第二章 函数基初等函数I
第1讲 函数表示
选择题
1．列函数中函数y＝定义域相函数 ( )．
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
解析 函数y＝定义域{x|x≠0x∈R}函数y＝定义域相选D
答案 D
2．系列函数解析式相值域相定义域称函数族函数函数解析式y＝x2＋1值域{13}族函数 ( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 x2＋1＝1x＝0x2＋1＝3x＝±函数定义域{0}{0－}{0－}值域{13}族函数3．
答案 C
3．函数y＝f(x)定义域M＝{x|－2≤x≤2}值域N＝{y|0≤y≤2}函数y＝f(x)图象( )．
解析 根函数定义观察出选项B
答案 B
4．已知函数f(x)＝abc互相等f(a)＝f(b)＝f(c)abc取值范围 ( )．
A．(110) B．(56)
C．(1012) D．(2024)
解析 abc互相等妨设a∵f(a)＝f(b)
∴|lg a|＝|lg b|
∴lg a＝－lg blg a＝lg ⇒a＝
∴ab＝110答案 C
5．实数ab定义运算⊗：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)x∈R函数y＝f(x)－c图象x轴恰两公点实数c取值范围( )．
A．(－∞－2]∪
B．(－∞－2]∪
C∪
D∪
解析 (x2－2)－(x－x2)≤1－1≤x≤时f(x)＝x2－2
x2－2－(x－x2)＞1x＜－1x＞时f(x)＝x－x2
∴f(x)＝
f(x)图象图示c≤－2－1＜c＜－
答案 B
6设甲乙两距离a(a>0)王骑行车匀速甲乙20分钟乙休息10分钟匀速乙返回甲30分钟王出发返回原路程y时间x函数图象（ ）
解析 注意题中选择项横坐标王出发返回原时间坐标路程选D
答案 D
二填空题
7．已知函数f(x)g(x)分表出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
f[g(1)]值________满足f[g(x)]>g[f(x)]x值________．
解析 ∵g(1)＝3∴f[g(1)]＝f(3)＝1表格发现g(2)＝2f(2)＝3∴f(g(2))＝3g(f(2))＝1
答案 1 2
8．已知函数f(x)＝满足等式f(1－x2)>f(2x)x取值范围________．
解析 题意解－1答案 (－1－1)
9已知函数f(x)图象图示函数g(x) f(x)定义域______
解析 函数意义须f(x)＞0f(x)图象知
x∈(28］时f(x)＞0
答案 (28］
10．函数f(x)定义域Ax1x2∈Af(x1)＝f(x2)时总x1＝x2称f(x)单函数．例函数f(x)＝2x＋1(x∈R)单函数．列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)单函数
②f(x)单函数x1x2∈Ax1≠x2f(x1)≠f(x2)
③f：A→B单函数意b∈B原象
④函数f(x)某区间具单调性f(x)定单函数．
中真命题________．(写出真命题编号)
解析 ①f(x)＝x2f(－1)＝f(1)时－1≠1f(x)＝x2单函数①错②x1x2∈Af(x1)＝f(x2)时x1＝x2x1≠x2时f(x1)≠f(x2)互逆否命题②正确③b∈Bb两原象时．妨设a1a2知a1≠a2f(a1)＝f(a2)题中条件矛盾③正确④f(x)＝x2(0＋∞)单调递增函数f(x)＝x2R单函数④错误综知②③正确．
答案 ②③
三解答题
11．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－ax
x∈[13]中a∈R记函数g(x)值值差h(a)．
(1)求函数h(a)解析式
(2)画出函数y＝h(x)图象指出h(x)值．
解 (1)题意知g(x)＝
a<0时函数g(x)[13]增函数时g(x)max＝g(3)＝2－3ag(x)min＝g(1)＝1－ah(a)＝1－2a
a>1时函数g(x)[13]减函数时g(x)min＝g(3)＝2－3ag(x)max＝g(1)＝1－ah(a)＝2a－1
0≤a≤1时x∈[12]g(x)＝1－axg(2)≤g(x)≤g(1)
x∈(23]g(x)＝(1－a)x－1g(2)0≤a≤时g(x)max＝g(3)＝2－3ah(a)＝1－a
综述h(a)＝
(2)画出y＝h(x)图象图示数形结合h(x)min＝h＝
12．求列函数定义域：
(1)f(x)＝
(2)y＝－lg cos x
(3)y＝lg(x－1)＋lg ＋
解 (1)⇒x＜4x≠3
该函数定义域(－∞3)∪(34)．
(2)
求定义域∪∪
(3)x＜－1解1＜x＜9
该函数定义域(19)．
13 设x≥0时f(x)2x＜0时f(x)1规定：g(x)
(x＞0)试写出yg(x)解析式画出图象
解 0＜x＜1时x1＜0x2＜0
∴g(x) 1
1≤x＜2时x1≥0x2＜0
∴g(x)
x≥2时x1＞0x2≥0
∴g(x) 2
g(x)
图象图示
14．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2xf(0)＝1
(1)求f(x)解析式
(2)区间[－11]函数y＝f(x)图象恒直线y＝2x＋m方试确定实数m取值范围．
解 (1)f(0)＝1设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b题意解
f(x)＝x2－x＋1
(2)题意x2－x＋1>2x＋mx2－3x＋1>mx∈[－11]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1问题转化g(x)min>mg(x)[－11]递减 g(x)min＝g(1)＝－1m<－1
第2讲 函数单调性值
选择题
1．列函数中偶函数(0＋∞)单调递减函数
( )．
A．y＝x2 B．y＝|x|＋1
C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|
解析 C中函数x>0时y＝－lg x(0＋∞)减函数y＝－lg |x|偶函数．
答案 C
2．已知函数f(x)R减函数满足f(|x|)＜f(1)实数x取值范围( )
A．(－11) B．(01)
C．(－10)∪(01) D．(－∞－1)∪(1＋∞)
解析 ∵f(x)R减函数f(|x|)＜f(1)
∴|x|＞1解x＞1x＜－1
答案 D
3．函数y＝axy＝－(0＋∞)减函数y＝ax2＋bx(0＋∞)( )
A．增函数 B．减函数
C．先增减 D．先减增
解析 ∵y＝axy＝－(0＋∞)减函数
∴a<0b<0∴y＝ax2＋bx称轴方程x＝－<0
∴y＝ax2＋bx(0＋∞)减函数．
答案 B
4．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)函数g(x)递减区间 ( )．
A．(－∞0] B．[01)
C．[1＋∞) D．[－10]
解析 g(x)＝图示递减区间[01)．选B
答案 B
5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)单调增区间( )
A．(0＋∞) B．(－∞1]
C．(－∞0) D．(－∞－1]
解析 二次函数称轴x＝1二次项系数负数拋物线开口称轴定义域右侧单调增区间(－∞0)．
答案 C
6．设函数y＝f(x)(－∞＋∞)定义定正数K定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|K＝时函数fK(x)单调递增区间 ( )．
A．(－∞0) B．(0＋∞)
C．(－∞－1) D．(1＋∞)
解析 f(x)＝⇔
f(x)＝
f(x)图象右图示f(x)单调递增区间(－∞－1)．
答案 C
二填空题
7．设函数y＝x2－2xx∈[－2a]函数值g(a)g(a)＝________
解析 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1∴称轴直线x＝1
－2≤a<1时函数[－2a]单调递减x＝a时ymin＝a2－2aa≥1时函数[－21]单调递减[1a]单调递增x＝1时ymin＝－1
综g(a)＝
答案
8．函数y＝－(x－3)|x|递增区间_______．
解析 y＝－(x－3)|x|
＝
作出该函数图观察图知递增区间
答案
9．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5区间(－∞3)减函数a取值范围________．
解析 ①a＝0时f(x)＝－12x＋5(－∞3)减函数②a＞0时f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5区间(－∞3)减函数称轴x＝必x＝3右边≥30＜a≤③a＜0时区间(－∞3)恒减函数．综合知：a取值范围
答案
10．已知函数f(x)＝(a常数a>0)．列命题：
①函数f(x)值－1
②函数f(x)R单调函数
③f(x)>0恒成立a取值范围a>1
④意x1<0x2<0x1≠x2恒
f<
中正确命题序号____________．
解析 根题意画出草图图象知①显然正确函数f(x)R单调函数②错误f(x)>0恒成立2a×－1>0a>1③正确图象知(－∞0)意x1<0x2<0x1≠x2恒f<成立④正确．
答案 ①③④
三解答题
11．求函数y＝a1－x2(a>0a≠1)单调区间．
解 a>1时函数y＝a1－x2区间[0＋∞)减函数区间(－∞0]增函数
012．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0a∈R)．
(1)判断函数f(x)奇偶性
(2)f(x)区间[2＋∞)增函数求实数a取值范围．
解 (1)a＝0时f(x)＝x2(x≠0)偶函数
a≠0时f(－x)≠f(x)f(－x)≠－f(x)
∴f(x)奇函数偶函数．
(2)设x2>x1≥2f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]
x2>x1≥2x1x2(x1＋x2)>16x1－x2<0
x1x2>0
f(x)区间[2＋∞)增函数
需f(x1)－f(x2)<0
x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立a≤16
13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x中常数ab满足ab≠0
(1)ab>0判断函数f(x)单调性
(2)ab<0求f(x＋1)>f(x)时x取值范围．
解 (1)a>0b>0时a·2xb·3x单调递增函数f(x)单调递增a<0b<0时a·2xb·3x单调递减函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0
(i)a<0b>0时x>－
解x>log
(ii)a>0b<0时x<－
解x14．函数f(x)意ab∈Rf(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1x>0时f(x)>1
(1)求证：f(x)R增函数
(2)f(4)＝5解等式f(3m2－m－2)<3
解 (1)证明 设x1x2∈Rx1x2－x1>0∴f(x2－x1)>1
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0
∴f(x2)>f(x1)．f(x)R增函数．
(2) ∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5
∴f(2)＝3
∴原等式化f(3m2－m－2)∵f(x)R增函数∴3m2－m－2<2
解－1
第3讲 函数奇偶性周期性
选择题
1．设f(x)定义R奇函数．x≥0时f(x)＝2x＋2x＋b(b常数)f(－1)等( )．
A．3 B．1 C．－1 D．－3
解析 f(－0)＝－f(0)f(0)＝0b＝－1
f(x)＝2x＋2x－1f(－1)＝－f(1)＝－3
答案 D
2．已知定义R奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)f(6)值 ( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析 (构造法)构造函数f(x)＝sin xf(x＋2)＝sin＝－sin x＝－f(x)f(x)＝sin x满足条件函数f(6)＝sin 3π＝0选B
答案 B
3．定义R函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)x∈[35]时f(x)＝2－|x－4|列等式定成立 ( )．
A．f>f B．f(sin 1)C．ff(sin 2)
解析 x∈[－11]时x＋4∈[35]f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|
显然x∈[－10]时f(x)增函数x∈[01]时f(x)减函数cos＝－sin ＝>f＝f>ff>f
答案 A
4．已知函数f(x)＝该函数 ( )．
A．偶函数单调递增 B．偶函数单调递减
C．奇函数单调递增 D．奇函数单调递减
解析 x>0时f(－x)＝2－x－1＝－f(x)x<0时f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．x＝0时f(0)＝0f(x)奇函数f(x)＝1－2－x[0＋∞)增函数f(x)＝2x－1(－∞0)增函数x≥0时1－2－x≥0x<0时2x－1<0f(x)R增函数．
答案 C
5．已知f(x)定义R周期2周期函数x∈[01)时f(x)＝4x－1f(－55)值( )
A．2 B．－1 C．－ D．1
解析 f(－55)＝f(－55＋6)＝f(05)＝405－1＝1
