕 D〔80〕
〔2〕二次函数图象图abc满足〔 〕
A．a＜0b＜0c＞0 B．a＜0b＜0c＜0
C．a＜0b＞0c＞0 D．a＞0b＜0c＞0
分析〔1〕知称轴x4图象x轴已交(10)x轴交点(70)
〔2〕抛物线开口知a＜0y轴交正半轴知c＞0抛物线称轴y轴左侧知－ ＜0．b＜0．应选A．
解答〔1〕C 〔2〕A
例2〔2006宁波〕图抛物线x轴相交B〔10〕C〔30〕点A〔36〕
（1） 求abc值
（2） 设抛物线顶点P称轴线段AC相交点Q连结CPPBBQ试求四边形PBQC面积
分析题第〔1〕题考察定系数法求抛物线解析式结合条件考虑交点式第〔2〕题关键求出Q点坐标称轴线段AC交点先求出直线AC解析式
解答〔1〕题意设：
点A〔36〕坐标代入
（2） 顶点P坐标〔12〕称轴直线
直线AC解析式
称轴线段AC交点Q坐标〔12〕
设称轴x轴相交点D：DPDBDQDC2
四边形PBQC面积8
例3≠0抛物线移1单位左移5单位新抛物线顶点〔－20〕求原抛物线解析式
分析①知：原抛物线图点〔10〕②新抛物线右移5单位移1单位原抛物线
解答设新抛物线解析式原抛物线解析式易知原抛物线点〔10〕
∴解
∴原抛物线解析式：
例4图抛物线型拱桥水位AB位置时水面宽米水位升3米达警戒水位线CD时水面宽米假设洪水时水位时025米速度升求水警戒线时淹拱桥顶？
分析题关键建立适宜直角坐标系
解答AB直线轴AB中点原点建立直角坐标系抛物线顶点M轴A〔0〕B〔0〕C〔3〕D〔3〕设抛物线解析式代入D点顶点M〔06〕〔时〕
例5已抛物线〔实数〕
〔1〕值时抛物线轴两交点？
〔2〕果抛物线轴相交AB两点轴交点C△ABC面积2求该抛物线解析式
分析抛物线轴两交点应元二次方程两相等实数根问题转化求元二次方程两相等实数根应满足条件
解答〔1〕解
〔2〕C〔0－1〕
∵
∴
∴
∴
课稳固
1 〔2006安〕抛物线y3(x1)+1顶点坐标〔 〕
A．〔11〕 B．〔11〕 C．〔11〕 D．〔11〕
2．直线yx二次函数yax2 －2x－1图象交点 M横标1a值〔 〕
A2 B1 C3 D 4
3．二次函数图右移3单位移2单位函数图解析式分等〔 〕
A64 B－814
C46 D－8－14
4．〔2006湖州〕二次函数yx2－bx+1〔－1≤b≤1〕b－1逐渐变化1程中应抛物线位置变动关抛物线移动方描述中正确选项〔 〕
A先左方移动左方移动
B先左方移动左方移动
C先右方移动右方移动
D先右方移动右方移动
5．〔2006诸暨〕抛物线yax2+2ax+a2+2局部图该抛
物线y轴右侧x轴交点坐标 ( )
A．〔0〕 B．〔1 0〕
C．〔2 0〕 D．〔3 0〕
6．函数图象图出关系数abc等式：①a＜0②b＜0③c＞0④2a＋b ＜0⑤a＋b＋c＞0．中正确等式序号___________
7．二次函数图象图：
〔1〕二次函数解析式y__________．
〔2〕x_______时y3
〔3〕根图象答复：x______时y＞0．
8．某公司推出种高效环保型洗涤品年初市公司历亏损盈利程面二次函数图象〔局部〕刻画该公司年初累积利润S〔万元〕销售时间〔月〕间关系〔前月利润总S间关系〕根图象提供信息解答问题：
〔1〕图象三点坐标求累积利润S〔万元〕时间〔月〕间函数关系式
〔2〕求截止月末公司累积利润达30万元
〔3〕求第8月公司获利润少万元？
9．四边形DEFH△ABC接矩形AMBC边高长8厘米BC长12厘米DE长x矩形面积y请写出yx间函数关系式判断关x二次函数