答案 D
6．设函数D(x)＝列结错误 ( )．
A．D(x)值域{01} B．D(x)偶函数
C．D(x)周期函数 D．D(x)单调函数
解析 显然D(x)单调D(x)值域{01}选项AD正确．x理数－xx＋1理数x理数－xx＋1理数．∴D(－x)＝D(x)D(x＋1)＝D(x)．D(x)偶函数D(x)周期函数B正确C错误．
答案 C
二填空题
7．函数f(x)＝x2－|x＋a|偶函数实数a＝________
解析 题意知函数f(x)＝x2－|x＋a|偶函数f(1)＝f(－1)∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|∴a＝0
答案 0
8．已知y＝f(x)＋x2奇函数f(1)＝1g(x)＝f(x)＋2g(－1)＝________
解析 y＝f(x)＋x2奇函数x＝1时y＝2x＝－1时y＝－2f(－1)＋(－1)2＝－2f(－1)＝－3g(－1)＝f(－1)＋2＝－1
答案 －1
9．设奇函数f(x)定义域[－55]x∈[05]时函数y＝f(x)图象图示函数值y＜0x取值集合________．
解析 原函数奇函数y＝f(x)[－55]图象关坐标原点称y＝f(x)[05]图象[－50]图象图示．图象知函数值y＜0x取值集合(－20)∪(25)．
答案 (－20)∪(25)
10． 设f(x)偶函数x>0时单调函数满足f(2x)＝fx________．
解析 ∵f(x)偶函数f(2x)＝f
∴f(|2x|)＝f
∵f(x)(0＋∞)单调函数
∴|2x|＝
2x＝2x＝－
整理2x2＋7x－1＝02x2＋9x＋1＝0
设方程2x2＋7x－1＝0两根x1x2方程2x2＋9x＋1＝0两根x3x4
(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8
答案 －8
三解答题
11．已知f(x)定义R恒零函数意xyf(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)f(－1)值
(2)判断函数f(x)奇偶性．
解 (1)定义域意xyf(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)令x＝y＝1f(1)＝0令x＝y＝－1f(－1)＝0
(2)令y＝－1f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)代入f(－1)＝0f(－x)＝－f(x)f(x)(－∞＋∞)奇函数．
12．已知函数f(x)意xy∈Rf(x＋y)＝f(x)＋f(y)x＞0时f(x)＜0f(1)＝－2
(1)求证f(x)奇函数
(2)求f(x)[－33]值值．
(1)证明 令x＝y＝0知f(0)＝0令y＝－x
f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0f(x)奇函数．
(2)解 取x1＜x2x2－x1＞0f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0f(x)减函数．f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6f(－3)＝－f(3)＝6
f(x)max＝f(－3)＝6f(x)min＝f(3)＝－6
13已知函数f(x)(－∞＋∞)奇函数f(x)图象关x＝1称x∈[01]时f(x)＝2x－1
(1)求证：f(x)周期函数
(2)x∈[12]时求f(x)解析式
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)值．
解析 (1)证明 函数f(x)奇函数f(－x)＝－f(x)函数f(x)图象关x＝1称f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)f(x)4周期周期函数．
(2) x∈[12]时2－x∈[01]
f(x)图象关x＝1称f(x)＝f(2－x)＝22－x－1x∈[12]．
(3) ∵f(0)＝0f(1)＝1f(2)＝0
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1
f(x)4周期周期函数．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)
＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1
14．已知函数f(x)定义域R满足f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)周期函数
(2)f(x)奇函数0≤x≤1时f(x)＝x求f(x)＝－[02 014]x数．
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)
∴f(x)4周期周期函数．
(2)解 0≤x≤1时f(x)＝x
设－1≤x≤00≤－x≤1
∴f(－x)＝(－x)＝－x
∵f(x)奇函数∴f(－x)＝－f(x)
∴－f(x)＝－xf(x)＝x
f(x)＝x(－1≤x≤1)．
设1∴f(x－2)＝(x－2)．
∵f(x)4周期周期函数
∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)∴－f(x)＝(x－2)
∴f(x)＝－(x－2)(1∴f(x)＝
f(x)＝－解x＝－1
∵f(x)4周期周期函数
∴f(x)＝－x＝4n－1(n∈Z)．
令0≤4n－1≤2 014≤n≤
∵n∈Z∴1≤n≤503(n∈Z)
∴[02 014]503xf(x)＝－
第4讲 指数指数函数
选择题
1．函数y＝a|x|(a>1)图( )
解析 y＝a|x|＝x≥0时指数函数y＝ax(a>1)图相x<0时y＝a－xy＝ax图关y轴称判断B正确．
答案 B
2．已知函数f(x)＝f(9)＋f(0)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 f(9)＝log39＝2f(0)＝20＝1
∴f(9)＋f(0)＝3
答案 D
3．a值时函数y＝(a－1)2x－恒定点定点坐标 ( )．
A B
C D
解析 y＝(a－1)2x－＝a－2x令2x－＝0x＝－1函数y＝(a－1)2x－恒定点
答案 C
4．定义运算：a*b＝1*21函数f(x)2x *2x值域 ( )．
A．R B．(0＋∞)
C．(01] D．[1＋∞)
解析 f(x)＝2x*2－x＝∴f(x)(－∞0]增函数(0＋∞)减函数∴0答案 C
5．a>1b>0ab＋a－b＝2ab－a－b值( )
A B．2－2
C．－2 D．2
解析 (ab＋a－b)2＝8⇒a2b＋a－2b＝6
∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4
ab>a－b(a>1b>0)∴ab－a－b＝2
答案 D
6．函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0a≠1)R奇函数减函数g(x)＝loga(x＋k)图象图中 ( )．
解析 函数f(x)＝(k－1)ax－a－x奇函数f(0)＝0(k－1)a0－a0＝0解k＝2f(x)＝ax－a－xf(x)＝ax－a－x减函数0答案 A
二填空题
7．已知函数f(x)＝
满足意x1≠x2<0成立a取值范围________．
解析 意x1≠x2<0成立说明函数y＝f(x)R减函数0答案
8．函数y＝2－x＋1＋m图象第象限m取值范围________．
解析 函数y＝2－x＋1＋m＝()x－1＋m
∵函数图象第象限
∴()0－1＋m≤0m≤－2
答案 (－∞－2]
9．函数f(x)＝ax－x－a(a>0a≠1)两零点实数a取值范围________．
解析 令ax－x－a＝0ax＝x＋a
0a>1y＝axy＝x＋a图象图示．
答案 (1＋∞)
10．已知f(x)＝x2g(x)＝x－m∀x1∈[－13]∃x2∈[02]f(x1)≥g(x2)实数m取值范围________．
解析 x1∈[－13]时f(x1)∈[09]x2∈[02]时g(x2)∈g(x2)∈∀x1∈[－13]∃x2∈[02]f(x1)≥g(x2)需f(x)min≥g(x)min0≥－mm≥
答案
三解答题
11．已知函数f(x)＝
(1)判断函数f(x)奇偶性
(2)求证f(x)R增函数．
(1)解 函数f(x)定义域Rf(x)＝＝1－f(－x)＋f(x)＝＋＝2－＝2－＝2－＝2－2＝0f(－x)＝－f(x)f(x)奇函数．
(2)证明 设x1x2∈Rx1f(x1)－f(x2)＝－＝
∵x102x2＋1>0
∴f(x1)12．已知函数f(x)＝b·ax(中ab常量a>0a≠1)图象点A(16)B(324)．
(1)求f(x)
(2)等式()x＋()x－m≥0x∈(－∞1]时恒成立求实数m取值范围．
解析 (1)A(16)B(324)代入f(x)＝b·ax
结合a>0a≠1解
∴f(x)＝3·2x
(2)()x＋()x≥m(－∞1]恒成立
需保证函数y＝()x＋()x(－∞1]值m．
∵函数y＝()x＋()x(－∞1]减函数
∴x＝1时y＝()x＋()x值
∴需m≤．
∴m取值范围(－∞]
13．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3
(1)a＝－1求f(x)单调区间
(2)f(x)值3求a值．
解析 (1)a＝－1时f(x)＝－x2－4x＋3
令t＝－x2－4x＋3
t(x)(－∞－2)单调递增[－2＋∞)单调递减
y＝tR单调递减
f(x)(－∞－2)单调递减[－2＋∞)单调递增
函数f(x)递增区间[－2＋∞)递减区间(－∞－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3f(x)＝h(x)
f(x)值3
h(x)应值－1
必解a＝1
f(x)值3时a值等1
14．已知定义R函数f(x)＝2x－
(1)f(x)＝求x值
(2)2tf(2t)＋mf(t)≥0t∈[12]恒成立求实数m取值范围．
解 (1)x<0时 f(x)＝0解
x≥0时f(x)＝2x－
2x－＝2·22x－3·2x－2＝0
成关2x元二次方程解2x＝2－
∵2x>0∴x＝1
(2)t∈[12]时2t＋m≥0
m(22t－1)≥－(24t－1)
∵22t－1>0∴m≥－(22t＋1)
∵t∈[12]∴－(22t＋1)∈[－17－5]
m取值范围[－5＋∞)．
第5讲 数数函数
选择题
1．已知实数a＝log45b＝0c＝log304abc关系( )
A．bC．c解析 题知a＝log45>1b＝0＝1c＝log304<0c答案 D
2．设f(x)＝lg(＋a)奇函数f(x)＜0x取值范围( )．
A．(－10) B．(01)
C．(－∞0) D．(－∞0)∪(1＋∞)
解析 ∵f(x)奇函数∴f(0)＝0∴a＝－1
∴f(x)＝lgf(x)＜00＜＜1
∴－1＜x＜0
答案 A
3．函数y＝loga(x2－ax＋1)值a取值范围( )．
A．0C．1解析 y＝x2－ax＋1开口二次函数值函数y＝loga(x2－ax＋1)值a>1>01答案 C
4．函数f(x)＝loga(x＋b)
致图象图示中ab常数函数g(x)＝ax＋b致图象 ( )．
解析 已知函数f(x)＝loga(x＋b)图象0答案 B
5．函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0a≠1)满足意x1x2x10实数a取值范围 ( )．
A．(01)∪(13) B．(13)
C．(01)∪(12) D．(12)
解析 意x1x2x10实质函数单调递减伪装时隐含f(x)意义．事实g(x)＝x2－ax＋3x≤时递减a取值范围(12)．选D
答案 D
6．已知函数f(x)＝|lg x|0A．(2＋∞) B．[2＋∞)
C．(3＋∞) D．[3＋∞)
解析 作出函数f(x)＝|lg x|图象f(a)＝f(b)03选C
答案 C
二填空题
7．意非零实数aba⊗b运算原理图示(log8)⊗－2＝________
解析 框图实质分段函数log8＝－3－2＝9框图出输出＝－3
答案 －3
8．设g(x)＝g＝________
解析 g＝ln ＜0
∴g＝g＝eln＝
答案
9．已知集合A＝{x|log2x≤2}B＝(－∞a)A⊆B实数a取值范围(c＋∞)中c＝________
解析 ∵log2x≤2∴0＜x≤4∵A⊆B∴a＞4∴c＝4
答案 4
10．意实数x符号[x]表示x整数部分[x]超x整数．实数轴R(箭头右)[x]点x左侧第整数点x整数时[x]x函数[x]做取整函数数学身生产实践中广泛应．[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________
解析 1≤n≤2时[log3n]＝03≤n<32时[log3n]＝1…3k≤n<3k＋1时[log3n]＝k
[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857
答案 857
三解答题
11．已知函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x
(1)判断函数奇偶性
(2)y＝f(x)(－∞＋∞)减函数求a取值范围．
解 (1)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x定义域R
f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x
＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)
函数f(x)奇函数．
(2)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x(－∞＋∞)减函数y＝(a2－3a＋3)x(－∞＋∞)增函数
指数函数单调性知a2－3a＋3>1解a<1a>2
a取值范围(－∞1)∪(2＋∞)．
12．函数y＝lg(3－4x＋x2)定义域Mx∈M时求f(x)＝2x＋2－3×4x值相应x值．
解 y＝lg(3－4x＋x2)∴3－4x＋x2＞0
解x＜1x＞3∴M＝{x|x＜1x＞3}
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2
令2x＝t∵x＜1x＞3∴t＞80＜t＜2
∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞80＜t＜2)．
二次函数性质知：
0＜t＜2时f(t)∈
t＞8时f(t)∈(－∞－160)
2x＝t＝x＝log2 时f(x)max＝
综知：x＝log2 时f(x)取值值．
13．已知函数f(x)＝loga(a＞0b＞0a≠1)．
(1)求f(x)定义域
(2)讨f(x)奇偶性
(3)讨f(x)单调性
解 (1)令＞0
解f(x)定义域(－∞－b)∪(b＋∞)．
(2)f(－x)＝loga＝loga－1
＝－loga＝－f(x)
f(x)奇函数．
(3)令u(x)＝函数u(x)＝1＋(－∞－b)(b＋∞)减函数0＜a＜1时f(x)(－∞－b)(b＋∞)增函数a＞1时f(x)(－∞－b)(b＋∞)减函数．
14．已知函数f(x)＝loga(a>0a≠1)．
(1)求函数定义域证明：f(x)＝loga定义域奇函数
(2)x∈[24]f(x)＝loga>loga恒成立求m取值范围．
解 (1)>0解x<－1x>1
∴函数定义域(－∞－1)∪(1＋∞)．
x∈(－∞－1)∪(1＋∞)时f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)
∴f(x)＝loga定义域奇函数．
(2)x∈[24]时f(x)＝loga>loga恒成立
①a>1时
∴>>0x∈[24]恒成立．
∴0设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)x∈[24]
g(x)＝－x3＋7x2＋x－7
g′(x)＝－3x2＋14x＋1＝－32＋
∴x∈[24]时g′(x)>0
∴y＝g(x)区间[24]增函数g(x)min＝g(2)＝15
∴0②0f(x)＝loga>loga恒成立
∴∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)x∈[24]恒成立．
设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)x∈[24]
①知y＝g(x)区间[24]增函数
g(x)max＝g(4)＝45∴m>45
∴m取值范围(015)∪(45＋∞)
第6讲 幂函数二次函数
选择题
1．已知幂函数y＝f(x)图点f(2)＝( )
A B．4
C D
解析 设f(x)＝xα图点代入解析式：α＝－∴f(2)＝2－＝
答案 C
2．函数f(x)幂函数满足＝3f()值( )
A．－3 B．－
C．3 D
解析 设f(x)＝xα＝3＝3
∴2α＝3∴f()＝()α＝＝
答案 D
3．已知函数f(x)＝ex－1g(x)＝－x2＋4x－3f(a)＝g(b)b取值范围 ( )．
A．[2－2＋] B．(2－2＋)
C．[13] D．(13)
解析 f(a)＝g(b)⇔ea－1＝－b2＋4b－3⇔ea＝－b2＋4b－2成立－b2＋4b－2>0解2－答案 B
4．已知函数f(x)＝f(a)＋f(1)＝0实数a值等 ( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析 f(a)＋f(1)＝0⇔f(a)＋2＝0⇔解a＝
－3
答案 A
5 函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象关直线x＝－称．推测意非零实数abcmnp关x方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0解集( )．
A．{12} B．{14}
C．{1234} D．{141664}
解析 设关f(x)方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0两根f(x)＝t1f(x)＝t2
f(x)＝ax2＋bx＋c图象关x＝－称f(x)＝t1f(x)＝t2两根关x＝－称．选项D中≠
答案 D
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋ca正整数c≥1a＋b＋c≥1方程ax2＋bx＋c＝0两1等正根a值 ( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 题意f(0)＝c≥1f(1)＝a＋b＋c≥1a越y＝f(x)开口越a越y＝f(x)开口越y＝f(x)开口时y＝f(x)(01)(11)c＝1a＋b＋c＝1a＋b＝0a＝－b－＝b2－4ac>0a(a－4)>0a>4a正整数a值5
答案 C
二填空题
7．函数y＝x2y＝x列说法：①两函数幂函数②两函数第象限单调递增③图关直线y＝x称④两函数偶函数⑤两函数点(00)(11)⑥两函数图抛物线型．
中正确________．
解析 两函数定义域奇偶性单调性等性质进行较．
答案 ①②⑤⑥
8．二次函数f(x)＝ax2－4x＋c值域[0＋∞)ac满足条件________．
解析 已知⇒
答案 a>0ac＝4
9．方程x2－mx＋1＝0两根αβα＞01＜β＜2实数m取值范围________．
解析 ∵∴m＝β＋
∵β∈(12)函数m＝β＋(12)增函数
∴1＋1＜m＜2＋m∈
答案
10．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)g(x)＝2x－2时满足条件：
①∀x∈Rf(x)<0g(x)<0
②∃x∈(－∞－4)f(x)g(x)<0
m取值范围________．
解析 x<1时g(x)<0x>1时g(x)>0x＝1时g(x)＝0m＝0符合求m>0时根函数f(x)函数g(x)单调性定存区间[a＋∞)f(x)≥0g(x)≥0m>0时符合第①条求m<0时图示果符合①求函数f(x)两零点1果符合第②条求函数f(x)少零点－4问题等价函数f(x)两相等零点中较零点1较零点－4函数f(x)两零点2m－(m＋3)m满足解第等式组－4答案 (－4－2)
三解答题
11．设f(x)定义R2正周期周期函数．－1≤x<1时y＝f(x)表达式幂函数点求函数[2k－12k＋1)(k∈Z)表达式．
解 设[－11)f(x)＝xn点函数图象求n＝3
令x∈[2k－12k＋1)x－2k∈[－11)
∴f(x－2k)＝(x－2k)3f(x)周期2
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．
12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3x∈[－4 6]．
(1)a＝－2时求f(x)值
(2)求实数a取值范围y＝f(x)区间[－46]单调函数
(3)[理]a＝1时求f(|x|)单调区间．
解 (1)a＝－2时f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1
x∈[－46]
∴f(x)[－42]单调递减[26]单调递增
∴f(x)值f(2)＝－1
f(－4)＝35f(6)＝15f(x)值35
(2)函数f(x)图开口称轴x＝－a
f(x)[－46]单调函数应－a≤－4－a≥6a≤－6 a≥4
(3)a＝1时f(x)＝x2＋2x＋3
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3时定义域x∈[－66]
f(x)＝
∴f(|x|)单调递增区间(06]单调递减区间[－60]．
13．设函数f(x)＝ax2－2x＋2满足10求实数a取值范围．
解 等式ax2－2x＋2>0等价a>
设g(x)＝x∈(14)
g′(x)＝
＝＝
102g(x)≤g(2)＝
已知条件a>
实数a取值范围
14．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)(1)求k值求出相应f(x)解析式
(2)(1)中函数f(x)试判断否存q>0函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x区间[－12]值域？存求出q存请说明理．
解 (1)∵f(2)－k2＋k＋2>0解－1∵k∈Z∴k＝0k＝1
k＝0k＝1时－k2＋k＋2＝2∴f(x)＝x2
(2)假设存q>0满足题设(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1x∈[－12]．
∵g(2)＝－1∴两值点端点(－1g(－1))顶点处取．－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0∴g(x)max＝＝
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4
解q＝2∴存q＝2满足题意．
第7讲 函数图象
选择题
1．函数y＝|x|y＝坐标系图( )
解析 |x|≤函数y＝|x|图函数y＝图方排CDx→＋∞时→|x|排B选A
答案 A
2．函数y＝图象函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)图象交点横坐标等( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析 题考查函数图象两函数图象交点函数称性问题．两函数中心称图形．
图两函数图象关点(10)成中心称两图象[－24]8公点两应交点横坐标2交点横坐标8
答案 D
3．已知函数f(x)＝x－tan x实数x0函数y＝f(x)零点0A．1 B．0 C．0 D．0
解析 分作出函数y＝xy＝tan x区间图象00f(t)>0选B
答案 B
4．图正方形ABCD顶点AB顶点CD位第象限直线l：x＝t(0≤t≤)正方形ABCD分成两部分记位直线l左侧阴影部分面积f(t)函数S＝f(t)图象致 ( )．
解析 直线l原点移点B时面积增加越越快直线l点B移点C时面积增加越越慢．选C
答案 C
5．出四函数分满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
②g(x＋y)＝g(x)·g(y)③h(x·y)＝h(x)＋h(y)
④m(x·y)＝m(x)·m(y)．出四函数图象正确匹配方案( )
A．①甲②乙③丙④丁 B．①乙②丙③甲④丁
C．①丙②甲③乙④丁 D．①丁②甲③乙④丙
解析 图象甲指数函数图象应满足②图象乙数函数图象应满足③图象丁y＝x图象满足①
答案 D
6．右图已知正四棱锥S－ABCD棱长1点E侧棱SC动点点E垂直SC截面正四棱锥分成两部分．记SE＝x(0
解析 (1)0
SC该截面垂直知SC⊥EFSC⊥EI∴EF＝EI＝SEtan 60°＝xSI＝2SE＝2xIH＝FG＝BI＝1－2xFI＝GH＝AH＝2 x∴五边形EFGHI面积S＝FG×GH＋FI× ＝2x－3x2
∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝(2x－3x2)×CE＋2×××1×(1－2x)×(1－2x)＝x3－x2＋图象条线段排CD
(2)≤x<1时 E点截面三角形图2设三角形△EFGEG＝EF＝ECtan 60°＝(1－x)CG＝CF＝2CE＝2(1－x)三棱锥E－FGC底面FGC高h＝ECsin 45°＝(1－x)
∴V(x)＝×CG·CF·h＝(1－x)3
∴V′(x)＝－(1－x)2
显然V′(x)＝－(1－x)2区间单调递增V′(x)<0
∴函数V(x)＝(1－x)3区间单调递减递减速率越越慢排B应选A
答案 A
二填空题
7．函数y＝图象函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)图象交点横坐标等________．
解析 函数y＝＝y＝2sin πx图象公称中心(10)画出二者图象图示易知y＝y＝2sin πx(－2≤x≤4)图象8交点妨设横坐标x1x2x3x4x5x6x7x8x1称性x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8
答案 8
8．log2(－x)解析 作出函数y＝log2(－x)y＝x＋1图象．中y＝log2(－x)y＝log2 x图象关y轴称观察图象(图示)知－1
答案 (－10)
9．设f(x)表示－x＋6－2x2＋4x＋6中较者函数f(x)值________．
解析 坐标系中作出y＝－x＋6y＝－2x2＋4x＋6图象图示观察出x＝0时函数f(x)取值6
答案 6
10已知函数f(x)()x图象函数yg(x)图象关直线yx称令h(x)g(1|x|)关h(x)列命题：
①h(x)图象关原点称
②h(x)偶函数
③h(x)值0
④h(x)(01)减函数
中正确命题序号 _________(认正确命题序号填)
解析 g(x) x
∴h(x) (1|x|)
∴h(x)
函数h(x)致图象图正确命题序号②③
答案 ②③
三解答题
11．讨方程|1－x|＝kx实数根数．
解 设y＝|1－x|y＝kx方程实根数函数y＝|1－x|图象y＝kx图象交点数．
右边图象知：－1≤k<0时方程没实数根
k＝0k<－1k≥1时方程实数根
012．设函数f(x)＝x＋图象C1C1关点A(21)称图象C2C2应函数g(x)．
(1)求g(x)解析式
(2)直线y＝mC2交点求m值交点坐标．
解析 (1)设点P(xy)C2意点
P(xy)关点A(21)称点P′(4－x2－y)
代入f(x)＝x＋