课外拓展
A组
1 〔2006舟山〕二次函数yx2+10x5值〔 〕．
A．35 B．30 C．5 D．20
2 〔2006绍兴〕敏某次投篮中球运动路线抛物线y局部(图)假设命中篮圈中心篮底距离( )
A．35m B．4m C．45m D．46m
3 函数y x2－4图象y 轴交点坐标〔 〕
A〔20〕 B〔－20〕 C〔04〕D〔0－4〕
4〔2006苏州〕抛物线y＝2x2+4x+5称轴x_________ ．
5〔2006浙江〕图二次函数图象开口图点〔12〕〔10〕y轴交负半轴．
〔1〕出四结：①＞0②＞0③＞0 ④a+b+c0 中正确结序号 ．
〔２〕出四结：①abc＜0②2a+＞0③a+c1 ④a＞1．中正确结序号
6 二次函数图象开口y轴正半轴相交请写出满足条件二次函数解析式：_______________
7 假设抛物线低点轴值
8抛物线三点〔－1－1〕〔0－2〕〔1l〕．
〔1〕求条抛物线应二次函数表达式
〔2〕写出开口方称轴顶点坐标
〔3〕函数值值？ 值少？
9．(2006盐城)：抛物线yx2+4x3x轴相交AB两点(A点B点左侧)顶点P．
(1)求ABP三点坐标
(2) 图直角坐标系画出抛物线简图根简图写出x取值时函数值y零
(3)确定抛物线直线y2x+6公点数说明理
10〔2005枣庄〕抛物线图象局部图抛物线顶点第象限点A(07)点B
(1)求a取值范围
(2)假设OA2OB求抛物线解析式．
B组
11．〔2005常州〕抛物线局部图象图抛物线称轴直线x 满足y＜0时x取值范围 抛物线
移 单位抛物线
12．〔2006连〕图二次函数y1＝ax2＋bx＋c次函数y2＝mx＋n图象观察图象写出y2≥y1时x取值范围______________
13．阅读材料：抛物线解析式中含字母系数时着系数中字母取值抛物线顶点坐标发生变化．
例：抛物线①y②抛物线顶点坐标〔m2m－1〕m值变化时xy值变化y值x值变化变化③代④y2x—1⑤．见m取实数抛物线顶点坐标y横坐标x满足关系式y2x－1答复问题：〔1〕述程中①②数学方法________中运_________公式③④⑤数学方法______〔2〕根阅读材料提供方法确定抛物线顶点坐标横坐标x间关系式_________
14．〔2006台州〕图抛物线yax2+4ax+t〔a＞0〕交x轴AB两点交y轴点C点B坐标〔－10〕
〔1〕求抛物线称轴点A坐标
〔2〕点C作x轴行线交抛物线称轴点P判断四边形ABCP什四边形？请证明结
x
y
〔3〕连结ACBP假设AC⊥BP试求抛物线解析式
15．〔2006连〕图抛物线E：y＝x2＋4x＋3交x轴AB两点交y轴M点抛物线E关y轴称抛物线F交x轴CD两点
〔1〕求F解析式
〔2〕x轴方抛物线FE否存点NACNM顶点四边形行四边形假设存求点N坐标假设存请说明理
〔3〕假设抛物线E解析式改y＝ax2＋bx＋c 试探索问题〔2〕
16．〔2006嘉兴〕某旅游胜欲开发座景观山．山侧面进行堪测迎面山坡线ABC面两段抛物线组成中AB抛物线A顶点开口BC抛物线C顶点开口．山脚〔点C〕水线x轴山顶〔点A〕铅垂线y轴建立面直角坐标系图〔单位：百米〕．AB抛物线解析式y＝－x2＋8BC抛物线解析式y＝(x－8)2B〔m4〕．
〔1〕设P〔xy〕山坡线AB意点y表示x求点B坐标
〔2〕山顶开始迎面山坡山铺设观景台阶．种台阶级高度20厘米长度坡度定20厘米级台阶两端点坡面〔见图〕．
①分求出前三级台阶长度〔精确厘米〕
②种台阶起铺山脚什？