2－y＝4－x＋y＝x－2＋
∴g(x)＝x－2＋
(2)消y
x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0Δ＝(m＋6)2－4(4m＋9)
∵直线y＝mC2交点
∴Δ＝0解m＝0m＝4
m＝0时检验合理交点(30)
m＝4时检验合理交点(54)．
13．x∈(12)时等式(x－1)2解 设f1(x)＝(x－1)2f2(x)＝logaxx∈(12) 时等式
(x－1)2需f1(x)＝(x－1)2(12)图象f2(x)＝logax方．
0a>1时图(12)f1(x)＝(x－1)2图象f2(x)＝logax方
需f1(2)≤f2(2)
(2－1)2≤loga2loga2≥1
∴1＜a≤2
∴a取值范围(12]
14．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)f(4)＝0
(1)求实数m值
(2)作出函数f(x)图象判断零点数
(3)根图象指出f(x)单调递减区间
(4)根图象写出等式f(x)>0解集
(5)求集合M＝{m|方程f(x)＝m三相等实根}．
解 (1)∵f(4)＝0∴4|m－4|＝0m＝4
(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝
∴函数f(x)图象图：
图象知f(x)两零点．
(3)图象观察知：f(x)单调递减区间[24]．
(4)图象观察知：
等式f(x)>0解集：{x|04}．
(5)图象知y＝f(x)y＝m图象三交点0
第8讲 函数方程
选择题
1．a<－2函数f(x)＝ax＋3区间[－12]存零点x0( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
解析 a<－2时函数f(x)＝ax＋3区间[－12]单调递减时
f(－1)＝3－a>0f(2)＝3＋2a<0函数f(x)＝ax＋3区间[－12]存零点x0函数f(x)＝ax＋3区间[－12]存零点x0时
f(－1)f(2)<02a2－3a－9>0
解a>3a<－
答案 A
2．列函数图x轴均公点中二分法求零点( )
解析 二分法求零点函数必须含零点区间(ab)连续f(a)·f(b)＜0ABD中函数符合．
答案 C
3．函数f(x)＝2x－－a零点区间(12)实数a取值范围 ( )．
A．(13) B．(12)
C．(03) D．(02)
解析 条件知f(1)f(2)<0(2－2－a)(4－1－a)<0a(a－3)<0解0答案 C
4．已知f(x)R正周期2周期函数0≤x<2时f(x)＝x3－x函数y＝f(x)图象区间[06]x轴交点数 ( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 0≤x<2时令f(x)＝x3－x＝0x＝0x＝1
根周期函数性质f(x)正周期2知y＝f(x)[06)6零点
f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0
∴f(x)[06]x轴交点数7
答案 B
5．函数f(x)＝－cos x[0＋∞) ( )．
A．没零点 B．仅零点
C．仅两零点 D．穷零点
解析 令f(x)＝0＝cos x坐标系画出两函数y＝y＝cos x图象图示图象知两函数交点方程＝cos x解．
∴函数f(x)零点．
答案 B
6．已知函数f(x)＝xex－ax－1关f(x)零点叙述正确( )．
A．a＝0时函数f(x)两零点
B．函数f(x)必零点正数
C．a＜0时函数f(x)两零点
D．a＞0时函数f(x)零点
解析 f(x)＝0⇔ex＝a＋
坐标系中作出y＝exy＝图象
观察出ACD选项错误选项B正确．
答案 B
二填空题
7．二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1零点时第次计算f(0)<0f(05)>0中零点x0∈______第二次应计算________．
解析 ∵f(x)＝x3＋3x－1R连续函数f(0)<0f(05)>0f(x)x∈(005)存零点第二次验证时需验证f(025)符号．
答案 (005) f(025)
8．函数f(x)＝函数y＝f[f(x)]＋1零点构成集合________．
解析 题求方程f[f(x)]＝－1根集合先解方程f(t)＝－1t＝－2t＝解方程f(x)＝－2f(x)＝
x＝－3x＝x＝－x＝
答案
9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a零点a取值范围________．
解析 原函数零点问题转化方程ex－2x＋a＝0解问题方程a＝2x－ex解．令函数g(x)＝2x－exg′(x)＝2－ex令g′(x)＝0x＝ln 2g(x)(－∞ln 2)增函数(ln 2＋∞)减函数g(x)值：g(ln 2)＝2ln 2－2a取值范围函数g(x)值域a∈(－∞2ln 2－2]．
答案 (－∞2ln 2－2]
10．直角坐标面两点PQ满足条件：①PQ函数f(x)图象②PQ关原点称称点(PQ)函数f(x)友点(点(PQ)点(QP)作友点)．已知函数f(x)＝f(x)友点数________．
解析 设P(xy)Q(－x－y)(x>0)函数f(x)友点y＝－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1∴＋2x2－4x＋1＝0坐标系中作函数y1＝y2＝－2x2＋4x－1图象y1y2图象两交点f(x)2友点填2
答案 2
三解答题
11．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)图象
(2)0(3)方程f(x)＝m两相等正根求m取值范围．
解 (1)图示．
(2)∵f(x)＝
＝
f(x)(01]减函数(1＋∞)增函数
00(3)函数f(x)图象知012．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅零点求m取值范围求出该零点．
思路分析 题意知方程4x＋m·2x＋1＝0仅实根利换元法求解．
解析 ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1仅零点
方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅实根．
设2x＝t(t＞0)t2＋mt＋1＝0
Δ＝0时m2－4＝0
∴m＝－2时t＝1m＝2时t＝－1(合题意舍)
∴2x＝1x＝0符合题意．
Δ＞0时m＞2m＜－2时
t2＋mt＋1＝0两正两负根
f(x)两零点没零点．
∴种情况符合题意．
综知：m＝－2时f(x)唯零点该零点x＝0
13．已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3
(1)函数区间[－11]存零点求实数q取值范围
(2)否存常数t(t≥0)x∈[t10]时f(x)值域区间D区间D长度12－t(视区间[ab]长度b－a)．
解 (1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3称轴x＝8∴f(x)区间[－11]减函数．
∵函数区间[－11]存零点必∴－20≤q≤12
(2)∵0≤t<10f(x)区间[08]减函数区间[810]增函数称轴x＝8
①0≤t≤6时区间[t10]f(t)f(8)
∴f(t)－f(8)＝12－tt2－15t＋52＝0
解t＝∴t＝
②6∴f(10)－f(8)＝12－t解t＝8
③8∴f(10)－f(t)＝12－tt2－17t＋72＝0解t＝89
∴t＝9
综知存常数t＝89满足条件
14．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1g(x)＝x＋(x>0)．
(1)g(x)＝m零点求m取值范围
(2)确定m取值范围g(x)－f(x)＝0两相异实根．
解 (1)法：∵g(x)＝x＋≥2＝2e
等号成立条件x＝e
g(x)值域[2e＋∞)
需m≥2eg(x)＝m零点．
法二：作出g(x)＝x＋(x>0)致图象图：
知g(x)＝m零点
需m≥2e
法三：g(x)＝m
x2－mx＋e2＝0
方程零根
等价
m≥2e
(2)g(x)－f(x)＝0两相异实根g(x)f(x) 图象两交点作出g(x)＝x＋(x>0)致图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2
图象称轴x＝e开口值m－1＋e2
m－1＋e2>2e
m>－e2＋2e＋1时
g(x)f(x)两交点
g(x)－f(x)＝0两相异实根．
∴m取值范围(－e2＋2e＋1＋∞)
第9讲 函数应
选择题
1．国西北某区荒漠化土面积年均年增长104专家预测x年增长原y倍函数y＝f(x)图象致 ( )．
解析 题意y＝(1＋104)x
答案 D
2．甲乙两方途中两种速度．甲半路程速度半路程速度乙半时间速度半时间速度甲乙两路程时间函数图象关系面图中图示分析（中横轴表示时间轴表示路程）中正确图示分析（ ）．
A．(1) B．(3) C．(1)(4) D (1)(2)
（1） （2） （3） （4）
解析 根题目描述分析图知D正确
答案 D
3．某公司甲乙两销售种品牌车利润(单位：万元)分L1＝506x－015x2L2＝2x中x销售量(单位：辆)．该公司两销售15辆车获利润 ( )．
A．45606万元 B．456万元
C．4556万元 D．4551万元
解析 题意设甲销售x辆乙销售(15－x)辆总利润S＝L1＋L2总利润S＝506x－015x2＋2(15－x)＝－015x2＋306x＋30＝－015(x－102)2＋015×1022＋30(x≥0)∴x＝10时Smax＝456(万元)．
答案 B
4．某汽车运输公司购买批豪华客车投入营运市场分析辆客车营运总利润y(单位：10万元)营运年数x(x∈N*)二次函数关系(图示)辆客车营运少年时营运年均利润 ( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 题图营运总利润y＝－(x－6)2＋11营运年均利润＝－x－＋12
∵x∈N*∴≤－2 ＋12＝2
仅x＝x＝5时取＝．
∴x＝5时营运年均利润．
答案 C
5．张正方形纸片剪两样矩形E形图案图示设矩形长宽分xy剪部分面积202≤x≤10记y＝f(x)y＝f(x)图象 ( )．
解析 题意2xy＝20y＝x＝2时y＝5x＝10时y＝1时排CD2≤x≤10排B
答案 A
6．某厂许形状直角梯形铁皮边角料图降低消耗开源节流现边角料截取矩形铁片(图中阴影部分)备截取矩形面积时矩形两边长xy应( )．
A．x＝15y＝12 B．x＝12y＝15
C．x＝14y＝10 D．x＝10y＝14
解析 三角形相似＝
x＝(24－y)
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180
∴y＝12时S值时x＝15
答案 A
二填空题
7．保证信息安全传输必须加密方式种方式加密解密原理：
明文密文密文明文
已知加密y＝ax－2(x明文y密文)果明文3通加密密文6发送接受方通解密明文3接受方接密文14原发明文________．
解析 题意y＝ax－2中x＝3时y＝66＝a3－2解a＝2加密y＝2x－2y＝14时14＝2x－2解x＝4
答案 4
8．某商店已件80元成购进某商品1 000件根市场预测销售价件100元时全部售完定价提高1元时销售量减少5件获利润销售价应定件________元．
解析 设售价提高x元题意
y＝(1 000－5x)×(20＋x)
＝－5x2＋900x＋20 000
＝－5(x－90)2＋60 500
x＝90时ymax＝60 500时售价件190元．
答案 190 元
9．现含盐7食盐水200 g需制成工业生产需含盐5 6(含56)食盐水设需加入4食盐水x gx取值范围__________．
解析 根已知条件：设y＝令5＜y＜6(200＋x)5＜200×7＋x·4＜(200＋x)6解100＜x＜400
答案 (100400)
10．某市出租车收费标准：起步价8元起步里程3 km(超3 km起步价付费)超3 km超8 km时超部分千米215元收费超8 km时超部分千米285元收费次坐需付燃油附加费1元．现某坐次出租车付费226元次出租车行驶________km
解析 已知条件y＝
y＝226解x＝9
答案 9
三解答题
11．发展电信事业方便户电信公司移动电话采收费方式中意卡便民卡某市范围月(30天)通话时间x(分)通话费y(元)关系分图①②示．
(1)分求出通话费y1y2通话时间x间函数关系式
(2)请帮助户计算月种卡便宜？
解 (1)图象设y1＝k1x＋29y2＝k2x点B(3035)C(3015)分代入y1y2k1＝k2＝
∴y1＝x＋29y2＝x
(2)令y1＝y2x＋29＝xx＝96
x＝96时y1＝y2两种卡收费致
x<96 时y1>y2便民卡便宜
x>96时y112．某单位员工1 000名均年创造利润10万元．增加企业竞争力决定优化产业结构调整出x(x∈N*)名员工事第三产业调整均年创造利润10万元(a>0)剩员工均年创造利润提高02x
(1)保证剩余员工创造年总利润低原1 000名员工创造年总利润调整出少名员工事第三产业？
(2)(1)条件调整出员工创造年总利润始终高剩余员工创造年总利润a取值范围少？
解 (1)题意：10(1 000－x)(1＋02x)≥10×1 000
x2－500x≤0x>00调整500名员工事第三产业．
(2)事第三产业员工创造年总利润10x万元事原产业员工年总利润10(1 000－x)(1＋02x)万元10x≤10(1 000－x)(1＋02x)ax－≤1 000＋2x－x－x2
ax≤＋1 000＋xa≤＋＋1恒成立
x＋≥2 ＝4
仅＝x＝500时等号成立．
a≤5a>00
13某市出租车计价标准：3 km(含3 km)10元超3 km超18 km部分1元km超出18 km部分2元km
(1)果某车行驶20 km付少车费？某车行驶x km付少车费？
(2)果某付22元车费车行驶远？
解 (1)车行驶20 km付费分三部分前3 km付费10(元)3 km18 km付费
(18－3)×1＝15(元)18 km20 km付费(20－18)×2＝4(元)总付费10＋15＋4＝29(元)．
设付车费y元03x>18时车费y＝25＋2(x－18)＝2x－11
(2)付出22元车费说明车行驶路程3 km18 km前3 km付费10元余12元车行驶12 km车行驶15 km
14．某学校建造面积10 000方米运动场．图运动场矩形ABCD分ADBC直径两半圆组成．跑道条宽8米塑胶跑道运动场跑道外方均铺设草皮．已知塑胶跑道方米造价150元草皮方米造价30元．
(1)设半圆半径OA＝r(米)设建立塑胶跑道面积Sr函数关系S(r)
(2)条件限制r∈[3040]问r取值时运动场造价低？低造价少？(精确元)
解 (1)塑胶跑道面积
S＝π[r2－(r－8)2]＋8××2
＝＋8πr－64π∵πr2＜10 000∴0＜r＜
(2)设运动场造价y元
y＝150×＋30×
＝300 000＋120×－7 680π
令f(r)＝＋8πr∵f′(r)＝8π－
r∈[3040]时f′(r)＜0
∴函数y＝300 000＋120×－7 680π[3040]减函数．∴r＝40时ymin≈636 510
运动场造价低636 510元
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第1讲 函数表示
选择题
1．列函数中函数y＝定义域相函数 ( )．
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
解析 函数y＝定义域{x|x≠0x∈R}函数y＝定义域相选D
答案 D
2．系列函数解析式相值域相定义域称函数族函数函数解析式y＝x2＋1值域{13}族函数 ( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 x2＋1＝1x＝0x2＋1＝3x＝±函数定义域{0}{0－}{0－}值域{13}族函数3．
答案 C
3．函数y＝f(x)定义域M＝{x|－2≤x≤2}值域N＝{y|0≤y≤2}函数y＝f(x)图象( )．
解析 根函数定义观察出选项B
答案 B
4．已知函数f(x)＝abc互相等f(a)＝f(b)＝f(c)abc取值范围 ( )．
A．(110) B．(56)
C．(1012) D．(2024)
解析 abc互相等妨设a
∴|lg a|＝|lg b|
∴lg a＝－lg blg a＝lg ⇒a＝
∴ab＝110
5．实数ab定义运算⊗：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)x∈R函数y＝f(x)－c图象x轴恰两公点实数c取值范围( )．
A．(－∞－2]∪
B．(－∞－2]∪
C∪
D∪
解析 (x2－2)－(x－x2)≤1－1≤x≤时f(x)＝x2－2
x2－2－(x－x2)＞1x＜－1x＞时f(x)＝x－x2
∴f(x)＝
f(x)图象图示c≤－2－1＜c＜－
答案 B
6设甲乙两距离a(a>0)王骑行车匀速甲乙20分钟乙休息10分钟匀速乙返回甲30分钟王出发返回原路程y时间x函数图象（ ）
解析 注意题中选择项横坐标王出发返回原时间坐标路程选D
答案 D
二填空题
7．已知函数f(x)g(x)分表出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
f[g(1)]值________满足f[g(x)]>g[f(x)]x值________．
解析 ∵g(1)＝3∴f[g(1)]＝f(3)＝1表格发现g(2)＝2f(2)＝3∴f(g(2))＝3g(f(2))＝1
答案 1 2
8．已知函数f(x)＝满足等式f(1－x2)>f(2x)x取值范围________．
解析 题意解－1
9已知函数f(x)图象图示函数g(x) f(x)定义域______
解析 函数意义须f(x)＞0f(x)图象知
x∈(28］时f(x)＞0
答案 (28］
10．函数f(x)定义域Ax1x2∈Af(x1)＝f(x2)时总x1＝x2称f(x)单函数．例函数f(x)＝2x＋1(x∈R)单函数．列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)单函数
②f(x)单函数x1x2∈Ax1≠x2f(x1)≠f(x2)
③f：A→B单函数意b∈B原象
④函数f(x)某区间具单调性f(x)定单函数．
中真命题________．(写出真命题编号)
解析 ①f(x)＝x2f(－1)＝f(1)时－1≠1f(x)＝x2单函数①错②x1x2∈Af(x1)＝f(x2)时x1＝x2x1≠x2时f(x1)≠f(x2)互逆否命题②正确③b∈Bb两原象时．妨设a1a2知a1≠a2f(a1)＝f(a2)题中条件矛盾③正确④f(x)＝x2(0＋∞)单调递增函数f(x)＝x2R单函数④错误综知②③正确．
答案 ②③
三解答题
11．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－ax
x∈[13]中a∈R记函数g(x)值值差h(a)．
(1)求函数h(a)解析式
(2)画出函数y＝h(x)图象指出h(x)值．
解 (1)题意知g(x)＝
a<0时函数g(x)[13]增函数时g(x)max＝g(3)＝2－3ag(x)min＝g(1)＝1－ah(a)＝1－2a
a>1时函数g(x)[13]减函数时g(x)min＝g(3)＝2－3ag(x)max＝g(1)＝1－ah(a)＝2a－1
0≤a≤1时x∈[12]g(x)＝1－axg(2)≤g(x)≤g(1)
x∈(23]g(x)＝(1－a)x－1g(2)
(2)画出y＝h(x)图象图示数形结合h(x)min＝h＝
12．求列函数定义域：
(1)f(x)＝
(2)y＝－lg cos x
(3)y＝lg(x－1)＋lg ＋
解 (1)⇒x＜4x≠3
该函数定义域(－∞3)∪(34)．
(2)
求定义域∪∪
(3)x＜－1解1＜x＜9
该函数定义域(19)．
13 设x≥0时f(x)2x＜0时f(x)1规定：g(x)
(x＞0)试写出yg(x)解析式画出图象
解 0＜x＜1时x1＜0x2＜0
∴g(x) 1
1≤x＜2时x1≥0x2＜0
∴g(x)
x≥2时x1＞0x2≥0
∴g(x) 2
g(x)
图象图示
14．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2xf(0)＝1
(1)求f(x)解析式
(2)区间[－11]函数y＝f(x)图象恒直线y＝2x＋m方试确定实数m取值范围．
解 (1)f(0)＝1设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b题意解
f(x)＝x2－x＋1
(2)题意x2－x＋1>2x＋mx2－3x＋1>mx∈[－11]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1问题转化g(x)min>mg(x)[－11]递减 g(x)min＝g(1)＝－1m<－1
第2讲 函数单调性值
选择题
1．列函数中偶函数(0＋∞)单调递减函数
( )．
A．y＝x2 B．y＝|x|＋1
C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|
解析 C中函数x>0时y＝－lg x(0＋∞)减函数y＝－lg |x|偶函数．
答案 C
2．已知函数f(x)R减函数满足f(|x|)＜f(1)实数x取值范围( )
A．(－11) B．(01)
C．(－10)∪(01) D．(－∞－1)∪(1＋∞)
解析 ∵f(x)R减函数f(|x|)＜f(1)
∴|x|＞1解x＞1x＜－1
答案 D
3．函数y＝axy＝－(0＋∞)减函数y＝ax2＋bx(0＋∞)( )
A．增函数 B．减函数
C．先增减 D．先减增
解析 ∵y＝axy＝－(0＋∞)减函数
∴a<0b<0∴y＝ax2＋bx称轴方程x＝－<0
∴y＝ax2＋bx(0＋∞)减函数．
答案 B
4．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)函数g(x)递减区间 ( )．
A．(－∞0] B．[01)
C．[1＋∞) D．[－10]
解析 g(x)＝图示递减区间[01)．选B
答案 B
5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)单调增区间( )
A．(0＋∞) B．(－∞1]
C．(－∞0) D．(－∞－1]
解析 二次函数称轴x＝1二次项系数负数拋物线开口称轴定义域右侧单调增区间(－∞0)．
答案 C
6．设函数y＝f(x)(－∞＋∞)定义定正数K定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|K＝时函数fK(x)单调递增区间 ( )．
A．(－∞0) B．(0＋∞)
C．(－∞－1) D．(1＋∞)
解析 f(x)＝⇔
f(x)＝
f(x)图象右图示f(x)单调递增区间(－∞－1)．
答案 C
二填空题
7．设函数y＝x2－2xx∈[－2a]函数值g(a)g(a)＝________
解析 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1∴称轴直线x＝1
－2≤a<1时函数[－2a]单调递减x＝a时ymin＝a2－2aa≥1时函数[－21]单调递减[1a]单调递增x＝1时ymin＝－1
综g(a)＝
答案
8．函数y＝－(x－3)|x|递增区间_______．
解析 y＝－(x－3)|x|
＝
作出该函数图观察图知递增区间
答案
9．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5区间(－∞3)减函数a取值范围________．
解析 ①a＝0时f(x)＝－12x＋5(－∞3)减函数②a＞0时f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5区间(－∞3)减函数称轴x＝必x＝3右边≥30＜a≤③a＜0时区间(－∞3)恒减函数．综合知：a取值范围
答案
10．已知函数f(x)＝(a常数a>0)．列命题：
①函数f(x)值－1
②函数f(x)R单调函数
③f(x)>0恒成立a取值范围a>1
④意x1<0x2<0x1≠x2恒
f<
中正确命题序号____________．
解析 根题意画出草图图象知①显然正确函数f(x)R单调函数②错误f(x)>0恒成立2a×－1>0a>1③正确图象知(－∞0)意x1<0x2<0x1≠x2恒f<成立④正确．
答案 ①③④
三解答题
11．求函数y＝a1－x2(a>0a≠1)单调区间．
解 a>1时函数y＝a1－x2区间[0＋∞)减函数区间(－∞0]增函数
0
(1)判断函数f(x)奇偶性
(2)f(x)区间[2＋∞)增函数求实数a取值范围．
解 (1)a＝0时f(x)＝x2(x≠0)偶函数
a≠0时f(－x)≠f(x)f(－x)≠－f(x)
∴f(x)奇函数偶函数．
(2)设x2>x1≥2f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]
x2>x1≥2x1x2(x1＋x2)>16x1－x2<0
x1x2>0
f(x)区间[2＋∞)增函数
需f(x1)－f(x2)<0
x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立a≤16
13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x中常数ab满足ab≠0
(1)ab>0判断函数f(x)单调性
(2)ab<0求f(x＋1)>f(x)时x取值范围．
解 (1)a>0b>0时a·2xb·3x单调递增函数f(x)单调递增a<0b<0时a·2xb·3x单调递减函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0
(i)a<0b>0时x>－
解x>log
(ii)a>0b<0时x<－
解x
(1)求证：f(x)R增函数
(2)f(4)＝5解等式f(3m2－m－2)<3
解 (1)证明 设x1x2∈Rx1
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0
∴f(x2)>f(x1)．f(x)R增函数．
(2) ∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5
∴f(2)＝3
∴原等式化f(3m2－m－2)
解－1
第3讲 函数奇偶性周期性
选择题
1．设f(x)定义R奇函数．x≥0时f(x)＝2x＋2x＋b(b常数)f(－1)等( )．
A．3 B．1 C．－1 D．－3
解析 f(－0)＝－f(0)f(0)＝0b＝－1
f(x)＝2x＋2x－1f(－1)＝－f(1)＝－3
答案 D
2．已知定义R奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)f(6)值 ( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析 (构造法)构造函数f(x)＝sin xf(x＋2)＝sin＝－sin x＝－f(x)f(x)＝sin x满足条件函数f(6)＝sin 3π＝0选B
答案 B
3．定义R函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)x∈[35]时f(x)＝2－|x－4|列等式定成立 ( )．
A．f>f B．f(sin 1)
解析 x∈[－11]时x＋4∈[35]f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|