〔3〕山坡700米高度〔点D〕处恰块建造索道站．索道站起点选择山脚水线点E处OE＝1600〔米〕．假设索道DE似成段E顶点开口抛物线解析式y＝(x－16)2．试求索道悬空高度．
反思纠错
1． 图长24米篱笆面利墙〔墙利长度a10米〕围成中间隔道篱笆长方形花圃设花圃宽AB米面积方米
（1） 求函数关系式
（2） 果围成面积45方米花圃AB长少米？
（3） 围成面积45方米更花圃？果请求出面积说明围法果请说明理
解：〔1〕花圃宽米长米面积函数关系式
〔2〕 时
AB长3米5米时花圃面积45方米
〔3〕
围成面积45方米更花圃面积48方米
述解法正确？什？
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复目标
1．二次函数定义：形〔a≠0abc常数〕函数二次函数．
2．二次函数图象性质：
〔1〕二次函数图象条抛物线．顶点〔－〕称轴x－a＞0时抛物线开口图象低点x＞－yx增增x＜－yx增减a＜0时抛物线开口图象高点x＞－yx增减x＜－yx增增．
〔2〕a＞0时x－时函数值a＜0时x －时函数值
3．图象移：二次函数yax2 (a≠0〕图象进行移ya(x－h)2＋k图象．
yax2图象左〔h<0〕右(h＞0〕移|h|单位(k>0)(k<0)移|k|单位ya(x－h)2 +k图象顶点〔hk〕称轴直线xh形状开口方抛物线yax2相．
4 二次函数图象系数关系：
(1) a符号：a符号抛物线开口方决定．抛物线开口a＞0物线开口a＜0．
〔2〕b符号出符号称轴决定假设称轴y轴b0假设称轴y轴左侧－＜0＞0ab号假设称轴y轴右侧－＞0＜0．ab异号．左右异〞．
〔3〕c符号：c符号抛物线y轴交点位置确定．假设抛物线交y轴正半轴
c＞0抛物线交y轴负半轴．c＜0假设抛物线原点c0．
〔4〕△符号：△符号抛物线x轴交点数决定．假设抛物线x轴交点△0两交点△＞0没交点△＜0 ．
5．二次函数表达式求法：
⑴假设抛物线三点坐标利定系数法求
⑵假设抛物线顶点坐标称轴方程采顶点式：中顶点(hk)称轴直线xh
⑶假设抛物线x轴交点坐标采交点式：中x轴交点坐标〔x10〕〔x20〕
6．二次函数元二次方程关系：
〔1〕元二次方程二次函数函数y值0时情况．
〔2〕二次函数图象x轴交点三种情况：两交点交点没交点二次函数图象x轴交点时交点横坐标y0时变量x值元二次方程ax2＋bx＋c0根．
〔3〕二次函数图象 x轴两交点时元二次方程两相等实数根二次函数图象x轴交点时元二次方程ax2＋bx＋c＝0两相等实数根二次函数y＝ax2+ bx+c图象 x轴没交点时元二次方程没实数根．
典例精析
例1(1) 抛物线 局部图象图
次x轴相交时坐标〔 〕
A．〔50〕 B〔60〕
C．〔70〕 D〔80〕
〔2〕二次函数图象图abc满足〔 〕
A．a＜0b＜0c＞0 B．a＜0b＜0c＜0
C．a＜0b＞0c＞0 D．a＞0b＜0c＞0
分析〔1〕知称轴x4图象x轴已交(10)x轴交点(70)
〔2〕抛物线开口知a＜0y轴交正半轴知c＞0抛物线称轴y轴左侧知－ ＜0．b＜0．应选A．
解答〔1〕C 〔2〕A
例2〔2006宁波〕图抛物线x轴相交B〔10〕C〔30〕点A〔36〕
（1） 求abc值
（2） 设抛物线顶点P称轴线段AC相交点Q连结CPPBBQ试求四边形PBQC面积
分析题第〔1〕题考察定系数法求抛物线解析式结合条件考虑交点式第〔2〕题关键求出Q点坐标称轴线段AC交点先求出直线AC解析式
解答〔1〕题意设：
点A〔36〕坐标代入