显然x∈[－10]时f(x)增函数x∈[01]时f(x)减函数cos＝－sin ＝>f＝f>ff>f
答案 A
4．已知函数f(x)＝该函数 ( )．
A．偶函数单调递增 B．偶函数单调递减
C．奇函数单调递增 D．奇函数单调递减
解析 x>0时f(－x)＝2－x－1＝－f(x)x<0时f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．x＝0时f(0)＝0f(x)奇函数f(x)＝1－2－x[0＋∞)增函数f(x)＝2x－1(－∞0)增函数x≥0时1－2－x≥0x<0时2x－1<0f(x)R增函数．
答案 C
5．已知f(x)定义R周期2周期函数x∈[01)时f(x)＝4x－1f(－55)值( )
A．2 B．－1 C．－ D．1
解析 f(－55)＝f(－55＋6)＝f(05)＝405－1＝1
答案 D
6．设函数D(x)＝列结错误 ( )．
A．D(x)值域{01} B．D(x)偶函数
C．D(x)周期函数 D．D(x)单调函数
解析 显然D(x)单调D(x)值域{01}选项AD正确．x理数－xx＋1理数x理数－xx＋1理数．∴D(－x)＝D(x)D(x＋1)＝D(x)．D(x)偶函数D(x)周期函数B正确C错误．
答案 C
二填空题
7．函数f(x)＝x2－|x＋a|偶函数实数a＝________
解析 题意知函数f(x)＝x2－|x＋a|偶函数f(1)＝f(－1)∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|∴a＝0
答案 0
8．已知y＝f(x)＋x2奇函数f(1)＝1g(x)＝f(x)＋2g(－1)＝________
解析 y＝f(x)＋x2奇函数x＝1时y＝2x＝－1时y＝－2f(－1)＋(－1)2＝－2f(－1)＝－3g(－1)＝f(－1)＋2＝－1
答案 －1
9．设奇函数f(x)定义域[－55]x∈[05]时函数y＝f(x)图象图示函数值y＜0x取值集合________．
解析 原函数奇函数y＝f(x)[－55]图象关坐标原点称y＝f(x)[05]图象[－50]图象图示．图象知函数值y＜0x取值集合(－20)∪(25)．
答案 (－20)∪(25)
10． 设f(x)偶函数x>0时单调函数满足f(2x)＝fx________．
解析 ∵f(x)偶函数f(2x)＝f
∴f(|2x|)＝f
∵f(x)(0＋∞)单调函数
∴|2x|＝
2x＝2x＝－
整理2x2＋7x－1＝02x2＋9x＋1＝0
设方程2x2＋7x－1＝0两根x1x2方程2x2＋9x＋1＝0两根x3x4
(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8
答案 －8
三解答题
11．已知f(x)定义R恒零函数意xyf(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)f(－1)值
(2)判断函数f(x)奇偶性．
解 (1)定义域意xyf(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)令x＝y＝1f(1)＝0令x＝y＝－1f(－1)＝0
(2)令y＝－1f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)代入f(－1)＝0f(－x)＝－f(x)f(x)(－∞＋∞)奇函数．
12．已知函数f(x)意xy∈Rf(x＋y)＝f(x)＋f(y)x＞0时f(x)＜0f(1)＝－2
(1)求证f(x)奇函数
(2)求f(x)[－33]值值．
(1)证明 令x＝y＝0知f(0)＝0令y＝－x
f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0f(x)奇函数．
(2)解 取x1＜x2x2－x1＞0f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0f(x)减函数．f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6f(－3)＝－f(3)＝6
f(x)max＝f(－3)＝6f(x)min＝f(3)＝－6
13已知函数f(x)(－∞＋∞)奇函数f(x)图象关x＝1称x∈[01]时f(x)＝2x－1
(1)求证：f(x)周期函数
(2)x∈[12]时求f(x)解析式
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)值．
解析 (1)证明 函数f(x)奇函数f(－x)＝－f(x)函数f(x)图象关x＝1称f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)f(x)4周期周期函数．
(2) x∈[12]时2－x∈[01]
f(x)图象关x＝1称f(x)＝f(2－x)＝22－x－1x∈[12]．
(3) ∵f(0)＝0f(1)＝1f(2)＝0
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1
f(x)4周期周期函数．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)
＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1
14．已知函数f(x)定义域R满足f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)周期函数
(2)f(x)奇函数0≤x≤1时f(x)＝x求f(x)＝－[02 014]x数．
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)
∴f(x)4周期周期函数．
(2)解 0≤x≤1时f(x)＝x
设－1≤x≤00≤－x≤1
∴f(－x)＝(－x)＝－x
∵f(x)奇函数∴f(－x)＝－f(x)
∴－f(x)＝－xf(x)＝x
f(x)＝x(－1≤x≤1)．
设1
∵f(x)4周期周期函数
∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)∴－f(x)＝(x－2)
∴f(x)＝－(x－2)(1
f(x)＝－解x＝－1
∵f(x)4周期周期函数
∴f(x)＝－x＝4n－1(n∈Z)．
令0≤4n－1≤2 014≤n≤
∵n∈Z∴1≤n≤503(n∈Z)
∴[02 014]503xf(x)＝－
第4讲 指数指数函数
选择题
1．函数y＝a|x|(a>1)图( )
解析 y＝a|x|＝x≥0时指数函数y＝ax(a>1)图相x<0时y＝a－xy＝ax图关y轴称判断B正确．
答案 B
2．已知函数f(x)＝f(9)＋f(0)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 f(9)＝log39＝2f(0)＝20＝1
∴f(9)＋f(0)＝3
答案 D
3．a值时函数y＝(a－1)2x－恒定点定点坐标 ( )．
A B
C D
解析 y＝(a－1)2x－＝a－2x令2x－＝0x＝－1函数y＝(a－1)2x－恒定点
答案 C
4．定义运算：a*b＝1*21函数f(x)2x *2x值域 ( )．
A．R B．(0＋∞)
C．(01] D．[1＋∞)
解析 f(x)＝2x*2－x＝∴f(x)(－∞0]增函数(0＋∞)减函数∴0
5．a>1b>0ab＋a－b＝2ab－a－b值( )
A B．2－2
C．－2 D．2
解析 (ab＋a－b)2＝8⇒a2b＋a－2b＝6
∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4
ab>a－b(a>1b>0)∴ab－a－b＝2
答案 D
6．函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0a≠1)R奇函数减函数g(x)＝loga(x＋k)图象图中 ( )．
解析 函数f(x)＝(k－1)ax－a－x奇函数f(0)＝0(k－1)a0－a0＝0解k＝2f(x)＝ax－a－xf(x)＝ax－a－x减函数0
二填空题
7．已知函数f(x)＝
满足意x1≠x2<0成立a取值范围________．
解析 意x1≠x2<0成立说明函数y＝f(x)R减函数0
8．函数y＝2－x＋1＋m图象第象限m取值范围________．
解析 函数y＝2－x＋1＋m＝()x－1＋m
∵函数图象第象限
∴()0－1＋m≤0m≤－2
答案 (－∞－2]
9．函数f(x)＝ax－x－a(a>0a≠1)两零点实数a取值范围________．
解析 令ax－x－a＝0ax＝x＋a
0
答案 (1＋∞)
10．已知f(x)＝x2g(x)＝x－m∀x1∈[－13]∃x2∈[02]f(x1)≥g(x2)实数m取值范围________．
解析 x1∈[－13]时f(x1)∈[09]x2∈[02]时g(x2)∈g(x2)∈∀x1∈[－13]∃x2∈[02]f(x1)≥g(x2)需f(x)min≥g(x)min0≥－mm≥
答案
三解答题
11．已知函数f(x)＝
(1)判断函数f(x)奇偶性
(2)求证f(x)R增函数．
(1)解 函数f(x)定义域Rf(x)＝＝1－f(－x)＋f(x)＝＋＝2－＝2－＝2－＝2－2＝0f(－x)＝－f(x)f(x)奇函数．
(2)证明 设x1x2∈Rx1
∵x1
∴f(x1)
(1)求f(x)
(2)等式()x＋()x－m≥0x∈(－∞1]时恒成立求实数m取值范围．
解析 (1)A(16)B(324)代入f(x)＝b·ax
结合a>0a≠1解
∴f(x)＝3·2x
(2)()x＋()x≥m(－∞1]恒成立
需保证函数y＝()x＋()x(－∞1]值m．
∵函数y＝()x＋()x(－∞1]减函数
∴x＝1时y＝()x＋()x值
∴需m≤．
∴m取值范围(－∞]
13．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3
(1)a＝－1求f(x)单调区间
(2)f(x)值3求a值．
解析 (1)a＝－1时f(x)＝－x2－4x＋3
令t＝－x2－4x＋3
t(x)(－∞－2)单调递增[－2＋∞)单调递减
y＝tR单调递减
f(x)(－∞－2)单调递减[－2＋∞)单调递增
函数f(x)递增区间[－2＋∞)递减区间(－∞－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3f(x)＝h(x)
f(x)值3
h(x)应值－1
必解a＝1
f(x)值3时a值等1
14．已知定义R函数f(x)＝2x－
(1)f(x)＝求x值
(2)2tf(2t)＋mf(t)≥0t∈[12]恒成立求实数m取值范围．
解 (1)x<0时 f(x)＝0解
x≥0时f(x)＝2x－
2x－＝2·22x－3·2x－2＝0
成关2x元二次方程解2x＝2－
∵2x>0∴x＝1
(2)t∈[12]时2t＋m≥0
m(22t－1)≥－(24t－1)
∵22t－1>0∴m≥－(22t＋1)
∵t∈[12]∴－(22t＋1)∈[－17－5]
m取值范围[－5＋∞)．
第5讲 数数函数
选择题
1．已知实数a＝log45b＝0c＝log304abc关系( )
A．b
2．设f(x)＝lg(＋a)奇函数f(x)＜0x取值范围( )．
A．(－10) B．(01)
C．(－∞0) D．(－∞0)∪(1＋∞)
解析 ∵f(x)奇函数∴f(0)＝0∴a＝－1
∴f(x)＝lgf(x)＜00＜＜1
∴－1＜x＜0
答案 A
3．函数y＝loga(x2－ax＋1)值a取值范围( )．
A．0
4．函数f(x)＝loga(x＋b)
致图象图示中ab常数函数g(x)＝ax＋b致图象 ( )．
解析 已知函数f(x)＝loga(x＋b)图象0
5．函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0a≠1)满足意x1x2x1
A．(01)∪(13) B．(13)
C．(01)∪(12) D．(12)
解析 意x1x2x1
答案 D
6．已知函数f(x)＝|lg x|0
C．(3＋∞) D．[3＋∞)
解析 作出函数f(x)＝|lg x|图象f(a)＝f(b)0
答案 C
二填空题
7．意非零实数aba⊗b运算原理图示(log8)⊗－2＝________
解析 框图实质分段函数log8＝－3－2＝9框图出输出＝－3
答案 －3
8．设g(x)＝g＝________
解析 g＝ln ＜0
∴g＝g＝eln＝
答案
9．已知集合A＝{x|log2x≤2}B＝(－∞a)A⊆B实数a取值范围(c＋∞)中c＝________
解析 ∵log2x≤2∴0＜x≤4∵A⊆B∴a＞4∴c＝4
答案 4
10．意实数x符号[x]表示x整数部分[x]超x整数．实数轴R(箭头右)[x]点x左侧第整数点x整数时[x]x函数[x]做取整函数数学身生产实践中广泛应．[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________
解析 1≤n≤2时[log3n]＝03≤n<32时[log3n]＝1…3k≤n<3k＋1时[log3n]＝k
[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857
答案 857
三解答题
11．已知函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x
(1)判断函数奇偶性
(2)y＝f(x)(－∞＋∞)减函数求a取值范围．
解 (1)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x定义域R
f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x
＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)
函数f(x)奇函数．
(2)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x(－∞＋∞)减函数y＝(a2－3a＋3)x(－∞＋∞)增函数
指数函数单调性知a2－3a＋3>1解a<1a>2
a取值范围(－∞1)∪(2＋∞)．
12．函数y＝lg(3－4x＋x2)定义域Mx∈M时求f(x)＝2x＋2－3×4x值相应x值．
解 y＝lg(3－4x＋x2)∴3－4x＋x2＞0
解x＜1x＞3∴M＝{x|x＜1x＞3}
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2
令2x＝t∵x＜1x＞3∴t＞80＜t＜2
∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞80＜t＜2)．
二次函数性质知：
0＜t＜2时f(t)∈
t＞8时f(t)∈(－∞－160)
2x＝t＝x＝log2 时f(x)max＝
综知：x＝log2 时f(x)取值值．
13．已知函数f(x)＝loga(a＞0b＞0a≠1)．
(1)求f(x)定义域
(2)讨f(x)奇偶性
(3)讨f(x)单调性
解 (1)令＞0
解f(x)定义域(－∞－b)∪(b＋∞)．
(2)f(－x)＝loga＝loga－1
＝－loga＝－f(x)
f(x)奇函数．
(3)令u(x)＝函数u(x)＝1＋(－∞－b)(b＋∞)减函数0＜a＜1时f(x)(－∞－b)(b＋∞)增函数a＞1时f(x)(－∞－b)(b＋∞)减函数．
14．已知函数f(x)＝loga(a>0a≠1)．
(1)求函数定义域证明：f(x)＝loga定义域奇函数
(2)x∈[24]f(x)＝loga>loga恒成立求m取值范围．
解 (1)>0解x<－1x>1
∴函数定义域(－∞－1)∪(1＋∞)．
x∈(－∞－1)∪(1＋∞)时f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)
∴f(x)＝loga定义域奇函数．
(2)x∈[24]时f(x)＝loga>loga恒成立
①a>1时
∴>>0x∈[24]恒成立．
∴0
g(x)＝－x3＋7x2＋x－7
g′(x)＝－3x2＋14x＋1＝－32＋
∴x∈[24]时g′(x)>0
∴y＝g(x)区间[24]增函数g(x)min＝g(2)＝15
∴0
∴
设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)x∈[24]
①知y＝g(x)区间[24]增函数
g(x)max＝g(4)＝45∴m>45
∴m取值范围(015)∪(45＋∞)
第6讲 幂函数二次函数
选择题
1．已知幂函数y＝f(x)图点f(2)＝( )
A B．4
C D
解析 设f(x)＝xα图点代入解析式：α＝－∴f(2)＝2－＝
答案 C
2．函数f(x)幂函数满足＝3f()值( )
A．－3 B．－
C．3 D
解析 设f(x)＝xα＝3＝3
∴2α＝3∴f()＝()α＝＝
答案 D
3．已知函数f(x)＝ex－1g(x)＝－x2＋4x－3f(a)＝g(b)b取值范围 ( )．
A．[2－2＋] B．(2－2＋)
C．[13] D．(13)
解析 f(a)＝g(b)⇔ea－1＝－b2＋4b－3⇔ea＝－b2＋4b－2成立－b2＋4b－2>0解2－
4．已知函数f(x)＝f(a)＋f(1)＝0实数a值等 ( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析 f(a)＋f(1)＝0⇔f(a)＋2＝0⇔解a＝
－3
答案 A
5 函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象关直线x＝－称．推测意非零实数abcmnp关x方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0解集( )．
A．{12} B．{14}
C．{1234} D．{141664}
解析 设关f(x)方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0两根f(x)＝t1f(x)＝t2
f(x)＝ax2＋bx＋c图象关x＝－称f(x)＝t1f(x)＝t2两根关x＝－称．选项D中≠
答案 D
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋ca正整数c≥1a＋b＋c≥1方程ax2＋bx＋c＝0两1等正根a值 ( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 题意f(0)＝c≥1f(1)＝a＋b＋c≥1a越y＝f(x)开口越a越y＝f(x)开口越y＝f(x)开口时y＝f(x)(01)(11)c＝1a＋b＋c＝1a＋b＝0a＝－b－＝b2－4ac>0a(a－4)>0a>4a正整数a值5
答案 C
二填空题
7．函数y＝x2y＝x列说法：①两函数幂函数②两函数第象限单调递增③图关直线y＝x称④两函数偶函数⑤两函数点(00)(11)⑥两函数图抛物线型．
中正确________．
解析 两函数定义域奇偶性单调性等性质进行较．
答案 ①②⑤⑥
8．二次函数f(x)＝ax2－4x＋c值域[0＋∞)ac满足条件________．
解析 已知⇒
答案 a>0ac＝4
9．方程x2－mx＋1＝0两根αβα＞01＜β＜2实数m取值范围________．
解析 ∵∴m＝β＋
∵β∈(12)函数m＝β＋(12)增函数
∴1＋1＜m＜2＋m∈
答案
10．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)g(x)＝2x－2时满足条件：
①∀x∈Rf(x)<0g(x)<0
②∃x∈(－∞－4)f(x)g(x)<0
m取值范围________．
解析 x<1时g(x)<0x>1时g(x)>0x＝1时g(x)＝0m＝0符合求m>0时根函数f(x)函数g(x)单调性定存区间[a＋∞)f(x)≥0g(x)≥0m>0时符合第①条求m<0时图示果符合①求函数f(x)两零点1果符合第②条求函数f(x)少零点－4问题等价函数f(x)两相等零点中较零点1较零点－4函数f(x)两零点2m－(m＋3)m满足解第等式组－4
三解答题
11．设f(x)定义R2正周期周期函数．－1≤x<1时y＝f(x)表达式幂函数点求函数[2k－12k＋1)(k∈Z)表达式．
解 设[－11)f(x)＝xn点函数图象求n＝3
令x∈[2k－12k＋1)x－2k∈[－11)
∴f(x－2k)＝(x－2k)3f(x)周期2
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．
12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3x∈[－4 6]．
(1)a＝－2时求f(x)值
(2)求实数a取值范围y＝f(x)区间[－46]单调函数
(3)[理]a＝1时求f(|x|)单调区间．
解 (1)a＝－2时f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1
x∈[－46]
∴f(x)[－42]单调递减[26]单调递增
∴f(x)值f(2)＝－1
f(－4)＝35f(6)＝15f(x)值35
(2)函数f(x)图开口称轴x＝－a
f(x)[－46]单调函数应－a≤－4－a≥6a≤－6 a≥4
(3)a＝1时f(x)＝x2＋2x＋3
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3时定义域x∈[－66]
f(x)＝
∴f(|x|)单调递增区间(06]单调递减区间[－60]．
13．设函数f(x)＝ax2－2x＋2满足1
解 等式ax2－2x＋2>0等价a>
设g(x)＝x∈(14)
g′(x)＝
＝＝
1
已知条件a>
实数a取值范围
14．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)
(2)(1)中函数f(x)试判断否存q>0函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x区间[－12]值域？存求出q存请说明理．
解 (1)∵f(2)
k＝0k＝1时－k2＋k＋2＝2∴f(x)＝x2
(2)假设存q>0满足题设(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1x∈[－12]．
∵g(2)＝－1∴两值点端点(－1g(－1))顶点处取．－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0∴g(x)max＝＝
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4
解q＝2∴存q＝2满足题意．
第7讲 函数图象
选择题
1．函数y＝|x|y＝坐标系图( )
解析 |x|≤函数y＝|x|图函数y＝图方排CDx→＋∞时→|x|排B选A
答案 A
2．函数y＝图象函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)图象交点横坐标等( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析 题考查函数图象两函数图象交点函数称性问题．两函数中心称图形．
图两函数图象关点(10)成中心称两图象[－24]8公点两应交点横坐标2交点横坐标8
答案 D
3．已知函数f(x)＝x－tan x实数x0函数y＝f(x)零点0
解析 分作出函数y＝xy＝tan x区间图象0
答案 B
4．图正方形ABCD顶点AB顶点CD位第象限直线l：x＝t(0≤t≤)正方形ABCD分成两部分记位直线l左侧阴影部分面积f(t)函数S＝f(t)图象致 ( )．
解析 直线l原点移点B时面积增加越越快直线l点B移点C时面积增加越越慢．选C
答案 C
5．出四函数分满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
②g(x＋y)＝g(x)·g(y)③h(x·y)＝h(x)＋h(y)
④m(x·y)＝m(x)·m(y)．出四函数图象正确匹配方案( )
A．①甲②乙③丙④丁 B．①乙②丙③甲④丁
C．①丙②甲③乙④丁 D．①丁②甲③乙④丙
解析 图象甲指数函数图象应满足②图象乙数函数图象应满足③图象丁y＝x图象满足①
答案 D
6．右图已知正四棱锥S－ABCD棱长1点E侧棱SC动点点E垂直SC截面正四棱锥分成两部分．记SE＝x(0
解析 (1)0
SC该截面垂直知SC⊥EFSC⊥EI∴EF＝EI＝SEtan 60°＝xSI＝2SE＝2xIH＝FG＝BI＝1－2xFI＝GH＝AH＝2 x∴五边形EFGHI面积S＝FG×GH＋FI× ＝2x－3x2
∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝(2x－3x2)×CE＋2×××1×(1－2x)×(1－2x)＝x3－x2＋图象条线段排CD
(2)≤x<1时 E点截面三角形图2设三角形△EFGEG＝EF＝ECtan 60°＝(1－x)CG＝CF＝2CE＝2(1－x)三棱锥E－FGC底面FGC高h＝ECsin 45°＝(1－x)
∴V(x)＝×CG·CF·h＝(1－x)3
∴V′(x)＝－(1－x)2
显然V′(x)＝－(1－x)2区间单调递增V′(x)<0
∴函数V(x)＝(1－x)3区间单调递减递减速率越越慢排B应选A
答案 A
二填空题
7．函数y＝图象函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)图象交点横坐标等________．
解析 函数y＝＝y＝2sin πx图象公称中心(10)画出二者图象图示易知y＝y＝2sin πx(－2≤x≤4)图象8交点妨设横坐标x1x2x3x4x5x6x7x8x1
答案 8
8．log2(－x)
答案 (－10)
9．设f(x)表示－x＋6－2x2＋4x＋6中较者函数f(x)值________．
解析 坐标系中作出y＝－x＋6y＝－2x2＋4x＋6图象图示观察出x＝0时函数f(x)取值6
答案 6
10已知函数f(x)()x图象函数yg(x)图象关直线yx称令h(x)g(1|x|)关h(x)列命题：
①h(x)图象关原点称
②h(x)偶函数
③h(x)值0
④h(x)(01)减函数
中正确命题序号 _________(认正确命题序号填)
解析 g(x) x
∴h(x) (1|x|)
∴h(x)
函数h(x)致图象图正确命题序号②③
答案 ②③
三解答题
11．讨方程|1－x|＝kx实数根数．
解 设y＝|1－x|y＝kx方程实根数函数y＝|1－x|图象y＝kx图象交点数．
右边图象知：－1≤k<0时方程没实数根
k＝0k<－1k≥1时方程实数根
0
(1)求g(x)解析式
(2)直线y＝mC2交点求m值交点坐标．
解析 (1)设点P(xy)C2意点
P(xy)关点A(21)称点P′(4－x2－y)
代入f(x)＝x＋
2－y＝4－x＋y＝x－2＋
∴g(x)＝x－2＋
(2)消y
x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0Δ＝(m＋6)2－4(4m＋9)
∵直线y＝mC2交点
∴Δ＝0解m＝0m＝4
m＝0时检验合理交点(30)
m＝4时检验合理交点(54)．
13．x∈(12)时等式(x－1)2
(x－1)2
0
需f1(2)≤f2(2)
(2－1)2≤loga2loga2≥1
∴1＜a≤2
∴a取值范围(12]
14．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)f(4)＝0