（2） 顶点P坐标〔12〕称轴直线
直线AC解析式
称轴线段AC交点Q坐标〔12〕
设称轴x轴相交点D：DPDBDQDC2
四边形PBQC面积8
例3≠0抛物线移1单位左移5单位新抛物线顶点〔－20〕求原抛物线解析式
分析①知：原抛物线图点〔10〕②新抛物线右移5单位移1单位原抛物线
解答设新抛物线解析式原抛物线解析式易知原抛物线点〔10〕
∴解
∴原抛物线解析式：
例4图抛物线型拱桥水位AB位置时水面宽米水位升3米达警戒水位线CD时水面宽米假设洪水时水位时025米速度升求水警戒线时淹拱桥顶？
分析题关键建立适宜直角坐标系
解答AB直线轴AB中点原点建立直角坐标系抛物线顶点M轴A〔0〕B〔0〕C〔3〕D〔3〕设抛物线解析式代入D点顶点M〔06〕〔时〕
例5已抛物线〔实数〕
〔1〕值时抛物线轴两交点？
〔2〕果抛物线轴相交AB两点轴交点C△ABC面积2求该抛物线解析式
分析抛物线轴两交点应元二次方程两相等实数根问题转化求元二次方程两相等实数根应满足条件
解答〔1〕解
〔2〕C〔0－1〕
∵
∴
∴
∴
课稳固
1 〔2006安〕抛物线y3(x1)+1顶点坐标〔 〕
A．〔11〕 B．〔11〕 C．〔11〕 D．〔11〕
2．直线yx二次函数yax2 －2x－1图象交点 M横标1a值〔 〕
A2 B1 C3 D 4
3．二次函数图右移3单位移2单位函数图解析式分等〔 〕
A64 B－814
C46 D－8－14
4．〔2006湖州〕二次函数yx2－bx+1〔－1≤b≤1〕b－1逐渐变化1程中应抛物线位置变动关抛物线移动方描述中正确选项〔 〕
A先左方移动左方移动
B先左方移动左方移动
C先右方移动右方移动
D先右方移动右方移动
5．〔2006诸暨〕抛物线yax2+2ax+a2+2局部图该抛
物线y轴右侧x轴交点坐标 ( )
A．〔0〕 B．〔1 0〕
C．〔2 0〕 D．〔3 0〕
6．函数图象图出关系数abc等式：①a＜0②b＜0③c＞0④2a＋b ＜0⑤a＋b＋c＞0．中正确等式序号___________
7．二次函数图象图：
〔1〕二次函数解析式y__________．
〔2〕x_______时y3
〔3〕根图象答复：x______时y＞0．
8．某公司推出种高效环保型洗涤品年初市公司历亏损盈利程面二次函数图象〔局部〕刻画该公司年初累积利润S〔万元〕销售时间〔月〕间关系〔前月利润总S间关系〕根图象提供信息解答问题：
〔1〕图象三点坐标求累积利润S〔万元〕时间〔月〕间函数关系式
〔2〕求截止月末公司累积利润达30万元
〔3〕求第8月公司获利润少万元？
9．四边形DEFH△ABC接矩形AMBC边高长8厘米BC长12厘米DE长x矩形面积y请写出yx间函数关系式判断关x二次函数
课外拓展
A组
1 〔2006舟山〕二次函数yx2+10x5值〔 〕．
A．35 B．30 C．5 D．20
2 〔2006绍兴〕敏某次投篮中球运动路线抛物线y局部(图)假设命中篮圈中心篮底距离( )
A．35m B．4m C．45m D．46m
3 函数y x2－4图象y 轴交点坐标〔 〕
A〔20〕 B〔－20〕 C〔04〕D〔0－4〕
4〔2006苏州〕抛物线y＝2x2+4x+5称轴x_________ ．
5〔2006浙江〕图二次函数图象开口图点〔12〕〔10〕y轴交负半轴．
〔1〕出四结：①＞0②＞0③＞0 ④a+b+c0 中正确结序号 ．
〔２〕出四结：①abc＜0②2a+＞0③a+c1 ④a＞1．中正确结序号
6 二次函数图象开口y轴正半轴相交请写出满足条件二次函数解析式：_______________
7 假设抛物线低点轴值
8抛物线三点〔－1－1〕〔0－2〕〔1l〕．
〔1〕求条抛物线应二次函数表达式
〔2〕写出开口方称轴顶点坐标
〔3〕函数值值？ 值少？
9．(2006盐城)：抛物线yx2+4x3x轴相交AB两点(A点B点左侧)顶点P．
(1)求ABP三点坐标
(2) 图直角坐标系画出抛物线简图根简图写出x取值时函数值y零
(3)确定抛物线直线y2x+6公点数说明理
10〔2005枣庄〕抛物线图象局部图抛物线顶点第象限点A(07)点B
(1)求a取值范围
(2)假设OA2OB求抛物线解析式．
B组
11．〔2005常州〕抛物线局部图象图抛物线称轴直线x 满足y＜0时x取值范围 抛物线
移 单位抛物线
12．〔2006连〕图二次函数y1＝ax2＋bx＋c次函数y2＝mx＋n图象观察图象写出y2≥y1时x取值范围______________
13．阅读材料：抛物线解析式中含字母系数时着系数中字母取值抛物线顶点坐标发生变化．
例：抛物线①y②抛物线顶点坐标〔m2m－1〕m值变化时xy值变化y值x值变化变化③代④y2x—1⑤．见m取实数抛物线顶点坐标y横坐标x满足关系式y2x－1答复问题：〔1〕述程中①②数学方法________中运_________公式③④⑤数学方法______〔2〕根阅读材料提供方法确定抛物线顶点坐标横坐标x间关系式_________
14．〔2006台州〕图抛物线yax2+4ax+t〔a＞0〕交x轴AB两点交y轴点C点B坐标〔－10〕
〔1〕求抛物线称轴点A坐标
〔2〕点C作x轴行线交抛物线称轴点P判断四边形ABCP什四边形？请证明结
x
y
〔3〕连结ACBP假设AC⊥BP试求抛物线解析式
15．〔2006连〕图抛物线E：y＝x2＋4x＋3交x轴AB两点交y轴M点抛物线E关y轴称抛物线F交x轴CD两点
〔1〕求F解析式
〔2〕x轴方抛物线FE否存点NACNM顶点四边形行四边形假设存求点N坐标假设存请说明理
〔3〕假设抛物线E解析式改y＝ax2＋bx＋c 试探索问题〔2〕
16．〔2006嘉兴〕某旅游胜欲开发座景观山．山侧面进行堪测迎面山坡线ABC面两段抛物线组成中AB抛物线A顶点开口BC抛物线C顶点开口．山脚〔点C〕水线x轴山顶〔点A〕铅垂线y轴建立面直角坐标系图〔单位：百米〕．AB抛物线解析式y＝－x2＋8BC抛物线解析式y＝(x－8)2B〔m4〕．
〔1〕设P〔xy〕山坡线AB意点y表示x求点B坐标
〔2〕山顶开始迎面山坡山铺设观景台阶．种台阶级高度20厘米长度坡度定20厘米级台阶两端点坡面〔见图〕．
①分求出前三级台阶长度〔精确厘米〕
②种台阶起铺山脚什？
〔3〕山坡700米高度〔点D〕处恰块建造索道站．索道站起点选择山脚水线点E处OE＝1600〔米〕．假设索道DE似成段E顶点开口抛物线解析式y＝(x－16)2．试求索道悬空高度．
反思纠错
1． 图长24米篱笆面利墙〔墙利长度a10米〕围成中间隔道篱笆长方形花圃设花圃宽AB米面积方米
（1） 求函数关系式
（2） 果围成面积45方米花圃AB长少米？
（3） 围成面积45方米更花圃？果请求出面积说明围法果请说明理
解：〔1〕花圃宽米长米面积函数关系式
〔2〕 时
AB长3米5米时花圃面积45方米
〔3〕
围成面积45方米更花圃面积48方米
述解法正确？什？
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