(1)求实数m值
(2)作出函数f(x)图象判断零点数
(3)根图象指出f(x)单调递减区间
(4)根图象写出等式f(x)>0解集
(5)求集合M＝{m|方程f(x)＝m三相等实根}．
解 (1)∵f(4)＝0∴4|m－4|＝0m＝4
(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝
∴函数f(x)图象图：
图象知f(x)两零点．
(3)图象观察知：f(x)单调递减区间[24]．
(4)图象观察知：
等式f(x)>0解集：{x|0
(5)图象知y＝f(x)y＝m图象三交点0
第8讲 函数方程
选择题
1．a<－2函数f(x)＝ax＋3区间[－12]存零点x0( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
解析 a<－2时函数f(x)＝ax＋3区间[－12]单调递减时
f(－1)＝3－a>0f(2)＝3＋2a<0函数f(x)＝ax＋3区间[－12]存零点x0函数f(x)＝ax＋3区间[－12]存零点x0时
f(－1)f(2)<02a2－3a－9>0
解a>3a<－
答案 A
2．列函数图x轴均公点中二分法求零点( )
解析 二分法求零点函数必须含零点区间(ab)连续f(a)·f(b)＜0ABD中函数符合．
答案 C
3．函数f(x)＝2x－－a零点区间(12)实数a取值范围 ( )．
A．(13) B．(12)
C．(03) D．(02)
解析 条件知f(1)f(2)<0(2－2－a)(4－1－a)<0a(a－3)<0解0
4．已知f(x)R正周期2周期函数0≤x<2时f(x)＝x3－x函数y＝f(x)图象区间[06]x轴交点数 ( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 0≤x<2时令f(x)＝x3－x＝0x＝0x＝1
根周期函数性质f(x)正周期2知y＝f(x)[06)6零点
f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0
∴f(x)[06]x轴交点数7
答案 B
5．函数f(x)＝－cos x[0＋∞) ( )．
A．没零点 B．仅零点
C．仅两零点 D．穷零点
解析 令f(x)＝0＝cos x坐标系画出两函数y＝y＝cos x图象图示图象知两函数交点方程＝cos x解．
∴函数f(x)零点．
答案 B
6．已知函数f(x)＝xex－ax－1关f(x)零点叙述正确( )．
A．a＝0时函数f(x)两零点
B．函数f(x)必零点正数
C．a＜0时函数f(x)两零点
D．a＞0时函数f(x)零点
解析 f(x)＝0⇔ex＝a＋
坐标系中作出y＝exy＝图象
观察出ACD选项错误选项B正确．
答案 B
二填空题
7．二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1零点时第次计算f(0)<0f(05)>0中零点x0∈______第二次应计算________．
解析 ∵f(x)＝x3＋3x－1R连续函数f(0)<0f(05)>0f(x)x∈(005)存零点第二次验证时需验证f(025)符号．
答案 (005) f(025)
8．函数f(x)＝函数y＝f[f(x)]＋1零点构成集合________．
解析 题求方程f[f(x)]＝－1根集合先解方程f(t)＝－1t＝－2t＝解方程f(x)＝－2f(x)＝
x＝－3x＝x＝－x＝
答案
9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a零点a取值范围________．
解析 原函数零点问题转化方程ex－2x＋a＝0解问题方程a＝2x－ex解．令函数g(x)＝2x－exg′(x)＝2－ex令g′(x)＝0x＝ln 2g(x)(－∞ln 2)增函数(ln 2＋∞)减函数g(x)值：g(ln 2)＝2ln 2－2a取值范围函数g(x)值域a∈(－∞2ln 2－2]．
答案 (－∞2ln 2－2]
10．直角坐标面两点PQ满足条件：①PQ函数f(x)图象②PQ关原点称称点(PQ)函数f(x)友点(点(PQ)点(QP)作友点)．已知函数f(x)＝f(x)友点数________．
解析 设P(xy)Q(－x－y)(x>0)函数f(x)友点y＝－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1∴＋2x2－4x＋1＝0坐标系中作函数y1＝y2＝－2x2＋4x－1图象y1y2图象两交点f(x)2友点填2
答案 2
三解答题
11．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)图象
(2)0
解 (1)图示．
(2)∵f(x)＝
＝
f(x)(01]减函数(1＋∞)增函数
0
思路分析 题意知方程4x＋m·2x＋1＝0仅实根利换元法求解．
解析 ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1仅零点
方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅实根．
设2x＝t(t＞0)t2＋mt＋1＝0
Δ＝0时m2－4＝0
∴m＝－2时t＝1m＝2时t＝－1(合题意舍)
∴2x＝1x＝0符合题意．
Δ＞0时m＞2m＜－2时
t2＋mt＋1＝0两正两负根
f(x)两零点没零点．
∴种情况符合题意．
综知：m＝－2时f(x)唯零点该零点x＝0
13．已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3
(1)函数区间[－11]存零点求实数q取值范围
(2)否存常数t(t≥0)x∈[t10]时f(x)值域区间D区间D长度12－t(视区间[ab]长度b－a)．
解 (1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3称轴x＝8∴f(x)区间[－11]减函数．
∵函数区间[－11]存零点必∴－20≤q≤12
(2)∵0≤t<10f(x)区间[08]减函数区间[810]增函数称轴x＝8
①0≤t≤6时区间[t10]f(t)f(8)
∴f(t)－f(8)＝12－tt2－15t＋52＝0
解t＝∴t＝
②6
③8
∴t＝9
综知存常数t＝89满足条件
14．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1g(x)＝x＋(x>0)．
(1)g(x)＝m零点求m取值范围
(2)确定m取值范围g(x)－f(x)＝0两相异实根．
解 (1)法：∵g(x)＝x＋≥2＝2e
等号成立条件x＝e
g(x)值域[2e＋∞)
需m≥2eg(x)＝m零点．
法二：作出g(x)＝x＋(x>0)致图象图：
知g(x)＝m零点
需m≥2e
法三：g(x)＝m
x2－mx＋e2＝0
方程零根
等价
m≥2e
(2)g(x)－f(x)＝0两相异实根g(x)f(x) 图象两交点作出g(x)＝x＋(x>0)致图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2
图象称轴x＝e开口值m－1＋e2
m－1＋e2>2e
m>－e2＋2e＋1时
g(x)f(x)两交点
g(x)－f(x)＝0两相异实根．
∴m取值范围(－e2＋2e＋1＋∞)
第9讲 函数应
选择题
1．国西北某区荒漠化土面积年均年增长104专家预测x年增长原y倍函数y＝f(x)图象致 ( )．
解析 题意y＝(1＋104)x
答案 D
2．甲乙两方途中两种速度．甲半路程速度半路程速度乙半时间速度半时间速度甲乙两路程时间函数图象关系面图中图示分析（中横轴表示时间轴表示路程）中正确图示分析（ ）．
A．(1) B．(3) C．(1)(4) D (1)(2)
（1） （2） （3） （4）
解析 根题目描述分析图知D正确
答案 D
3．某公司甲乙两销售种品牌车利润(单位：万元)分L1＝506x－015x2L2＝2x中x销售量(单位：辆)．该公司两销售15辆车获利润 ( )．
A．45606万元 B．456万元
C．4556万元 D．4551万元
解析 题意设甲销售x辆乙销售(15－x)辆总利润S＝L1＋L2总利润S＝506x－015x2＋2(15－x)＝－015x2＋306x＋30＝－015(x－102)2＋015×1022＋30(x≥0)∴x＝10时Smax＝456(万元)．
答案 B
4．某汽车运输公司购买批豪华客车投入营运市场分析辆客车营运总利润y(单位：10万元)营运年数x(x∈N*)二次函数关系(图示)辆客车营运少年时营运年均利润 ( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 题图营运总利润y＝－(x－6)2＋11营运年均利润＝－x－＋12
∵x∈N*∴≤－2 ＋12＝2
仅x＝x＝5时取＝．
∴x＝5时营运年均利润．
答案 C
5．张正方形纸片剪两样矩形E形图案图示设矩形长宽分xy剪部分面积202≤x≤10记y＝f(x)y＝f(x)图象 ( )．
解析 题意2xy＝20y＝x＝2时y＝5x＝10时y＝1时排CD2≤x≤10排B
答案 A
6．某厂许形状直角梯形铁皮边角料图降低消耗开源节流现边角料截取矩形铁片(图中阴影部分)备截取矩形面积时矩形两边长xy应( )．
A．x＝15y＝12 B．x＝12y＝15
C．x＝14y＝10 D．x＝10y＝14
解析 三角形相似＝
x＝(24－y)
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180
∴y＝12时S值时x＝15
答案 A
二填空题
7．保证信息安全传输必须加密方式种方式加密解密原理：
明文密文密文明文
已知加密y＝ax－2(x明文y密文)果明文3通加密密文6发送接受方通解密明文3接受方接密文14原发明文________．
解析 题意y＝ax－2中x＝3时y＝66＝a3－2解a＝2加密y＝2x－2y＝14时14＝2x－2解x＝4
答案 4
8．某商店已件80元成购进某商品1 000件根市场预测销售价件100元时全部售完定价提高1元时销售量减少5件获利润销售价应定件________元．
解析 设售价提高x元题意
y＝(1 000－5x)×(20＋x)
＝－5x2＋900x＋20 000
＝－5(x－90)2＋60 500
x＝90时ymax＝60 500时售价件190元．
答案 190 元
9．现含盐7食盐水200 g需制成工业生产需含盐5 6(含56)食盐水设需加入4食盐水x gx取值范围__________．
解析 根已知条件：设y＝令5＜y＜6(200＋x)5＜200×7＋x·4＜(200＋x)6解100＜x＜400
答案 (100400)
10．某市出租车收费标准：起步价8元起步里程3 km(超3 km起步价付费)超3 km超8 km时超部分千米215元收费超8 km时超部分千米285元收费次坐需付燃油附加费1元．现某坐次出租车付费226元次出租车行驶________km
解析 已知条件y＝
y＝226解x＝9
答案 9
三解答题
11．发展电信事业方便户电信公司移动电话采收费方式中意卡便民卡某市范围月(30天)通话时间x(分)通话费y(元)关系分图①②示．
(1)分求出通话费y1y2通话时间x间函数关系式
(2)请帮助户计算月种卡便宜？
解 (1)图象设y1＝k1x＋29y2＝k2x点B(3035)C(3015)分代入y1y2k1＝k2＝
∴y1＝x＋29y2＝x
(2)令y1＝y2x＋29＝xx＝96
x＝96时y1＝y2两种卡收费致
x<96 时y1>y2便民卡便宜
x>96时y1
(1)保证剩余员工创造年总利润低原1 000名员工创造年总利润调整出少名员工事第三产业？
(2)(1)条件调整出员工创造年总利润始终高剩余员工创造年总利润a取值范围少？
解 (1)题意：10(1 000－x)(1＋02x)≥10×1 000
x2－500x≤0x>00
(2)事第三产业员工创造年总利润10x万元事原产业员工年总利润10(1 000－x)(1＋02x)万元10x≤10(1 000－x)(1＋02x)ax－≤1 000＋2x－x－x2
ax≤＋1 000＋xa≤＋＋1恒成立
x＋≥2 ＝4
仅＝x＝500时等号成立．
a≤5a>00
13某市出租车计价标准：3 km(含3 km)10元超3 km超18 km部分1元km超出18 km部分2元km
(1)果某车行驶20 km付少车费？某车行驶x km付少车费？
(2)果某付22元车费车行驶远？
解 (1)车行驶20 km付费分三部分前3 km付费10(元)3 km18 km付费
(18－3)×1＝15(元)18 km20 km付费(20－18)×2＝4(元)总付费10＋15＋4＝29(元)．
设付车费y元0
(2)付出22元车费说明车行驶路程3 km18 km前3 km付费10元余12元车行驶12 km车行驶15 km
14．某学校建造面积10 000方米运动场．图运动场矩形ABCD分ADBC直径两半圆组成．跑道条宽8米塑胶跑道运动场跑道外方均铺设草皮．已知塑胶跑道方米造价150元草皮方米造价30元．
(1)设半圆半径OA＝r(米)设建立塑胶跑道面积Sr函数关系S(r)
(2)条件限制r∈[3040]问r取值时运动场造价低？低造价少？(精确元)
解 (1)塑胶跑道面积
S＝π[r2－(r－8)2]＋8××2
＝＋8πr－64π∵πr2＜10 000∴0＜r＜
(2)设运动场造价y元
y＝150×＋30×
＝300 000＋120×－7 680π
令f(r)＝＋8πr∵f′(r)＝8π－
r∈[3040]时f′(r)＜0
∴函数y＝300 000＋120×－7 680π[3040]减函数．∴r＝40时ymin≈636 510
运动场造价低636 510元
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